改進的CORDIC限幅器

李雪萍，劉昌銀，蔡超時，楊剛

(中國傳媒大學信息工程學院，北京100024)

1 引言

自 1959 年 Volder J［1］提出坐標旋轉數(Coordinate Rotation Digital Computer，簡稱 CORDIC)以來，CORDIC算法得到了廣泛的應用［2］。CORDIC的優越性表現在它通過簡單的移位加減操作就能完成三角函數，指數，對數，乘法和除法，開方等運算。并且CORDIC是一種規則化算法，結構簡單，便于硬件實現。因此，它普遍應用于信號處理，通信系統等領域。

限幅運算是畸變類峰均比抑制算法極其重要的組成模塊之一［3-4］。限幅是將高峰值的信號截斷，而其后的濾波引起一定程度的峰值再生，為獲得良好的抑制效果，需要多次迭代。因此，每次迭代每個模塊需合理的支配硬件資源，尤其是DSP資源。傳統限幅操作通過乘除運算實現。FPGA雖內嵌了專用的DSP模塊，但峰均比抑制算法中FFT和FIR模塊包含了大量的乘法運算，其他模塊可支配的DSP較少。同時傳統限幅器的除法模塊由較大的組合時序邏輯實現，限制了設計的時鐘速率。因此，提出新的限幅算法，減小硬件開銷，提高設計速率有著重要意義。

Altera公司早在2007年提出了一種極坐標限幅(Polar Clipping，PC)(以下簡稱 PC 限幅器)［5-7］，PC限幅器是一種基于CORDIC旋轉的限幅器。它將傳統限幅器的乘除運算轉化為寄存器移位加減運算，極大地減少了硬件資源的使用，同時避免使用除法極大地提高了時鐘速度。PC限幅器采用了兩個獨立的CORDIC模塊分別完成幅值計算和限幅向量的旋轉，模塊間通過存儲的相位旋轉變量通信。PC限幅器需額外存儲旋轉相位信息，增加了設計的復雜度。

文章提出了一種改進的CORDIC限幅器(Improved CORDIC Clipper)(以下簡稱IC限幅器)。IC限幅器將幅值計算和限幅向量的旋轉合并到同一個CORDIC模塊中，將模塊間的通信轉化為模塊內的通信，從而避免存儲額外的相位旋轉變量，簡化了設計。仿真表明，相比于傳統限幅器，IC限幅器使用的資源減少了近一半，最大時鐘速率提高了約2.4倍。

文章第二部分介紹了CORDIC算法的原理，第三部分闡述了傳統限幅器的設計，第四部分是關于PC限幅器原理，第五部分討論了IC限幅器的設計原理及考慮，最后兩部分分別分析了仿真結果以及給出了設計的結論。

2 CORDIC算法

CORDIC有旋轉法和矢量法兩種，本文只討論旋轉法。

假設點A沿逆時針方向旋轉θ角度至點B，點A 坐標為(xi，yi)，點 B 為(xi+1，yi+1)，見圖 1。經推導有如下關系:

同樣旋轉θ角，當點A沿順時針方向轉至點B＇時，有

設每次旋轉的角度為α=arctan2-(i-2)，

其中

zi是當前坐標點與目標點相差的角度，決定了當前旋轉方向。則總的旋轉度數為

旋轉次數n決定了算法精度，經過n次旋轉，向量的幅度因子

當n足夠大時，K≈0.607253。

圖1 坐標旋轉示意圖

3 傳統限幅器

3.1 CORDIC求幅值

由(3)，設原始向量(x0，y0)，其向量角 θ，使用CORDIC旋轉模式，經過n次旋轉，旋轉角度為-θ，則

變量xn與該向量幅值息息相關。

CORDIC算法的關鍵之一是旋轉方向的確定。(3)中zi決定了旋轉方向，由于每次旋轉的角度已知，可以將各次旋轉角度事先存儲在ROM表中。求幅值的CORDIC算法特殊性在于它是將向量旋轉到x軸上，因此，旋轉的方向可由y向量確定。

CORDIC旋轉角θ的大小和迭代次數n相關，其取值范圍為［-99.88o，99.88o］，而不是整個象限［-180o，180o］，因此，第二、三象限不在旋轉范圍內。迭代前應將初始向量變換到一、四象限［8］。

CORDIC算法引入了幅度增益因子K，初始向量(x0，y0)經CORDIC旋轉的輸出并不是其幅度，而是幅度的1/K。

3.2 傳統限幅器設計

限幅器是畸變類峰均比抑制算法中的重要模塊之一。通過限幅器，大功率的信號被抑制，降低了OFDM峰值功率，從而降低了OFDM的峰均比。

限幅是將超過設定門限的信號截斷，是一種非線性操作。輸入復信號c(n)，設定限幅門限為A，限幅原理如下:

其中|c(n)|表示復信號c(n)的模。當c(n)幅值小于等于門限值A時，限幅器沒有非線性操作，當c(n)幅值大于A時，限幅器將c(n)的幅值限定在A。

傳統限幅器由乘除運算實現，見圖2。MAG模塊計算復信號幅值，MULT模塊實現如下功能:若幅值大于門限值，輸出 VCLIP與向量的乘積，否則MAG與向量乘積。DIV模塊完成除法運算。其中乘法用FPGA自帶的專用乘法器實現，以提高乘法運算速度。除法可直接調用Altera的IP核，速度較慢。

如上所述，MAG模塊輸出幅值MAG并不是輸入的幅度，而是幅度的1/K。

4 PC限幅器

Altera公司的PC限幅器是一種完全基于CORDIC算法的限幅器。CORDIC首先變換笛卡爾坐標為極坐標，選擇器選擇輸出幅值R或門限值Amax，第二個CORDIC模塊與第一個相反，它將極坐標重新轉化為笛卡爾坐標。

圖2 傳統限幅器

PC限幅器用CORDIC算法的移位加減運算替代了乘除運算。不僅減少了資源消耗，也提高了運算速度。它采用了兩個CORDIC模塊分別完成幅值計算和限幅向量的旋轉，模塊間通過存儲的相位旋轉變量通信。

圖3 PC限幅器

5 改進的CORDIC限幅器

PC限幅器CORDIC模塊2將極坐標沿著CORDIC1的旋轉路徑旋轉回笛卡爾坐標。這意味著需要存儲CORDIC1旋轉方向，增加了設計的復雜度。在設計CORDIC算法的限幅器時，可充分考慮邏輯和資源復用以簡化程序設計和減少資源消耗。IC限幅器在PC限幅器的基礎上做了改進。

傳統限幅器使用了CORDIC算法計算信號幅值。它通過將向量旋轉到x軸，以此計算復信號幅值，向量的分量決定了旋轉方向。IC限幅器在同一CORDIC模塊中經過相反的旋轉，將限幅向量由x軸旋轉到與信號重合位置，以實現限幅操作，算法流程如圖4。

輸入 vinit是預設的限幅門限。c1x0，c1y0是CORDIC1的初始寄存器值，c2x0，c2y0是 CORDIC2的初始寄存器值，c1yi是CORDIC1每次迭代的y向量。

輸入信號有效時，首先判斷其是否在一、四象限，若在，CORDIC1初始值即為輸入向量值，CORDIC2為(vinit，0)，否則 CORDIC1 為其原點對稱值，CORDIC2為(-vinit，0)。迭代中，若當前 CORDIC1的 y值 大 于 0，則 CORDIC1，CORDIC2分別順時針、逆時針旋轉，否則相反。迭代結束后，若幅值MAG大于門限Vclip，選擇器選擇輸出CORDIC2旋轉輸出值，否則輸出原輸入向量。

圖4 改進的CORDIC限幅器

由第2部分得知，CORDIC輸出與輸入幅值存在比例關系K，在設定初始值時考慮到這點，可避免在輸出端作乘法以補償K因子。設仿真得到限幅門限值為，則vinit應設為max*K，由此旋轉后的I分量和Q分量與原信號的I、Q分量具有可比較性，而不用額外作比例轉換。Vclip應設為max/K，如此這樣，CORDIC1輸出幅值與限幅門限可直接比較，進一步簡化了設計復雜度。

6 仿真結果

6.1 仿真系統搭建

仿真系統如圖5所示。仿真激勵是一個時隙的CMMB信號［9］，每個時隙由53個 OFDM 幀組成，每個OFDM幀有3076個有效子載波和1020個零載波。有效子載波采用QPSK映射方式。

激勵信號首先經過4倍升采樣濾波。用數字信號表示模擬信號波形時，升采樣可以更真實地反映模擬信號的峰均比分布情況。研究表明，4倍升采樣已足夠表示真實信號的時域分布［10］。

升采樣后的CMMB信號進入限幅器，高電平信號被截斷。限幅引入了非線性誤差，帶內表現為星座圖彌散和旋轉，帶外表現為噪聲迭起。其后的濾波模塊可有效地降低帶外噪聲。

圖5 仿真系統框圖

6.2 仿真效果

激勵信號經過4倍上采樣和限幅濾波后，原始信號幅值分布更加平滑，原來出現概率較低的大信號消失，峰均比有效降低，如圖6。

圖6限幅前后時域分布

6.3 精度

CORDIC算法的迭代次數決定了運算復雜度和精度，有限的迭代次數導致了有限的精度。Matlab浮點運算可以得到精度很高的結果，以此為基礎，可以分析理想限幅器和傳統限幅器間的誤差大小。

輸入4096*53個隨機數據，經圖5所示數據處理，定義變量SNR來衡量IC限幅器的精度，信噪比

其中，Pclip是理想限幅器輸出總功率，Perr是總誤差功率。SNR(dB)隨迭代次數N變化如表1:

表1

由表可以看出，隨著迭代次數的增加，SNR越來越高，IC限幅器的精度越來越高。迭代8次SNR為53.52dB，滿足一般應用。

6.4 資源使用和時鐘速率

基于Altera的EP3C25F256C8平臺，輸入輸出16比特。傳統限幅器模塊乘法輸出結果截取19比特，CORDIC算法迭代8次，IC限幅器，PC限幅器及傳統限幅器資源使用情況如表2:

表2

可以看出，IC限幅器相比于傳統限幅器和PC限幅器，減少了資源消耗。傳統限幅器設計組合邏輯和時序邏輯比例約為2.8，其中的除法模塊達到了460∶82≈5.6，龐大的組合邏輯，對時序提出了挑戰。當除法器的分子輸入為19比特時，仿真結果表明，IC限幅器fmax可達220.4Mhz，而傳統限幅器只有92.58Mhz。隨著除法輸入比特數的增加，組合邏輯的比例隨之增加，時鐘速率不斷下降。

使用了大量組合邏輯的除法模塊，不適合應用于高速設計。基于IC算法的限幅器，采用了簡單的移位運算替代傳統的乘除運算，同時將PC限幅器模塊間通信轉化為模塊內通信，不僅減少了資源的使用，也極大地提高了時鐘速率。

7 結論

IC限幅器采用簡單的移位加減運算替代傳統限幅器的乘除運算，它抑制了OFDM大信號出現的概率，有效地降低了其峰均比。當除法模塊分子輸入19比特，CORDIC迭代8次時，相比于傳統限幅器，IC限幅器邏輯資源使用減少了近一半，DSP使用0個，并且最大時鐘速率提高了約2.4倍。

CORDIC迭代次數限制了其精度。迭代8次時，SNR為55.52dB，滿足一般用途。

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［6］Altera Corporation.Crest Factor Reduction［EB/OL］.Altera官方網站:http://www.altera.com.cn/literature/an/an396.pdf.2007.

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