對參數假設檢驗中幾對關系的研究

代婷

濟南職業學院基礎部, 濟南 250014

對參數假設檢驗中幾對關系的研究

代婷

濟南職業學院基礎部, 濟南 250014

A Research on several couples of relationships of the Hypothesis Testing

參數假設檢驗中存在四對密切相關的概念：原假設與備擇假設、兩類錯誤、P-值法與臨界值法、區間估計與假設檢驗，深入了解這些概念及其原理之間的關系有利于準確把握假設檢驗的思想與方法。

參數假設檢驗；原假設與備擇假設；兩類錯誤；P-值法與臨界值法；區間估計與假設檢驗

假設檢驗是統計推斷的一種重要方法，包括參數假設檢驗和非參數假設檢驗，參數假設檢驗即研究者事先對未知參數做出假設，再利用樣本信息對做出的假設進行檢驗。其應用可涉及社會生活中的各個領域，如經濟管理、醫學研究、教育管理等。而假設檢驗的應用過程中，存在幾對關系，是正確理解和應用的關鍵，若不能正確理解，便會導致方法失效，甚至帶來不良后果，因此有必要深入系統地對這幾對關系進行研究。

1 原假設與備擇假設

按照假設檢驗的原理及步驟，首先要根據問題對總體參數做一個嘗試性的假設，該嘗試性的假設即為原假設H0，而后再定義另一個與原假設的內容完全相反的假設，記為H1，稱作備擇假設。在假設檢驗的過程中，二者成對出現，但在應用中，如何建立原假設和備擇假設并不顯而易見，二者若交換，就會得到相反的結論。

例如，某品牌電視機生產廠家，聲稱其產品合格率達到95%以上，質管部門隨機抽取了500臺進行檢驗，經檢驗，發現480臺為合格品，那么根據樣本數據，有充分理由相信該廠家的說法嗎？（a=0.05）

解：首先經判斷，確定檢驗統計量為

說明Z未落入拒絕域，因此不能拒絕H0，即沒有理由認為該產品合格率低于95%。

模式二，假設

同樣，Z未落入拒絕域，因此不能拒絕原假設，即沒有理由認為該產品合格率超過95%。

在上例中，同樣的樣本，同樣的檢驗統計量，當交換原假設和備擇假設后卻得到兩個不同的結論，從區間的角度來看，產生這一現象的原因是，在一定的顯著性水平 a下，模式一的接受域為：[-Za,＋∞),交換原假設后，接受域為(-∞,Za]，因此兩種情況下，接受域有公共交集[-Za,Za]，當樣本觀測值落入該交集后，則會產生相反的結論。因此，若想改變這種現象，可以適當提高顯著性水平，從而縮小接受域的交集。另外，還要慎重選擇原假設。根據皮爾遜和奈曼的統計思想，當原假設為真時，拒絕原假設（即第一類錯誤）的概率為顯著性水平a，而a一般很小，且可以控制，所以提倡設置原假設時，在控制第一類錯誤的概率a下，盡量使第二類錯誤的概率β小，即我們只對犯第一類錯誤的概率a加以限制，而對β的具體取值不用考慮，因此，假設檢驗的目的更傾向于拒絕H0，而H0往往是受保護的，要想拒絕它需要很充分的證據。所以在設定原假設時，一般遵循如下原則：

1 ) 原假設往往是有事實依據的，沒有足夠的證據一般不能拒絕。

2 ) 應把拒絕時導致的后果更嚴重的假設作為原假設。

3 ) 無論是單側檢驗，還是雙側檢驗，等號往往出現在原假設中，即如下三種形式：

2 第一類錯誤與第二類錯誤

假設檢驗的基本思想是小概率原理，即認為小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發生，但不等于絕對不發生，于是存在兩類錯誤，H0為真卻拒絕的錯誤為棄真錯誤，即第一類錯誤，其概率為顯著性水平a，是在研究設計時根據不同研究目的預先規定的允許犯第一類錯誤概率的最大值。反之，若H0不真而被接受，則形成取偽錯誤即第二類錯誤，其概率記作β。

在假設檢驗的過程中，不對β進行設置，因此，不能只根據檢驗統計量的概率P>a就盲目接受H0，而只能說“不能拒絕H0”，相反，若p≤a，就可以明確下結論：拒絕H0，因為，犯第一類錯誤的概率不會超過事先制定的概率a。

以樣本均值與總體均值比較的單側Z檢驗為例，說明a與β的關系。設，若H0為真，由

則不能拒絕H0，此時犯第二類錯誤，概率為β，從圖中可見兩種錯誤之間的關系：

1 ) α+β不一定等于1；

2 ) 在其他條件不變的前提下，兩類錯誤一個增大，則另一個就減小。在圖中可見，當臨界值Xα向右移動時，α減小，則β變大，反之亦然。

3 P-值法與臨界值法

當用檢驗統計量的值來提供證明是否拒絕H0時，可以借助兩種方法：P-值法與臨界值法。P-值是一個概率值，是由檢驗統計量的樣本觀測值得出的原假設可被拒絕的最小顯著性水平，用來衡量樣本對原假設的支持程度，P-值越小，說明對原假設的支持程度就越低。

臨界值是指導致拒絕原假設的檢驗統計量的最大值。同樣以正態總體中均值μ的檢驗為例，檢驗統計量仍為，左側檢驗時，若Z≤-Za，則拒絕H0，此時，-Za為臨界值，即標準正態分布的下側面積對應于α的Z值；右側檢驗時，若Z≥Za，則拒絕H0；雙側檢驗時，｜Z｜≥-Za/2，則拒絕H0。

根據上述對P-值法和臨界值法的應用原理的描述，可以得到兩者之間的關系為：

1 )、兩種方法計算所得出的有關假設檢驗的結論肯定相同。

2 )、當α= P 值時，則P-值法中統計量的值A 剛好等于臨界值。

3 )、P-值法能更充分驗證結果的顯著程度，是一種實測顯著性水平，而臨界值法只能驗證在給定的顯著性水平下是否顯著。

4 區間估計與假設檢驗

參數的區間估計與假設檢驗都是用樣本來統計推斷總體的方法，兩者在理論和方法上具有很強的相通性。

以對總體均值進行估計為例，在σ已知的情況下，總體均值的100(1-α)%置信區間估計為，說明在置信區間中，有100(1-α)%將總體均值包括在內，有100α%沒有將總體均值包括進去，說明在原假設為真時，以概率α拒絕它。因此，構造一個100(1-α)%置信區間并且當區間不包括μ0時拒絕，等價于在顯著性水平α下進行雙側假設檢驗。

從上述兩種方法的相通上可以得出二者有著如下關系：

1 ) 兩者解決問題思想方法一致，都是利用樣本資料來推斷總體指標，在推斷過程中，選取同樣的統計量，使該統計量落在某個已知區間上的概率為 。

2 ) 兩種方法推斷的結果都有一定的可信度和風險性。

3 ) 區間估計的置信度100(1-α)%與假設檢驗中的顯著性水平 密切相關，而置信區間與假設檢驗中的接受域相同。

4 ) 對已知資料的掌握程度不同。區間估計對未知參數一無所知，利用樣本資料，在一定的保證程度下估計出它的可能范圍。而假設檢驗對未知參數有所了解，但不能確定，因此在一定的顯著性水平下進行判斷。

5 ) 由相同的統計量構造的事件不同。區間估計得到的是一個大概率（100(1-α)%）事件，而假設檢驗利用的是小概率（α）事件。

5 小結

假設檢驗在現實生活中應用廣泛，但在應用的過程中，若不能準確把握其中的思想及運算方法，則不能有效實現它的用途，本文沿著設置假設到完成檢驗的過程，從深入剖析假設檢驗中幾對重要關系出發，對假設檢驗的精髓進行了深入的分析，希望為該推斷方法的學習與應用提供參考。

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10.3969/j.issn.1001-8972.2012.18.016

代婷，1982年生人，女，漢族，山東濟南人，碩士，單位：濟南職業學院，研究方向：數學教育。

AbstractThere are 4 pairs of relationships in the Hypothesis Testing: null hypothesis and alternative hypothesis、two types of errors、the P-value method and the critical value method、Interval estimation and hypothesis testing，A thorough understanding of the relationships of these concepts and principles is very useful to grasp the thought and method of the Hypothesis Testing.

KeywordsParameter hypothesis testing; null hypothesis and alternative hypothesis; two types of errors; the P-value method and the critical value method; Interval estimation and hypothesis testing