基于多尺度小波譜的橋梁結(jié)構(gòu)非一致地震響應(yīng)分析研究

杜 鵬，賈俊梅

（1.天津市市政工程設(shè)計(jì)研究院，天津市 300051；2.中交第一航務(wù)工程勘察設(shè)計(jì)院有限公司，天津市 300222）

0 前言

目前，隨著我國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，許多大跨度橋梁相繼建成。為了保證大跨度橋梁的抗震安全，需要對其進(jìn)行專門的抗震分析。在以往的橋梁抗震設(shè)計(jì)中，人們趨向于只考慮單點(diǎn)平動輸入下的結(jié)構(gòu)反應(yīng)，然而隨著近年來地震觀測資料的不斷豐富，人們發(fā)現(xiàn)地震波在沿大跨度結(jié)構(gòu)傳播過程中會有顯著的變化[1]，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)不同支點(diǎn)的運(yùn)動明顯不同，因此采用多點(diǎn)非一致激勵對大跨度橋梁進(jìn)行地震反應(yīng)分析顯得十分的重要。

引起地震動時空變化的因素歸結(jié)起來有以下幾個方面[2]：一是“行波效應(yīng)”；二是“部分相干性的影響”；三是“局部場地效應(yīng)的影響”。可以看出，一致激勵實(shí)際上相當(dāng)于多點(diǎn)非一致激勵作了波速無窮大、各個支點(diǎn)運(yùn)動完全相干、場地均勻等假定后的簡化模型。

在求解大跨度結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)方面，DerKiureghian和Neuenhofer[2]、Loh和Ku[3]提出了基于反應(yīng)譜的方法去考慮地震動的空間效應(yīng)。這些研究都是基于地震動為平穩(wěn)隨機(jī)過程的前提下提出的，而且其計(jì)算效率及精度都存在不小的問題[4]。但是，眾所周知，地震動是一個強(qiáng)非平穩(wěn)過程，對于地震動非平穩(wěn)模型的模擬，一些學(xué)者也提出了一些擬合模型，如：Kameda[5]，Li和 Kareem[6-8]，Conte Peng[9]提出 的 一 維 非 平 穩(wěn) 擬 合 模 型 ，Li 和 Kareem[6，8]，Deodatis[10]提出的多維非平穩(wěn)擬合模型，以上這些學(xué)者在提出地震動非平穩(wěn)擬合的時候都沒有提出好的估計(jì)地震波演變功率譜密度的方法，因此這些方法應(yīng)用起來并不方便。

本文在前人工作的基礎(chǔ)上，基于小波理論對非平穩(wěn)地震動過程進(jìn)行了合理的擬合，該荷載模型不但可以模擬非平穩(wěn)荷載幅值及頻率同時為非平穩(wěn)過程的特性，而且該模型還考慮了多點(diǎn)激勵下荷載行波效應(yīng)及場地土部分相干性的影響;其次，本文基于小波理論多點(diǎn)激勵下結(jié)構(gòu)的動力方程在小波域內(nèi)對結(jié)構(gòu)的響應(yīng)進(jìn)行求解，得到了結(jié)構(gòu)響應(yīng)的瞬時功率譜密度函數(shù)和響應(yīng)瞬時均方值的表達(dá)式，最后，本文利用一個三跨連續(xù)梁橋的算例，對所提的方法進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 非一致地震激勵的多尺度小波譜模擬

考慮到大跨度結(jié)構(gòu)多點(diǎn)激勵問題，可以將任一個支點(diǎn)的非平穩(wěn)地震動激勵用x¨gr（t）來表示，其中r=1，2，…，n，表示支點(diǎn)的位置，而第 r個支點(diǎn)的地震動x¨gr（t）可以用Priestly提出的演變隨機(jī)過程[11]的公式來表達(dá)：

式（1）中Ar（t，ω）為隨時間和頻率同時變化的確定性調(diào)制函數(shù)，而dGr（ω）表示對應(yīng)支點(diǎn)處的正交增量過程，其中：

然后，對于x¨gr（t）在任意一個給定尺度aj上進(jìn)行小波變換并將式（1）帶入其中可以得到：

由于小波基函數(shù)的局部化特性，可以近似認(rèn)為Ar（t，ω）在時刻b附近不隨時間發(fā)生波動；并且，由于調(diào)幅函數(shù)是一個慢變函數(shù)，因此可以近似地認(rèn)為，在尺度aj所對應(yīng)的頻帶上調(diào)制函數(shù)Ar（b，ω）不隨頻率變化，從而式（3）可以表示為：

其中：

其中：Arj（b）為在aj尺度上的確定性均勻調(diào)制函數(shù)，在每一個尺度上Arj（b）為不同的均勻調(diào)制函數(shù)，由此可以看出，模擬的隨機(jī)過程本質(zhì)上是一個分段平穩(wěn)過程，但此分段平穩(wěn)過程可以根據(jù)所要模擬的非平穩(wěn)過程的局部特性來劃分頻帶的寬度，從而根據(jù)不同的頻帶寬度來選擇均勻調(diào)制函數(shù)的形式。由式可以得到不同支點(diǎn)處地震波小波系數(shù)的互相關(guān)函數(shù)在尺度aj上的表達(dá)式：

其中：

在式（6）中，τr分別代表頻帶j上的地震波從到達(dá)結(jié)構(gòu)第一個支點(diǎn)到第r個支點(diǎn)傳播的時間，τr=Lr/Vj其中Lr代表第一個支點(diǎn)和第r個支點(diǎn)之間的距離，Vj代表在尺度j上地震波傳播的速度；同樣τl與Ll也具有同樣的意義。式（7）中的E[dG~r（ω）dG~l（ω'）]表示在支點(diǎn)r和l處正交過程的互功率譜密度，其可以表示由于行波效應(yīng)引起的地震動空間相關(guān)性。其中，支點(diǎn)r和l之間地震動的互功率譜密度可以表示為：

其中：γrl（ω）為不同支點(diǎn)處地震動的相干函數(shù)。

由此，式（6）為不同支點(diǎn)處地震動荷載小波系數(shù)的互相關(guān)函數(shù)的表達(dá)式，也可以說式（6）為地震動荷載的小波譜表達(dá)式，該式表征非一致隨機(jī)激勵荷載的統(tǒng)計(jì)特性。

2 大跨度結(jié)構(gòu)體系非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)分析的小波方法

對于有N個地面支座、n個自由度的離散線性結(jié)構(gòu)，在多點(diǎn)激勵下求解結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的基本運(yùn)動方程可以寫成如下形式[13]：

式（9）為多點(diǎn)激勵下n個自由度結(jié)構(gòu)體系地震響應(yīng)的運(yùn)動方程，而結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)可以表達(dá)為振型向量{φ（j）}（j=1,2，…，n）與廣義坐標(biāo)ηj（t）（j=1，2，…，n）乘積之和的形式，即：

當(dāng)結(jié)構(gòu)的阻尼為比例阻尼時，式（9）可以解耦為n個單自由度結(jié)構(gòu)的動力方程，其結(jié)構(gòu)響應(yīng)即為式（10）中的廣義坐標(biāo)，其中第j個振型所對應(yīng)廣義坐標(biāo)的動力方程為：其中：ωj，ξj，αjr(={φ（j）}T[Mss]{F（r）}/{φ（j）}T[Mss]{φ（j）})分別表示第j階模態(tài)的固有頻率、阻尼比及振型參與系數(shù)。

對式（10）兩邊進(jìn)行連續(xù)小波變換可以得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)的小波系數(shù)，其中第i個自由度對應(yīng)的小波系數(shù)為：其中：φi（j）為振型向量（φ（j））中第i個元素，對式（12）兩邊取平方期望可以得到：

為了確定式中（13）每一階振型所對應(yīng)的廣義坐標(biāo)的自相關(guān)小波系數(shù)與互相關(guān)小波系數(shù)，將ηj（t），x¨br（t）按照Alkemede提出的離散化方案[14]進(jìn)行離散化，該離散化的形式是令：aj=σj，bj=（j-1）Δb，由此可以得到：

利用此離散化形式，ηj（t），x¨br（t）可以寫為：

其中）。

將其代入到式（11）中并對方程的左右兩邊進(jìn)行Fourier變換可以得到：

其中：

為了對式進(jìn)行化簡，小波基函數(shù)選取Basu與Gupta提出的正交小波基函數(shù)[12]，式（18）可以化簡為：

對于第k階振型所對應(yīng)的廣義坐標(biāo)ηk（t）同樣也可以得到類似的形式：

對式（21）兩邊取共軛并與式（20）兩邊相乘并取期望，然后在方程左右兩邊對自變量ω進(jìn)行積分，根據(jù)小波基函數(shù)的正交性可以得到：

當(dāng)j=k時

當(dāng) j≠k 時

根據(jù)文獻(xiàn)[12]所述，激勵小波系數(shù)在不同時刻的互相關(guān)系數(shù)項(xiàng)之和趨近于零，所以被省略掉了。根據(jù)Paserval定理可以知道Ydi（t）在所有頻帶總能量的平均值可以表示為

將式（13）、式（22）及式（23）代入到式（24）中來可以得到：

結(jié)構(gòu)響應(yīng)Ydt（t）在尺度ap所對應(yīng)的頻帶內(nèi)的瞬時均方能量為：

當(dāng)σ≈1時，對于每一尺度ap小波基函數(shù)所對應(yīng)的頻帶很窄，即式（26）的積分區(qū)間很小，因此可以近似地認(rèn)為被積函數(shù)相等，由此可以得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)的瞬時功率譜密度函數(shù)的表達(dá)式為：結(jié)構(gòu)響應(yīng)的瞬時均方值可以表達(dá)為：

同理，也可以根據(jù)以上的推導(dǎo)過程得到結(jié)構(gòu)擬靜態(tài)位移響應(yīng)的瞬時功率譜密度與瞬時均方值的表達(dá)式，其表達(dá)式如下所示：

其中：Fui為支座第u個自由度方向的單位位移在結(jié)構(gòu)第i個自由度上產(chǎn)生的力，其它符號的意義與式（27）、式（28）相同。

則結(jié)構(gòu)相對地面的總位移響應(yīng)的瞬時功率譜密度為：

結(jié)構(gòu)相對地面的總位移響應(yīng)的均方值為：

3 三跨連續(xù)剛構(gòu)橋數(shù)值算例

3.1 工程概況

本文采用的三跨連續(xù)剛構(gòu)橋是武漢天興洲公鐵兩用長江大橋公路引線工程南岸部分和平大道段的一座橋梁，其位于武昌區(qū)的和平大道處。本區(qū)段全長206 m，采用（58+90+58）m一聯(lián)的三跨連續(xù)剛構(gòu)橋，按汽車6車道設(shè)計(jì)，梁的全斷面為單幅結(jié)構(gòu)分離式直腹單箱單室箱形梁，按橋中心線對稱布置，橋面采用結(jié)構(gòu)找坡，全聯(lián)平曲線3 500 m，其總體布置和箱梁截面尺寸如圖 1～圖 3所示。箱梁頂寬13.49 m，底寬7 m，中(邊)跨梁高由跨中(端部)2.4 m變化到根部5.0 m，梁下緣變化按圓曲線設(shè)置。跨內(nèi)兩墩分別高33.044 m(1#墩)和31.77 m(2#墩)，均采用7 m×4 m矩形空心薄壁墩，壁縱向厚0.9 m，橫向0.6 m。梁體采用掛籃對稱懸臂現(xiàn)澆，邊跨箱梁和橋墩連接處設(shè)GPZ3.5DX和GPZ3.5SX盆式橡膠支座，路面鋪裝采用100 mm厚改性瀝青混凝土。其場地土類別為III類，抗震設(shè)防烈度VI度。

3.2 計(jì)算模型參數(shù)及其動力特性

圖1 連續(xù)剛構(gòu)橋結(jié)構(gòu)總體布置圖（單位：mm）

圖2 連續(xù)剛構(gòu)橋機(jī)構(gòu)剖面布置圖（單位：mm）

本文首先用通用有限元軟件ANSYS對連續(xù)剛構(gòu)橋進(jìn)行平面桿系建模，然后將模型的質(zhì)量，剛度矩陣導(dǎo)出，利用自編的MATLAB及FORTRAN程序進(jìn)行橋梁的地震響應(yīng)分析。全橋共離散成89個節(jié)點(diǎn)，其中主梁75個節(jié)點(diǎn)，橋墩14個節(jié)點(diǎn)，主梁及橋墩均采用平面梁單元BEAM3進(jìn)行建模，為了計(jì)算簡便將左右邊墩簡化成兩個支座，支座僅約束主梁的豎向位移，主梁的混凝土強(qiáng)度等級為C50，橋墩為 C40，泊松比 0.1667，混凝土容重26 000 N/m3。

利用上述所建立的有限元模型，用子空間法計(jì)算了該橋的前8階的頻率，周期及其振動形式，如表1所示。

圖3 箱梁及墩身截面尺寸（單位：mm）

表 1計(jì)算模型前8階自振頻率及振型特性

3.3 三跨連續(xù)梁橋在實(shí)際地震動作用下響應(yīng)分析

本小節(jié)選取的實(shí)際地震動記錄為SMART1臺網(wǎng)所記錄的地震動E-45的45條地震波進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算，調(diào)制函數(shù)Gamma模型[15]，其參數(shù)按照表2選取，地震動自功率譜密度模型選擇胡聿賢模型[16]，其參數(shù)按照表 3進(jìn)行選取地震波的波速為v=1 000 m/s，加載方向?yàn)轫槝蛳蚣虞d。

3.3.1一致激勵情況

從圖4及圖 5可以看出，在一致地震激勵作用下由實(shí)際地震動計(jì)算統(tǒng)計(jì)得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)的瞬時均方根值與由本文統(tǒng)計(jì)得到的荷載模型計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)的瞬時均方根值基本一致，但是計(jì)算速度比用時程分析方法的計(jì)算速度快很多。

3.3.2非一致激勵情況

從圖6及圖7可以看出，在非一致地震激勵作用下由實(shí)際地震動計(jì)算統(tǒng)計(jì)得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)的瞬時均方根值與由本文統(tǒng)計(jì)得到的荷載模型計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)的瞬時均方根值基本一致，但是計(jì)算速度比用時程分析方法的計(jì)算速度快很多。

表2 由SMART1臺網(wǎng)地震動信號E-45確定的Gamma模型參數(shù)

表3 由SMART-1臺網(wǎng)地震動信號E-45確定的功率譜參數(shù)（胡聿賢譜n=6）

圖4 一致地震動激動下連續(xù)剛橋左邊跨及中跨跨中豎向總相對位移響應(yīng)的瞬時均方根值對比圖（a：左邊跨，b：中跨）

通過以上的算例可以看出本文所提出的方法的計(jì)算結(jié)果與用時程分析方法計(jì)算統(tǒng)計(jì)的結(jié)果基本吻合，但是計(jì)算效率上卻要大大優(yōu)于時程分析方法，從而可以看出本文提出的方法在求解非一致地震響應(yīng)時的優(yōu)越性。

圖5 一致地震動激動下連續(xù)剛橋1#墩及2#墩墩頂順橋向總相對位移響應(yīng)的瞬時均方根值對比圖（a：#墩，b：2#墩）

圖6 非一致地震動激動下連續(xù)剛橋左邊跨及中跨跨中豎向總相對位移響應(yīng)的瞬時均方根值對比圖（a：左邊跨，b：中跨）

4 結(jié)論

本文利用小波理論首先提出了用于非一致激勵的非平穩(wěn)地震動荷載模型，該模型可以很方便地考慮地震動的行波效應(yīng)，場地土特性及部分相干性的影響，其次推導(dǎo)了多自由度結(jié)構(gòu)體系在非一致非平穩(wěn)隨機(jī)激勵下響應(yīng)的瞬時功率譜密度及響應(yīng)的瞬時均方值的表達(dá)式，通過一座三跨連續(xù)剛構(gòu)橋的算例驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性。

[1]李建俊.隨機(jī)地震響應(yīng)分析的虛擬激勵法[D].大連：大連理工大學(xué)，1994.

[2]Armen Der Kiureghian,A.Neuenhofer.Response Sepctrum Method for Multi-Support Seismic Excitations[J].Earthquake Eng.Struct.Dyn.,1992(21):713-740.

[3]Loh,C.H.,and Ku,B.D.,An efficient analysis of structural response for multiple-suppot seismic excitations[J].Eng.Struct.,1995,17(1):15-26.

[4]Lin J.H.,Shen W.P.,Williams F.M.Accurate High-Speed Computation of Non-Stationary Random Structure Response[J].Engineering Structures,1997,19(7):586-593.

[5]Kameda H.Evolutionary spectra of seismogram by multifilter[J].Engrg Mech Div，1975,101(6):787-801.

[6]Li Y,Kareem A.Simulation of multivariate nonstationary random processes by FFT.[J].Engrg Mech,1991,117(5):1037-1058.

[7]Li Y,Kareem A.Simulation of multivariate random processes:hybrid DFT and digital filtering approach[J].Engrg Mech,1993,119(5):1078-1098.

[8]Li Y,Kareem A.Simulation of multivariate nonstationary random processes:hybrid DFT and digital filtering approach [J].Engrg Mech,1997,123(12):1302-1310.

[9]Come J P,Peng B E.Fully non-stationary analytical earthquake ground motion model[J].Engrg Mech,1997(1):15-24.

[10]Deodatis G.Non-stationary stochastic vector processes:seismic ground motion applications[J].Probabilistic Engrg Mech,1996(11):149-168.

[11]M.B.Priestley.Evolutionary Spectra and Non-Stationary Processes,Journal of the Royal Statistical Society[J].Series B(Methodological),1965,27(2):204-237.

[12]Basu,B.and Gupta,V.K.Seismic response of SDOF system by wavelet modeling of nonstationary processes[J].Eng.Mech.,124(10):1142-1150.

[13]Clough R W,Penzien J.Dynamics of Structures[M].New York:McGraw-Hill Inc,1993

[14]G.Rodolfo Saragoni,Gary C.Hart.Simulation of artificial earthquakes [J] .Earthquake Engineering and Structural Dynamics,1974(2):249-267.