基于多尺度小波譜的橋梁結構非一致地震響應分析研究

杜 鵬，賈俊梅

（1.天津市市政工程設計研究院，天津市 300051；2.中交第一航務工程勘察設計院有限公司，天津市 300222）

0 前言

目前，隨著我國經濟的發展，許多大跨度橋梁相繼建成。為了保證大跨度橋梁的抗震安全，需要對其進行專門的抗震分析。在以往的橋梁抗震設計中，人們趨向于只考慮單點平動輸入下的結構反應，然而隨著近年來地震觀測資料的不斷豐富，人們發現地震波在沿大跨度結構傳播過程中會有顯著的變化[1]，從而導致結構不同支點的運動明顯不同，因此采用多點非一致激勵對大跨度橋梁進行地震反應分析顯得十分的重要。

引起地震動時空變化的因素歸結起來有以下幾個方面[2]：一是“行波效應”；二是“部分相干性的影響”；三是“局部場地效應的影響”。可以看出，一致激勵實際上相當于多點非一致激勵作了波速無窮大、各個支點運動完全相干、場地均勻等假定后的簡化模型。

在求解大跨度結構地震響應方面，DerKiureghian和Neuenhofer[2]、Loh和Ku[3]提出了基于反應譜的方法去考慮地震動的空間效應。這些研究都是基于地震動為平穩隨機過程的前提下提出的，而且其計算效率及精度都存在不小的問題[4]。但是，眾所周知，地震動是一個強非平穩過程，對于地震動非平穩模型的模擬，一些學者也提出了一些擬合模型，如：Kameda[5]，Li和 Kareem[6-8]，Conte Peng[9]提出 的 一 維 非 平 穩 擬 合 模 型 ，Li 和 Kareem[6，8]，Deodatis[10]提出的多維非平穩擬合模型，以上這些學者在提出地震動非平穩擬合的時候都沒有提出好的估計地震波演變功率譜密度的方法，因此這些方法應用起來并不方便。

本文在前人工作的基礎上，基于小波理論對非平穩地震動過程進行了合理的擬合，該荷載模型不但可以模擬非平穩荷載幅值及頻率同時為非平穩過程的特性，而且該模型還考慮了多點激勵下荷載行波效應及場地土部分相干性的影響;其次，本文基于小波理論多點激勵下結構的動力方程在小波域內對結構的響應進行求解，得到了結構響應的瞬時功率譜密度函數和響應瞬時均方值的表達式，最后，本文利用一個三跨連續梁橋的算例，對所提的方法進行了驗證。

1 非一致地震激勵的多尺度小波譜模擬

考慮到大跨度結構多點激勵問題，可以將任一個支點的非平穩地震動激勵用x¨gr（t）來表示，其中r=1，2，…，n，表示支點的位置，而第 r個支點的地震動x¨gr（t）可以用Priestly提出的演變隨機過程[11]的公式來表達：

式（1）中Ar（t，ω）為隨時間和頻率同時變化的確定性調制函數，而dGr（ω）表示對應支點處的正交增量過程，其中：

然后，對于x¨gr（t）在任意一個給定尺度aj上進行小波變換并將式（1）帶入其中可以得到：

由于小波基函數的局部化特性，可以近似認為Ar（t，ω）在時刻b附近不隨時間發生波動；并且，由于調幅函數是一個慢變函數，因此可以近似地認為，在尺度aj所對應的頻帶上調制函數Ar（b，ω）不隨頻率變化，從而式（3）可以表示為：

其中：

其中：Arj（b）為在aj尺度上的確定性均勻調制函數，在每一個尺度上Arj（b）為不同的均勻調制函數，由此可以看出，模擬的隨機過程本質上是一個分段平穩過程，但此分段平穩過程可以根據所要模擬的非平穩過程的局部特性來劃分頻帶的寬度，從而根據不同的頻帶寬度來選擇均勻調制函數的形式。由式可以得到不同支點處地震波小波系數的互相關函數在尺度aj上的表達式：

其中：

在式（6）中，τr分別代表頻帶j上的地震波從到達結構第一個支點到第r個支點傳播的時間，τr=Lr/Vj其中Lr代表第一個支點和第r個支點之間的距離，Vj代表在尺度j上地震波傳播的速度；同樣τl與Ll也具有同樣的意義。式（7）中的E[dG~r（ω）dG~l（ω'）]表示在支點r和l處正交過程的互功率譜密度，其可以表示由于行波效應引起的地震動空間相關性。其中，支點r和l之間地震動的互功率譜密度可以表示為：

其中：γrl（ω）為不同支點處地震動的相干函數。

由此，式（6）為不同支點處地震動荷載小波系數的互相關函數的表達式，也可以說式（6）為地震動荷載的小波譜表達式，該式表征非一致隨機激勵荷載的統計特性。

2 大跨度結構體系非平穩隨機響應分析的小波方法

對于有N個地面支座、n個自由度的離散線性結構，在多點激勵下求解結構地震響應的基本運動方程可以寫成如下形式[13]：

式（9）為多點激勵下n個自由度結構體系地震響應的運動方程，而結構的地震響應可以表達為振型向量{φ（j）}（j=1,2，…，n）與廣義坐標ηj（t）（j=1，2，…，n）乘積之和的形式，即：

當結構的阻尼為比例阻尼時，式（9）可以解耦為n個單自由度結構的動力方程，其結構響應即為式（10）中的廣義坐標，其中第j個振型所對應廣義坐標的動力方程為：其中：ωj，ξj，αjr(={φ（j）}T[Mss]{F（r）}/{φ（j）}T[Mss]{φ（j）})分別表示第j階模態的固有頻率、阻尼比及振型參與系數。

對式（10）兩邊進行連續小波變換可以得到結構響應的小波系數，其中第i個自由度對應的小波系數為：其中：φi（j）為振型向量（φ（j））中第i個元素，對式（12）兩邊取平方期望可以得到：

為了確定式中（13）每一階振型所對應的廣義坐標的自相關小波系數與互相關小波系數，將ηj（t），x¨br（t）按照Alkemede提出的離散化方案[14]進行離散化，該離散化的形式是令：aj=σj，bj=（j-1）Δb，由此可以得到：

利用此離散化形式，ηj（t），x¨br（t）可以寫為：

其中）。

將其代入到式（11）中并對方程的左右兩邊進行Fourier變換可以得到：

其中：

為了對式進行化簡，小波基函數選取Basu與Gupta提出的正交小波基函數[12]，式（18）可以化簡為：

對于第k階振型所對應的廣義坐標ηk（t）同樣也可以得到類似的形式：

對式（21）兩邊取共軛并與式（20）兩邊相乘并取期望，然后在方程左右兩邊對自變量ω進行積分，根據小波基函數的正交性可以得到：

當j=k時

當 j≠k 時

根據文獻[12]所述，激勵小波系數在不同時刻的互相關系數項之和趨近于零，所以被省略掉了。根據Paserval定理可以知道Ydi（t）在所有頻帶總能量的平均值可以表示為

將式（13）、式（22）及式（23）代入到式（24）中來可以得到：

結構響應Ydt（t）在尺度ap所對應的頻帶內的瞬時均方能量為：

當σ≈1時，對于每一尺度ap小波基函數所對應的頻帶很窄，即式（26）的積分區間很小，因此可以近似地認為被積函數相等，由此可以得到結構響應的瞬時功率譜密度函數的表達式為：結構響應的瞬時均方值可以表達為：

同理，也可以根據以上的推導過程得到結構擬靜態位移響應的瞬時功率譜密度與瞬時均方值的表達式，其表達式如下所示：

其中：Fui為支座第u個自由度方向的單位位移在結構第i個自由度上產生的力，其它符號的意義與式（27）、式（28）相同。

則結構相對地面的總位移響應的瞬時功率譜密度為：

結構相對地面的總位移響應的均方值為：

3 三跨連續剛構橋數值算例

3.1 工程概況

本文采用的三跨連續剛構橋是武漢天興洲公鐵兩用長江大橋公路引線工程南岸部分和平大道段的一座橋梁，其位于武昌區的和平大道處。本區段全長206 m，采用（58+90+58）m一聯的三跨連續剛構橋，按汽車6車道設計，梁的全斷面為單幅結構分離式直腹單箱單室箱形梁，按橋中心線對稱布置，橋面采用結構找坡，全聯平曲線3 500 m，其總體布置和箱梁截面尺寸如圖 1～圖 3所示。箱梁頂寬13.49 m，底寬7 m，中(邊)跨梁高由跨中(端部)2.4 m變化到根部5.0 m，梁下緣變化按圓曲線設置。跨內兩墩分別高33.044 m(1#墩)和31.77 m(2#墩)，均采用7 m×4 m矩形空心薄壁墩，壁縱向厚0.9 m，橫向0.6 m。梁體采用掛籃對稱懸臂現澆，邊跨箱梁和橋墩連接處設GPZ3.5DX和GPZ3.5SX盆式橡膠支座，路面鋪裝采用100 mm厚改性瀝青混凝土。其場地土類別為III類，抗震設防烈度VI度。

3.2 計算模型參數及其動力特性

圖1 連續剛構橋結構總體布置圖（單位：mm）

圖2 連續剛構橋機構剖面布置圖（單位：mm）

本文首先用通用有限元軟件ANSYS對連續剛構橋進行平面桿系建模，然后將模型的質量，剛度矩陣導出，利用自編的MATLAB及FORTRAN程序進行橋梁的地震響應分析。全橋共離散成89個節點，其中主梁75個節點，橋墩14個節點，主梁及橋墩均采用平面梁單元BEAM3進行建模，為了計算簡便將左右邊墩簡化成兩個支座，支座僅約束主梁的豎向位移，主梁的混凝土強度等級為C50，橋墩為 C40，泊松比 0.1667，混凝土容重26 000 N/m3。

利用上述所建立的有限元模型，用子空間法計算了該橋的前8階的頻率，周期及其振動形式，如表1所示。

圖3 箱梁及墩身截面尺寸（單位：mm）

表 1計算模型前8階自振頻率及振型特性

3.3 三跨連續梁橋在實際地震動作用下響應分析

本小節選取的實際地震動記錄為SMART1臺網所記錄的地震動E-45的45條地震波進行統計計算，調制函數Gamma模型[15]，其參數按照表2選取，地震動自功率譜密度模型選擇胡聿賢模型[16]，其參數按照表 3進行選取地震波的波速為v=1 000 m/s，加載方向為順橋向加載。

3.3.1一致激勵情況

從圖4及圖 5可以看出，在一致地震激勵作用下由實際地震動計算統計得到的結構響應的瞬時均方根值與由本文統計得到的荷載模型計算得到的結構響應的瞬時均方根值基本一致，但是計算速度比用時程分析方法的計算速度快很多。

3.3.2非一致激勵情況

從圖6及圖7可以看出，在非一致地震激勵作用下由實際地震動計算統計得到的結構響應的瞬時均方根值與由本文統計得到的荷載模型計算得到的結構響應的瞬時均方根值基本一致，但是計算速度比用時程分析方法的計算速度快很多。

表2 由SMART1臺網地震動信號E-45確定的Gamma模型參數

表3 由SMART-1臺網地震動信號E-45確定的功率譜參數（胡聿賢譜n=6）

圖4 一致地震動激動下連續剛橋左邊跨及中跨跨中豎向總相對位移響應的瞬時均方根值對比圖（a：左邊跨，b：中跨）

通過以上的算例可以看出本文所提出的方法的計算結果與用時程分析方法計算統計的結果基本吻合，但是計算效率上卻要大大優于時程分析方法，從而可以看出本文提出的方法在求解非一致地震響應時的優越性。

圖5 一致地震動激動下連續剛橋1#墩及2#墩墩頂順橋向總相對位移響應的瞬時均方根值對比圖（a：#墩，b：2#墩）

圖6 非一致地震動激動下連續剛橋左邊跨及中跨跨中豎向總相對位移響應的瞬時均方根值對比圖（a：左邊跨，b：中跨）

4 結論

本文利用小波理論首先提出了用于非一致激勵的非平穩地震動荷載模型，該模型可以很方便地考慮地震動的行波效應，場地土特性及部分相干性的影響，其次推導了多自由度結構體系在非一致非平穩隨機激勵下響應的瞬時功率譜密度及響應的瞬時均方值的表達式，通過一座三跨連續剛構橋的算例驗證了該方法的準確性。

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