用Excel 2000求解雙組分精餾過程的設計型與操作型問題

金士威 唐正姣 孫煒 歐陽貽德

(武漢工程大學化工與制藥學院 湖北武漢 430073)

精餾過程的計算通常涉及2種類型：一類是設計型，其任務是根據規定的分離要求，選擇精餾的操作條件，計算所需的理論塔板數；另一類是操作型，其任務是在設備(精餾段塔板數及全塔理論板數)已定的條件下，由指定的操作條件預計精餾操作的結果。這2類計算均為精餾單元操作原理及其規律的具體應用，是學生必須掌握的重要知識點，也是化工原理課程液體精餾一章的教學重點。以上2類計算均需進行逐板計算或圖解繪梯級，尤其是操作型計算，需多次逐板計算或繪梯級方能得解，計算強度較大。筆者在多年的教學過程中發現，多數學生對設計型計算尚存耐心，卻畏懼操作型計算，不希望老師布置操作型問題的作業。

孫健哲[1]結合正、反分段函數插值法和離散點下的數值積分，進行間歇蒸餾的設計型和操作型計算，并開發了相應的計算機軟件；荊濤等[2]以同樣的方法對間歇蒸餾的操作型問題進行逐板計算，編寫了計算機程序；潘文群等[3]運用Visual Basic編制出精餾操作型計算軟件。焦勇等[4]介紹了應用PRO-Ⅱ精餾多級計算程序進行間歇精餾的擬穩態和嚴格模擬計算；張治山等[5]介紹了流程模擬軟件Aspen Plus的一般使用方法及其在理想二元溶液板式精餾塔操作型問題中的應用。Matlab語言是一種廣泛應用于工程計算和數值分析領域的新型高級語言，擁有強大的運算和圖形處理功能，筆者曾應用Matlab語言估算二元系的UNIQUAC模型參數[6]及求解精餾過程中的操作型計算[7]；蘇學軍等[8]用Matlab語言開發了雙組分精餾設計型計算程序。上述計算要么需用算法語言編程，程序冗長，學生掌握有一定困難；要么需要購買模擬軟件，而國內多數高校沒有購買。

Excel是Microsoft Office系列辦公軟件之一，擁有功能強大、使用方便的表格式數據綜合管理和分析系統，能提供豐富的函數，可方便地繪出各種專業圖表，可以說是最易學習與使用的中文電子表格應用軟件[9-10]。筆者在教學中，對用Excel軟件解決精餾過程的計算問題進行了探索，曾介紹過用Excel 2000處理精餾塔全塔效率測定實驗數據的方法[11]。下面介紹用Excel 2000求解雙組分精餾過程的設計型與操作型計算的方法。

1 相關知識簡介

用Excel求解精餾單元操作的設計型與操作型問題，主要有3個難點：① 線性代數方程組的求解；② 根據條件選值；③ 單變量非線性方程的求解。前2點可利用Excel 2000提供的函數來實現，第3點可利用Excel 2000附帶的單變量求解工具完成。

1.1 解線性代數方程組

已知線性代數方程組：AX=b。根據線性代數知識，其解為：X=A-1·b。因此，要獲得線性代數方程組的解須對矩陣求逆和進行矩陣相乘操作。Excel提供了專門的矩陣求逆函數minverse和矩陣相乘函數mmult。二者的使用方法為:

① minverse函數

語法：minverse(array)

功能：返回數組array所代表的矩陣的逆。

② mmult函數

語法：mmult(array1,array2)

功能：返回數組array1與array2的乘積，結果矩陣的行數與array1相等，列數與array2相等。

1.2 條件選擇

Excel提供了專門用于對數值和公式進行條件檢測的IF函數，其使用方法為：

語法：IF(logical_test,value_if_true,value_if_false)

功能：logical_test表示計算結果為TRUE或FALSE的任意值或表達式。value_if_true是logical_test為TRUE時的返回值，value_if_false是logical_test為FALSE時的返回值。該函數最多支持7層嵌套。

1.3 解非線性方程

Excel提供了單變量求解工具，只要使用者輸入目標函數所在單元格地址、未知變量所在單元格地址及目標函數值就可以得解，不需要編程，而且使用方便，簡單易學，詳見計算示例。

2 雙組分精餾過程的設計型計算

算例1[12]：加料熱狀態對所需理論板數的影響。

欲在常壓下用連續精餾塔分離苯-甲苯混合液。原料流量qn,F=100kmol/h，組成xF=0.40(苯的物質的量分數，下同)。要求餾出液流量qn,D=40kmol/h，餾出液產品組成xD=0.9，釜液產品組成xW=0.0667。操作時所用回流比R=1.875，泡點回流，塔頂為全凝器。求采用冷液進料(q=1.396)與氣液混合物加料(q=3/4)時所需的最少理論板數。已知：常壓下苯-甲苯混合物可視為理想物系，相對揮發度α=2.47。

解：相平衡方程為：

(1)

精餾段操作線方程為：

(2)

提餾段操作線方程為：

(3)

q=1.396時，式(3)化為：

yn+1=1.396xn-0.0264

(3a)

q=3/4時，式(3)化為：

yn+1=1.667xn-0.0444

(3b)

式(1)～式(3)中，x、y分別指液相與氣相中輕組分苯的物質的量分數，下標n(或(n+1))為塔板序號，塔板自塔頂開始計數。

令精餾段與提餾段操作線方程的交點坐標為(xq，yq)，自塔頂開始逐板計算求取理論板數的計算思路見圖1。顯然，當完成分離任務所需的塔板數目較多時，手算過程很繁瑣。

圖1 逐板計算法求理論塔板數的計算思路

若用Excel軟件來完成計算，則過程相對輕松。以冷液進料(q=1.396)為例，具體做法為：

① 新建Excel文檔，創建“設計型”工作表。

② 先在單元格區域G3:J6，L5:L6中輸入如圖2所示內容；再選中單元格區域K5:K6，輸入“=mmult(minverse(H5:I6),J5:J6)”；然后同時按下Ctrl+Shift+Enter組合鍵，將公式以數組的形式輸入，則在單元格區域K5:K6立即顯示得到的結果(圖3)，即交點坐標為xq=0.4562，yq=0.6104。

圖2 操作線方程

圖3 兩條操作線方程的解

③ 在單元格區域A1:E5中輸入圖4所示內容。

④ 在單元格C6中輸入“=B4”即y1=xD。

⑤ 在單元格B6中輸入“=C6/(2.47-1.47*C6)”，并將單元格B6的公式復制至單元格區域B7:B14，即按式(1)由氣相組成yn求液相組成xn。

⑥ 在單元格D7中輸入“=0.652*B6+0.313”，并將單元格D7的公式復制至單元格區域D8:D14，即根據式(2)由xn求yn+1；在單元格E7中輸入“=1.396*B6-0.0264”，并將單元格E7的公式復制至單元格區域E8:E14，即根據式(3a)由xn求yn+1；在單元格C7中輸入“=IF(B6>$D$4,D7,E7)”，并將單元格C7的公式復制至單元格區域C8:C14，即根據塔板處于精餾段還是提餾段選擇yn+1值。

完成步驟③～⑥后得到計算結果(圖4)。可見冷液進料(q=1.396)時至少需9塊理論塔板，加料于第4板(x4<0.4562)。

欲求氣液混合物加料(q=3/4)時所需的最少理論塔板數，只需將單元格D4的值改為0.3521，將E7的公式改為“=1.667*B6-0.0444”，就可求得結果(圖5)。可見，氣液混合物加料(q=3/4)時至少需12塊理論塔板，加料于第6板(x6<0.3521)。上述計算結果與文獻[12]一致。

圖4 算例1計算結果(q=1.396)

圖5 算例1計算結果(q=3/4)

3 雙組分精餾過程的操作型計算

算例2[13]：計算回流比變化時的產品組成及塔板組成分布。

解：原工況(R=5)時，據全塔物料衡算，有：

新工況(R=8)時，據全塔物料衡算，有：

(4)

相平衡方程為：

(5)

精餾段操作線方程為：

(6)

提餾段操作線方程為：

(7)

在式(4)～式(7)中，x、y分別指液相與氣相中苯的物質的量分數，下標n(或(n+1))為塔板序號，塔板自塔頂開始計數。

計算方法是以xW為試差變量，利用式(4)～式(7)求出xD及塔板上兩相組成分布(圖6)。若│xW-x10│≤ε(ε為收斂精度)，則表明假設的xW值正確，計算終止。

圖6 塔板組成的計算思路

由上述分析可知，盡管運算過程復雜，但僅有一個未知變量xW，可用Excel提供的單變量求解工具解決。具體做法為：

① 在單元格區域A1:E1, A2:C2中輸入圖7所示內容。

② 在單元格D2中輸入“0.085”，即按R=5時的產品組成對xW賦初值。

③ 在單元格E2中輸入“=(C2-D2*(1-A2))/A2”，即按照式(4)求xD。

④ 在單元格C4中輸入“=E2”，即y1=xD。

⑤ 在單元格B4中輸入“=C4/(2.47-1.47*C4)”，并將單元格B4的公式復制至單元格區域B5:B13，即按照式(5)由氣相組成yn求液相組成xn。

⑥ 在單元格C5中輸入“=$B$2/($B$2+1)*B4+$E$2/($B$2+1)”，并將單元格C5的公式復制至單元格區域C6:C11，即對精餾段根據式(6)由xn求yn+1。

⑦ 在單元格C12中輸入“=($B$2+1/$A$2)*B11/($B$2+1)-(1/$A$2-1)*$D$2/($B$2+1)”，并將單元格C12的公式復制至單元格C13，即對提餾段根據式(7)由xn求yn+1。

⑧ 在單元格D4中輸入“=1e5*(B13-D2)”，即f(xW)=105(xW,計-xW,初)(采用105(xW,計-xW,初)作為目標函數是為了提高計算結果的精度)，完成以上步驟后得圖7。

⑨ 選擇“工具”菜單中的“單變量求解…”命令，打開“單變量求解對話框”，在目標單元格中填入“D4”，在目標值中填入“0”，在可變單元格中填入“$D$2”，單擊“確定”，得“單變量求解狀態對話框”；再單擊“確定”，得圖8。

圖7 算例2中間計算結果

圖8 算例2計算結果

新工況下xW=0.0821，xD=0.9928，各板的氣液相組成詳見圖8。算例2表明，Excel的單變量求解工具對非線性方程f(x)=0中的函數f(x)的定義十分靈活，只要f(x)中僅包含一個未知變量即可。

若要預測其他回流比下塔頂、塔底的產品組成xD、xW及塔內各板的氣液相組成，只需要修改圖7中的B2單元格的值，然后操作步驟⑨，就可獲得結果。表1列出了其他條件同算例2，僅改變回流比時的塔頂、塔底產品組成。結果表明，隨著回流比R增加，xD升高，xW降低。

表1 不同回流比下的塔釜產品組成(其他條件同算例2)

4 教學效果評價

由以上示例可知，應用Excel求解雙組分精餾過程的設計型與操作型計算，關鍵在于理清解決問題的思路和掌握Excel相關函數(如IF函數、mmult函數、minverse函數)和工具(如單變量求解工具)的使用方法。依筆者的多年教學實踐，在教師提供詳細的計算示例后，學生對用Excel解決精餾過程的設計型與操作型問題表現出濃厚的興趣，面對繁瑣的計算過程，心態也會由先前的不耐煩、畏懼變成躍躍欲試。平時只要公式中一個數據發生改變就要重新計算一遍，而Excel會自動根據新的數據更新計算結果。Excel不僅可以免除繁瑣的試差計算過程，節省大量的計算時間，還可以將數據直接代入到函數中，自動返回計算后的結果，使學生能迅速知道操作條件變化后的情況，用計算所得佐證自己對問題所作的定性分析，加深對精餾操作原理和一些概念的理解,將理論與實際更好地聯系起來，從而大大提高學習的積極性。

[1] 孫健哲.化工設計通訊,1995,21(3):60

[2] 荊濤,李哲.化工時刊,2003,17(5):42

[3] 潘文群,孫德松.化工時刊,2000，14(5):33

[4] 焦勇,黃潔,孫寶紅,等.化工設計,2005,15(5):3

[5] 張治山,高軍,李敏.中國教育技術裝備,2010(15):95

[6] 唐正姣,王存文,柯文語,等.化肥設計,2007,45(3):8

[7] 唐正姣,王存文,孫煒,等.大學化學,2008,23(6):37

[8] 蘇學軍,王建軍.天津化工,2009,23(3):59

[9] 瀟湘工作室.Office 2000中文版學習捷徑.北京：科學出版社,1999

[10] 趙華剛,秦振,傅遠.新概念Excel 2000教程.北京：北京科海集團公司,2001

[11] 唐正姣,張光旭,歐陽貽德,等.實驗技術與管理,2005,22(12):69

[12] 叢德茲,叢梅,方圖南.化工原理詳解與應用.北京:化學工業出版社,2002

[13] 陳敏恒,叢德茲,方圖南,等.化工原理(下冊).第3版.北京：化學工業出版社,2006