基于風(fēng)險(xiǎn)偏好的隨機(jī)需求三級價(jià)格歧視決策

方國敏，劉 全

0 引言

三級價(jià)格歧視在現(xiàn)今的社會(huì)中隨處可見。例如，鐵路票價(jià)可以對學(xué)生打折；電廠對于工業(yè)用電實(shí)行低價(jià)格，而對家庭用電采用高價(jià)格等等。三級價(jià)格歧視是壟斷廠商把自己面臨的市場分成若干個(gè)不同的子市場，根據(jù)各個(gè)子市場的不同需求把總產(chǎn)量分配到各個(gè)子市場，在各個(gè)子市場上制定不同的價(jià)格，一般來說，需求彈性小的群體被索要高價(jià)，需求彈性大的群體享受低價(jià)。在需求函數(shù)已知的情況下，關(guān)于三級價(jià)格歧視的研究，現(xiàn)有的理論成果給廠商們提供了較好的參考價(jià)值[1～4]，主要涉及三級價(jià)格歧視對利潤和社會(huì)福利的影響。但實(shí)際問題是，未來的需求對廠商來說是不確定的，這種不確定性就造成了現(xiàn)有的定價(jià)理論與廠商定價(jià)實(shí)踐的差距，因此，隨機(jī)需求條件下的定價(jià)問題顯得十分必要。對于隨機(jī)需求下的三級價(jià)格歧視定價(jià)問題，主要成果有：文獻(xiàn)[5]討論了有無容量限制兩種情況下的三級差別定價(jià)決策模型，并利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行了模擬求解，但卻并未涉及風(fēng)險(xiǎn)類型對決策的影響。實(shí)際上，廠商的風(fēng)險(xiǎn)類型在決策中起了非常重要的作用。在國外，Mahmudul Anam等人也只研究了對于一種特殊風(fēng)險(xiǎn)類型——風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避廠商來說，三級價(jià)格歧視對產(chǎn)品價(jià)格、產(chǎn)量和社會(huì)福利的影響[6]。另外，大部分廠商在生產(chǎn)決策時(shí)，對需求函數(shù)的假定，幾乎都是通過經(jīng)驗(yàn)或?qū)v史資料的分析、研究來確定出需求函數(shù)的具體形式,即在確定需求下，參考現(xiàn)有結(jié)論，研究最佳決策。本文將在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上，以期望效用最大化為目標(biāo)，建立隨機(jī)需求下的三級價(jià)格歧視的一般模型，并就不同的風(fēng)險(xiǎn)類型，討論確定需求與隨機(jī)需求條件下對產(chǎn)量決策的影響。以期擴(kuò)充現(xiàn)有隨機(jī)需求下的三級價(jià)格歧視理論，為決策者在產(chǎn)量、定價(jià)決策時(shí)，提供參考。

1 隨機(jī)需求下三級價(jià)格歧視模型

設(shè)壟斷廠商有兩個(gè)可以分割的子市場1、2，需求函數(shù)pi=ai-biQi+εi(i=1,2)，成 本 函 數(shù) C=C0+c(Q1+Q2)。其中，C0為固定成本；εi為分布律已知的隨機(jī)變量，且設(shè) E(εi)=0,D(ε2i)=σ2i(i=1,2),cov(ε1,ε2)=σ12。則總利潤為:

對于廠商來說，希望期望利潤達(dá)到最大，但更希望期望效用達(dá)到最大，設(shè)u(π)表示利潤為π時(shí)的效用，則期望效用為:

廠商可通過選擇產(chǎn)量分配使期望效用達(dá)到最大，即隨機(jī)需求條件下的三級價(jià)格歧視模型為:

其中，E1、E2分別為子市場1、2的產(chǎn)量分配可行域。由一階條件，令 ?U?/?Qi=0 ，即得:

期望效用U?(Q1,Q2)的三個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)分別為:

設(shè)方程組（1）的解為 (Q?1,Q?2)，則期望效用在點(diǎn)(Q?1,Q?2)的海賽矩陣:

又 A(Q?1,Q?2)=-2b1u'(π)＜0 ，則方程組（1）的解 (Q?1,Q?2)，即為隨機(jī)需求條件下基于期望效用最大化的最優(yōu)產(chǎn)量分配，相應(yīng)有最優(yōu)價(jià)格 p?1=a1-b1Q?1，p?2=a2-b2Q?2。

2 不同風(fēng)險(xiǎn)類型下的產(chǎn)量決策比較

廠商的風(fēng)險(xiǎn)類型是決定產(chǎn)量決策的主要方面之一。為了比較確定需求（即忽略隨機(jī)因素的影響下的需求）與隨機(jī)需求下的最優(yōu)產(chǎn)量分配，將u'(π)在確定需求條件下的利潤 π0=π(Q10,Q20)處的一階 Taylor展開式 u'(π)=u'(π0)+u"(π0)(π-π0)+o((π-π0)2)作近視處理，忽略關(guān)于 (π-π0)2的高階無窮小，令 u'(π)=u'(π0)+u"(π0)(π-π0)，從而方程組(1)變?yōu)?

其中

方程組（2）進(jìn)一步化簡為:

其中:

將(Q01,Q02)代入方程組(3)，注意到Q01,Q02分別為需求確定時(shí)兩個(gè)子市場的最優(yōu)產(chǎn)量分配，則:-2biQ0i+ai-c=0，從而:

收益的不確定性既可使決策者受損，也可使其有盈利的機(jī)會(huì)，因此任何一項(xiàng)投資決策都是利害共存的。由于收益的不確定性導(dǎo)致的利害共存的事態(tài)表現(xiàn)，便是人們常提到的風(fēng)險(xiǎn)。而風(fēng)險(xiǎn)偏好則是決策者面對風(fēng)險(xiǎn)時(shí)必然產(chǎn)生的權(quán)衡利害關(guān)系的心理反應(yīng)，它體現(xiàn)了決策者對待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度。決策者的財(cái)富水平、受教育程級、健康狀況、收入水平、以及是否撫養(yǎng)小孩是影響投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好的重要因素[7]。風(fēng)險(xiǎn)偏好類型一般分為風(fēng)險(xiǎn)中性、風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避、風(fēng)險(xiǎn)喜好三類。

2.1 風(fēng)險(xiǎn)中性廠商的產(chǎn)量決策比較

風(fēng)險(xiǎn)中性者的效用函數(shù)u(π)為過原點(diǎn)的直線，滿足u'(π)≡c,u"(π)=0 。所以，對風(fēng)險(xiǎn)中性的廠商來說，由于u"(π)=0 ，從而有：

則：Q?1=Q1,Q?2=Q2

命題1在線性隨機(jī)需求 pi=ai-biQi+εi(i=1,2)條件下，若廠商是風(fēng)險(xiǎn)中性的，則在兩個(gè)子市場中產(chǎn)量分配與確定需求下的產(chǎn)量分配是相同的。

命題說明，若廠商是風(fēng)險(xiǎn)中性，則隨機(jī)需求條件下的產(chǎn)量分配可以參考確定需求條件下在兩個(gè)子市場上的產(chǎn)量分配，現(xiàn)有許多確定性三級價(jià)格歧視理論都具有較好的參考價(jià)值。

2.2 風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避廠商的產(chǎn)量決策比較

風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者的效用曲線是一條凸函數(shù)曲線，且為指數(shù)函 數(shù) 曲 線[8]，滿 足 邊 際 效 用 遞 減 條 件 ，即 u'(π)＞0,u"(π)＜0。所以，對于風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的廠商有:

命題2在線性隨機(jī)需求 pi=ai-biQi+εi(i=1,2)條件下，記確定需求下的產(chǎn)量分配為(Q01,Q02)，隨機(jī)需求下的產(chǎn)量分配為 (Q?1,Q?2)，ρ 為隨機(jī)變量 ε1,ε2的相關(guān)系數(shù)，，若廠商是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的，則:

因?yàn)閺S商是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的，則u"(π)＜0。

所以:

同理，當(dāng) ρ≥1/η時(shí)，Q?2≤Q20;當(dāng) ρ＜1/η 時(shí)，Q?2＞Q20。從而可得

結(jié)論說明，若廠商是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的，則隨機(jī)需求條件下與確定需求條件下在兩個(gè)子市場上的產(chǎn)量高低，取決與兩個(gè)市場的相關(guān)系數(shù)ρ與η的大小關(guān)系，需求不確定性條件下兩個(gè)子市場的產(chǎn)量可能同時(shí)低于確定條件下的相應(yīng)的產(chǎn)量，也可能一高一低。因?yàn)?1≤ρ≤1,η＜0，所以，是不可能出現(xiàn)的，即 Q?1＞Q10，Q?2＞Q02是不可能出現(xiàn)的。即需求不確定性條件下兩個(gè)子市場的產(chǎn)量不可能同時(shí)高于確定條件下的相應(yīng)子市場的產(chǎn)量。當(dāng)相關(guān)系數(shù)ρ為非負(fù)數(shù)時(shí)，即兩個(gè)市場的隨機(jī)性為正相關(guān)或無關(guān)時(shí)，對于風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的廠商來說，需求不確定條件下的產(chǎn)量將低于確定條件下相應(yīng)子市場的產(chǎn)量。

表2 2011年2～12月產(chǎn)品在市場2的銷量統(tǒng)計(jì)表

2.3 風(fēng)險(xiǎn)喜好廠商的產(chǎn)量決策比較

風(fēng)險(xiǎn)喜好者的效用曲線是一條凹函數(shù)曲線，也為指數(shù)函數(shù)曲線[8]，滿足邊際效用遞增條件，即u'(π)＞0,u"(π)＞0 。所以，對于風(fēng)險(xiǎn)喜好的廠商來說，作類似的討論可以得到:

命題3在線性隨機(jī)需求 pi=ai-biQi+εi(i=1,2)條件下，若廠商是風(fēng)險(xiǎn)喜好的，則在兩個(gè)子市場中的產(chǎn)量分配(Q?1,Q?2)與確定需求下的產(chǎn)量分配(Q01,Q02)的關(guān)系是:

其中，η的含義同命題2。命題3的證明可以完全參照命題2的證明過程，在此從略。

這一結(jié)論說明，若廠商是風(fēng)險(xiǎn)喜好的，則隨機(jī)需求條件下與確定需求條件下在兩個(gè)子市場上的產(chǎn)量高低，仍然取決與兩個(gè)市場的相關(guān)系數(shù)ρ與η的大小關(guān)系，其大小關(guān)系與廠商是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的情況下恰好相反。由于ρ＜min{k,1/k}是不可能出現(xiàn)的，所以風(fēng)險(xiǎn)喜好的廠商其產(chǎn)量決策是不可能同時(shí)低于確定條件下的相應(yīng)子市場的產(chǎn)量。當(dāng)兩個(gè)市場隨機(jī)性為正相關(guān)或無關(guān)時(shí)，對于風(fēng)險(xiǎn)喜好廠商來說，需求不確定條件下的產(chǎn)量將高于確定條件下相應(yīng)子市場的產(chǎn)量。

圖1 產(chǎn)品在市場1的散點(diǎn)圖與擬合曲線圖

圖2 產(chǎn)品在市場2的散點(diǎn)圖與擬合曲線圖

表1 2011年2～12月產(chǎn)品在市場1的銷量統(tǒng)計(jì)表

3 應(yīng)用實(shí)例

以四川簡陽某企業(yè)的某一子產(chǎn)品的銷售資料進(jìn)行應(yīng)用研究。2011年各月在兩個(gè)子市場上的銷售統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1、表2。下面應(yīng)用隨機(jī)需求下三級價(jià)格歧視模型確定2012年各月該企業(yè)的最優(yōu)產(chǎn)量和相應(yīng)的價(jià)格。

數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖1、2說明，價(jià)格與銷售量的關(guān)系近似是線性的，故用線性函數(shù)擬合。市場1、2的月平均需求擬合函數(shù)分別為:

廠商的月總成本函數(shù)是確定的，為C=C0+112(Q1+Q2)，其中C0為月固定成本。為了便于討論，設(shè)C0=0，所以，利潤為:

在確定需求（ε1=ε2=0）條件下，2011年月平均產(chǎn)量分配應(yīng)為:Q01=272(臺)，Q02=165（臺）。

隨機(jī)需求條件下的產(chǎn)量決策與廠商的風(fēng)險(xiǎn)類型有關(guān)，

下面給出三種不同風(fēng)險(xiǎn)類型下的產(chǎn)量決策。

（1）風(fēng)險(xiǎn)中性

風(fēng)險(xiǎn)中性者的效用函數(shù)u(π)為過原點(diǎn)的直線，設(shè)u(π)=kπ,(k＞0)，方程（1）為：

所以，月平均產(chǎn)量分配為 Q?1=272（臺），Q?2=165（臺）。

（2）風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避

風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者的效用曲線是一條凸函數(shù)曲線，且為指數(shù)函數(shù)曲線[8]，設(shè) u(π)=1-e-π，εi～[-10,10](i=1,2)，ε1= ε2，則 ε1,ε2相關(guān)系數(shù) ρ=1，σ1=σ2=，式⑴為：

即：

利用MATLAB解之得，月平均產(chǎn)量分配為:Q?1=271（臺），Q?2=158（臺）。

（3）風(fēng)險(xiǎn)喜好

風(fēng)險(xiǎn)喜好者的效用曲線是一條凹函數(shù)曲線，也為指數(shù)函 數(shù) 曲 線[8]，設(shè) u(π)=-1+eπ，仍 然 設(shè) εi～[-10,10],(i=1,2)，且 ε1=ε2，則 ε1,ε2的 相 關(guān) 系 數(shù) ρ=1 ，σ1=σ2=，方程組（1）為：

即：

利用MATLAB解之得，月平均產(chǎn)量分配為：

此結(jié)果與命題3的結(jié)論Q?1≥Q01，Q?2≥Q02吻合。

4 結(jié)語

需求的不確定性是現(xiàn)實(shí)中廠商產(chǎn)量或定價(jià)決策的難點(diǎn)，現(xiàn)有的定價(jià)理論大部分都是在確定需求下進(jìn)行，廠商將需求函數(shù)看成是確定的，即忽略隨機(jī)因素的影響，對決策有何影響呢？本文的結(jié)論說明，只有廠商是風(fēng)險(xiǎn)中性時(shí)，二者的結(jié)果才是相同的；對于風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避和風(fēng)險(xiǎn)喜好的廠商來說，二者的結(jié)果不僅與廠商的風(fēng)險(xiǎn)類型有關(guān)，而且還與兩個(gè)相關(guān)市場的需求的情況和隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)有關(guān)。雖然本文未能給出隨機(jī)需求與確定需求條件下其產(chǎn)量分配的具體關(guān)系，實(shí)例中的效用函數(shù)也具有特殊性，但理論結(jié)果為廠商們在處理隨機(jī)需求時(shí)，忽略隨機(jī)影響與實(shí)際結(jié)果有何差異提供了參考。三種不同風(fēng)險(xiǎn)類型的廠商都可以參考確定需求條件下的結(jié)論，結(jié)合自己的風(fēng)險(xiǎn)類型，確定產(chǎn)量與價(jià)格決策。

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