優化灰導數的直接GM（1,1）模型

王瑞敏，魏 勇

0 引言

在鄧聚龍提出的灰色系統理論中，GM（1,1）模型是灰色預測模型最基礎最核心的的模型之一，且該模型已經被廣泛應用于工業、農業、醫學、軍事等領域[1～2]。許多學者在應用過程中發現，該模型在建模時存在缺陷，并為此做出大量研究如對背景值、灰導數、初始條件優化、殘差、建立組合模型等[3～6]優化方法來提高模型的預測精度。然而這些模型建立時原始數據為齊次指數序列，對于原始數據為近似非齊次指數序列，文獻[7]通過原始序列的累減生成將近似非齊次指數序列轉化成齊次指數序列后再建立DGM(1,1)模型。文獻[8]提出了GM(1,1)直接建模法及其性質，文獻[9]提出了直接建模和累加建模灰色模型特性的比較，許多學者對此進行了深入的研究[10～14]。傳統的灰色預測模型，基于累加的方式尋找蘊含在序列之中的灰指數律，以揭示系統未來的發展趨勢；然而，已知建模序列為近似非齊次指數序列的前提下，則不必對序列進行累加以及累減還原[14]。受此思想方法的啟發，對于原始序列為近似非齊次指數序列，本文基于文獻[15]的優化思想，采用向前差商和向后差商的加權平均值作為直接建模的灰導數，建立了新的直接GM（1,1）模型，并且優化了初始條件。通過實例驗證該模型具有較高的模擬精度，能夠較好的模擬原始數據為非齊次指數特征的數據，具有一定的理論價值和應用價值。

1 直接建模GM（1,1）模型簡介

設原始非負序列X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),...,x(0)(n))為系統特征數據序列，其一次累減序列1-IAGO為X(-1)=(x(-1)(1),x(-1)(2),...,x(-1)(n))，其中 x(-1)(1)=x(0)(1),x(-1)(k)=x(0)(k)-x(0)(k-1)，X(0)的緊鄰均值生成的序列為Z(0)=(z(0)(2),z(0)(3),...,z(0)(n))，其中

白化微分方程為：

其相應的灰微分方程為x(-1)(k)+az(0)(k)=b，其中a,b為待辨識參數。

利用最小二乘法求參數有：

由白化微分方程得到離散時間響應式為：

2 直接建模GM（1,1）模型的灰導數優化

對于原始序列為近似非齊次指數特征的序列，本文由文獻[15]的基本優化思想，利用向前差商[x(0)(k)-x(0)(k -1)]和向后差商[x(0)(k +1)-x(0)(k)]的加權平均值λ[x(0)(k)-x(0)(k -1)]+(1-λ)[x(0)(k +1)-x(0)(k)]作為白化方程（1）式的灰導數。

定理1：若x(0)(t)滿足白化微分方程dx(0)/dt+ax(0)=b，即x(0)(t)=ce-at+b/a，則存在 λ=(-aea+ea-1)/(2eae2a-1)，其中a,b為待辨識參數，k=2,3,…,n 使得：

下面來求待辨識參數a,b:

因為將 λ=(-aea+ea-1)/(2ea-e2a-1)代入（4）式并移項整理得：

令1/(1-ea)=β1,b/a=β2，則（5）變為:

所以對于近非齊次指數序列可以利用最小二乘法求參數：

3 初始條件的優化

關于GM模型的研究，認為以第一個分量作為灰色模型建模的初始條件，這樣就造成對新信息利用不夠充分，根據新信息優先原理，賦予新信息較大的的權重可以提高灰色建模和灰色預測的功效（文獻[2]、[6]）。本文以作為初始條件同時優化灰導數建立GM(1,1)直接模型：

4 實例分析

例1以文獻[16]中的數據為例，分別以傳統GM（1,1）模型（記為model 1）、文獻[16]中的模型（記為model 2）、本文建立的優化灰導數直接GM（1,1）模型（記為model 3）以及本文同時優化灰導數和初始條件建立的直接GM（1,1）模型（記為model 4）進行模擬和預測，分析比較它們的模擬精度，計算結果見表1.原始數據為x(0)(k)={2.718,7.389,20.086,54.598,148.41,403.43,1096.6}，這是一個高增長的序列。

從表1可以看出，相對于傳統GM（1,1）模型(model 1)和文獻[16]中的的模型(model 2)，本文模型(model 3)具有較高的的模擬精度，并且本文灰導數和初始條件同時優化的直接GM（1,1）模型（model 4）模擬精度更高。

表1 模型模擬精度分析表（一）

表2 模型模擬精度分析表（二）

例2以文獻[14]中的數據為例，比較DDGM(1,1)模型（記為model 1）和本文優化灰導數建立的直接GM（1,1）模型（記為model 2）的模擬精度。計算結果見表2.

直接離散模型即DDGM(1,1)模型（model 1）和本文優化灰導數直接GM（1,1）模型（model 2）都是針對原始數據是非齊次指數建模的。根據表2，從X1-X6的模擬數據發現，DDGM(1,1)模型和本文模型都有較高的模擬精度，并且對嚴格非齊次指數函數序列（X5：X5(k)=3k+2）和近似非齊次指數函數序列（X6）能夠實現較高的模擬。相對而言，本文模型模擬精度要略微偏低，是因為直接離散模型避開了從灰色微分方程到白化微分方程直接跨越所造成的誤差這個問題，所以模擬精度較高甚至可以完全擬合。而本文所建的模型是通過優化灰導數和初始條件從而使模型的白化微分方程和灰色微分方程能夠更好的匹配，盡量的把誤差降到最低。

5 結論

直接GM（1,1）模型是在原始數據為近似非齊次指數序列這個前提下建模的。本文通過優化直接GM（1,1）模型的灰導數和初始條件來建立模型。并通過實例來驗證該模型的具有較高的模擬精度,能夠較好的模擬原始數據為非齊次指數特征的數據，具有一定的理論價值和應用價值。

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