星圖像的亞像元細分定位方法研究

鄧江生，樊利恒，古立莉

（1.海軍航空儀器計量站 上海 200436；2.海軍航空工程學(xué)院 控制工程系，山東 煙臺 264001；3.中國人民解放軍94748部隊 江蘇 南京 210008）

經(jīng)過星圖像分割，就可以提取星圖像中的恒星星點。為了從星圖中獲得更高的星體定位精度，常采用彌散（離焦）的方式，使恒星在傳感器的感光面上的成像點擴散到更多的像素上[1]。因此恒星星點在圖像中并不是一個孤立的像點，而是具有一定形狀、占有一定的像素數(shù)的亮斑，需對其進行亞像元細分定位以提高星體的定位精度[2-3]。

恒星星點的亞像元細分定位是通過軟件的方法來對星點目標物體進行重新定位，使其定位精度高于一個像素點的方法。對星圖中的恒星星點進行亞像元細分定位的目的在于：提高對觀測星圖中觀測星點與觀測光軸之間距離的測量精度，進而提高整個天文導(dǎo)航的指向精度。此外通過對觀測星圖中的恒星星點進行高精度亞像元定位，可以提高對星圖中觀測星點之間相對距離的測量精度，使得在進行星圖識別時，可以降低匹配識別時的容許匹配誤差，從而降低冗余識別和減少錯誤識別。

1 星體目標的細分定位方法

受限于光學(xué)系統(tǒng)和傳感器制造工藝，圖像的分辨率不可能無限制的提高，因此通過提高圖像分辨率來提高定位精度的方法受到一定的限制。然而，通過圖像處理方法對目標進行細分定位是一個有效的提高定位精度的方法。現(xiàn)有的細分定位算法一般都能達到亞像素級甚至更高的精度。為了從星圖中獲得更高的星體定位精度，常采用彌散（離焦）的方式，使恒星在傳感器的感光面上的成像點擴散到更多的像素上。點狀光斑目標的細分定位方法可以分為基于灰度和基于邊緣的兩大類。基于灰度的方法一般利用目標的灰度分布信息，如質(zhì)心法、曲面擬合算法等。基于邊緣的方法一般利用目標的邊緣形狀信息。一般而言，基于灰度的方法比較適用于較小的且灰度分布均勻的目標，而基于邊緣的方法則適合較大的目標。實際觀測星圖中星體目標的直徑一般為3～5個像元的大小，因此，對于星體目標，宜采用基于灰度的方法進行細分定位處理。仿真實驗也表明，基于灰度的方法比基于邊緣的方法具有更高的精度[4]。

常用的基于灰度的細分定位方法有質(zhì)心法、高斯曲面擬合算法和拋物面擬合算法，下面一一進行簡單介紹。

1.1 質(zhì)心法

設(shè)一顆恒星圖像分布在一個矩形窗口內(nèi)，包含目標的圖像表示為 f（x，y），窗口左上角像元坐標為（1，1），右下角像元坐標為（M，N），則質(zhì)心法的計算公式如下：

質(zhì)心法過多依賴于亮度峰值兩側(cè)的弱信號，而未充分利用更高信噪比的星像中心信息，這就造成了質(zhì)心法抗噪聲干擾能力較弱。使用質(zhì)心法確定恒星像點位置，還易受背景雜散光的干擾，較強的背景信號會使計算結(jié)果向窗口中心偏移，導(dǎo)致定位精度降低。

1.2 高斯面擬合算法

由于目標像點灰度近似成高斯分布，所以可以用高斯曲面擬合目標圖像，確定目標像點的灰度中心位置。其計算公式推導(dǎo)過程如下。

取高斯曲面函數(shù)為：

這里A表示星體灰度幅值常量，（x0，y0）為高斯函數(shù)的中心，σx和σy分別為x和y方向的標準偏差，ρ為相關(guān)系數(shù)。

高斯曲面擬合算法方法由于充分利用了圖像灰度分布信息，因而計算精度高，抗干擾能力強。但由于高斯曲面擬合算法需要大量的對數(shù)運算，因而其運算速度較慢。

1.3 拋物面擬合算法

高斯曲面擬合算法需要進行大量的對數(shù)運算，計算量較大。有人提出用拋物面近似代替高斯曲面擬合數(shù)字化的目標圖像，確定目標像點的灰度中心位置。其計算公式推導(dǎo)過程如下：

取拋物面函數(shù)為：

這里

φ0（x，y）=x2+y2，φ1（x，y）=x，φ2（x，y）=y，φ3（x，y）=1 為基函數(shù)。拋物面擬合法因為只是近似代替高斯曲面，所以它的算法誤差相對較大，但與高斯曲面擬合算法相比，它計算量較小，且不受圖像背景光的影響。高斯曲面和拋物面擬合算法對提取的目標圖像的對稱性要求不高，所以只要能提取部分目標信息就能滿足算法要求。

2 基于高斯曲面擬合的細分定位算法

如上節(jié)所述，目前用于實現(xiàn)亞像元細分定位的算法主要有質(zhì)心法、高斯曲面擬合法、拋物面擬合算法等。這些算法中高斯曲面擬合算法的定位精度最高，但該算法是基于恒星星點在星圖中的灰度值分布為近似高斯形狀的假設(shè)的。將高斯曲面擬合算法應(yīng)用于本文處理的星圖中，計算星體的質(zhì)心，并分析高斯曲面擬合算法的定位精度。

2.1 高斯曲面擬合的算法實現(xiàn)

對上述的高斯等式兩邊求對數(shù)則得到如下的等式[7]：

由于上述閾值分割后的星圖中恒星星點的灰度值A(chǔ)和恒星亮斑大小B的不確定，因而上述公式中實際包含有A，B，x0，y0等4個未知數(shù)，要求出這4個未知數(shù)的值，則至少需要構(gòu)建4個等式。由于星點的灰度分布可以看成是高斯能量分布，其單個星點的典型灰度分布如圖 1 所示：f（x，y）為（x，y）處的灰度值。具體算法見文獻[6]。

圖1 單個恒星星點的灰度分布特性Fig.1 Grayscale distribution of a single star

圖2 高斯曲面擬合圖Fig.2 Figure of Gaussian surface fitting

對圖1中的恒星星點進行高斯曲面擬合計算后，根據(jù)求得的參數(shù)生成的高斯曲面如圖 2所示。f（x，y）為所求得的（x，y）處高斯函數(shù)值。

2.2 對高斯曲線擬合算法效果的分析

在算法的仿真試驗過程中發(fā)現(xiàn)：當恒星星點的中心像素分布與高斯分布差別較大的情況是存在的，如圖3和圖4所示。圖3中星點是經(jīng)閾值分割后的恒星像點，從其三維灰度分布圖可以看出，該星體中心像素灰度值比較接近，中間部分有4個像素的灰度值均為255，另有8個像素的灰度值大于200，而該星體部分一共占有20個像素。此外該星體在原圖中灰度分布也不是近高斯分布的，其高斯擬合曲面與與圖像的灰度分布也明顯不符合。因此高斯曲面擬合算法在此失效，即精度不能滿足要求。用高斯曲面擬合算法對分割星圖中的10個星體的質(zhì)心進行計算，實驗結(jié)果見表1（由于篇幅限制，這里只顯示其中的5個）。

圖3 星點及其灰度三維灰度分布Fig.3 Star and it’s grayscale distribution

圖4 原星圖星點及其灰度三維灰度分布Fig.4 Star in the original and it’s grayscale distribution

從表1看以看出，高斯曲面擬合算法求得的質(zhì)心的精度并不穩(wěn)定，對那些灰度分布與高斯曲面比較接近的星體，高斯曲面擬合算法具有較高的精度，只有不到0.03個像素的誤差，而對那些灰度分布形狀與高斯曲面差別很大的星體，定位精度較低，定位誤差甚至超過了1.2個像素，誤差超出了允許的范圍。為了提高高斯曲面擬合算法的細分定位精度，或者說發(fā)揮高斯曲面擬合算法定位精度高這一優(yōu)勢，必須首先使用三次樣條擬合曲線將星體的灰度分布在軸、軸及對角線方向擬合高斯形狀，然而這又需要大量的對數(shù)運算，將進一步加大運算量。因此本文將質(zhì)心法作為細分定位算法，并在下一節(jié)對質(zhì)心算法對星體的細分定位的效果進行實驗，并對該算法的定位精度進行分析。

表1 高斯曲面擬合得到的坐標及計算誤差Tab.1 Stars’centroid got by Gaussian surface fitting algorithm and the algorithm’s error

3 基于質(zhì)心法的細分定位算法

由上分析可知，如果星體灰度分布近似高斯形狀，用高斯曲面擬合可以得到具有很高的亞像元細分定位精度。但在實際拍攝的星圖中中，往往會遇到所獲得的星圖像中的星點的灰度分布與高斯曲面差別較大的情況，直接使用高斯曲面擬合則誤差較大。如果要使用高斯亞像元定位，可以考慮首先使用樣條曲線將星體灰度分布擬合成高斯形狀，但這將使計算變得較為復(fù)雜，而且經(jīng)過曲線擬合近似，定位精度會受到一定影響，使得高斯曲面擬合算法的精度高的優(yōu)勢受到影響。而質(zhì)心算法的定位精度雖然低于高斯曲面擬合算法，但運行速度卻比高斯曲面擬合算法快。因此在本文中將選用質(zhì)心法對星圖像進行亞像元細分定位，給出實驗結(jié)果，并對結(jié)果進行分析。

3.1 質(zhì)心法的算法實現(xiàn)

設(shè)一顆恒星圖像分布在一個矩形窗口內(nèi)，包含目標的圖像表示為 f（x，y），窗口左上角像元坐標為（1，1），右下角像元坐標為（M，N），則質(zhì)心法的計算公式表述如下：

作為一種通用的細分定位方法，質(zhì)心法有一些改進的形式。主要有帶閾值的質(zhì)心法和平方加權(quán)質(zhì)心法。

1）帶閾值的質(zhì)心法

帶閾值的質(zhì)心法計算公式如下：

這里T為圖像的分割閾值。因此帶閾值的質(zhì)心法相當于將原圖像與閾值相減，然后對相減后的圖像求質(zhì)心。帶閾值的質(zhì)心法具有更高的精度

2）平方加權(quán)質(zhì)心法

平方加權(quán)質(zhì)心法計算公式表示如式（7）所示。

平方加權(quán)質(zhì)心法采用灰度值的平方代替灰度值作為權(quán)值，而星像中灰度值較大、信噪比較高的像元位于中心位置及其附近，因此該方法突出了離中心較近的較大灰度值的像素點對中心位置的影響，從而提高了星體的定位精度。

3.2 仿真實驗

根據(jù)上述算法對分割星圖中的10個星點進行質(zhì)心計算，結(jié)果如表2所示。

將質(zhì)心算法得到的質(zhì)心坐標與經(jīng)過標定的星體的坐標進行比較，以獲得質(zhì)心算法的定位精度，如表3所示。

表2 不同質(zhì)心法計算的星體質(zhì)心Tab.2 The stars’centroid got by different centroid algorithms

表3 不同質(zhì)心法算法的定位誤差（像素）Tab.3 Location error of different centroid algorithms

從計算結(jié)果可以看出，對分割后的星圖像的星體質(zhì)心進行亞像元定位，普通質(zhì)心法在x方向的定位精度為0.044 7個像素，在y方向的定位精度為0.020 4；帶閾值的質(zhì)心法在x方向的定位精度為0.037 2個像素，在y方向的定位精度為0.037 4；加權(quán)質(zhì)心法在x方向的定位精度為0.024 2個像素，在y方向的定位精度為0.017 4。可以看出，帶閾值的質(zhì)心法與普通質(zhì)心法所得的定位精度相差不大，而加權(quán)質(zhì)心法總體上具有較高的精度，但與前兩種方法的定位精度相差也不是太大。

4 結(jié) 論

首先介紹了常用的亞像元細分定位算法，即質(zhì)心法、高斯曲面擬合算法和拋物面擬合算法。并對計算精度較高的高斯曲面擬合算法在實際星圖的應(yīng)用進行了實驗，發(fā)現(xiàn)其與實際情況符合的并不好，定位誤差超出了允許的范圍。因此本文選用質(zhì)心法計算星體的坐標。經(jīng)過仿真實驗，對普通質(zhì)心法、帶閾值的質(zhì)心法和平方加權(quán)質(zhì)心法的定位精度進行了比較，結(jié)果表明三種質(zhì)心算法以平方加權(quán)質(zhì)心法的精度最高，三種算法均達到了亞像元的細分精度，完全滿足后續(xù)應(yīng)用的要求。

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