基于小波變換的超混沌系統圖像加密

譚新波，王先泉

（廣東工業大學 自動化學院，廣東 廣州 510006）

伴隨著信息技術的飛速發展，信息安全性也越來越受到人們的關注[1]，于是對信息安全研究的意義也越來越重大。“混沌”的出現很大意義上提供了保密通信的理論基礎，這正是因為混沌它自身對初始條件極度敏感的特性所決定的。自1963年，美國氣象學家Lorenz第一次提出“混沌”一詞以來，科學家們只是通過混沌系統所表現的一些普遍現象來總結歸納其本質。混沌是確定非線性系統產生的類似隨機的行為。這一定義說明了3個問題[1]：1）混沌是非線性系統的產物；2）混沌是確定系統的產物；3）混沌是類似隨機性的行為，這種隨機性是由決定性所產生的，是一種內隨機性。特別是近20年，混沌研究的進展迅速，不僅在軟件仿真方面得到了理論實驗結果，更是在當今主流的各種硬件平臺上，如DSP，FPGA，ARM實現了保密通信。文獻[2]就是敘述了用DSP5000芯片對語音信號進行了加密處理。同樣在圖像[3]，視頻處理方面[4]也取得了很大的進展。為了取得進一步的發展，超混沌系統的運用體現了更大的優勢。在具有了耗散結構，方程維數至少為4，同時具備3個非線性項，兩個以上的正的Lyapunov指數的條件之后，使得它的動力學特性更加復雜，相軌道有更多方向上分離，有著更強的不可預測性和隨機性。

1 系統框架介紹

系統框架如圖1所示，首先獲取一副原始圖像，用小波變換對它進行處理，然后用超混沌系統產生的吸引子對圖像進行加密處理，接著就是前面的一個逆過程，解密混沌圖像，小波逆變換（小波重建），最后得到還原的圖像。

圖1 系統框架圖Fig.1 System frame diagram

2 多渦卷超混沌系統

根據系統狀態方程[5]：

方程組（1）中令 a=9.50，b=16.0，c=0.10，d=0.60，e=0.03。同時參數方程是可變的。假使令方程f=a1x+b1x|x|+c1x3，其中a1=0.472，b1=-1，c1=0.47，可產生三渦卷超混沌吸引子。計算機Matlab仿真相圖如圖2所示。接

圖2 三渦卷超混沌吸引子仿真相圖Fig.2 Simulation phrase diagram of three scroll hyperchaos

下來是如圖3所示的在PFGA硬件電路實現與仿真，令：R28=R30=R31=R32=R33=50 kΩ，R29=5 kΩ，R34=21.19 kΩ，R35=1 kΩ，R36=0.212 7 kΩ。

通過示波器得到三渦卷相圖如圖4所示。

圖3 f=a1x+b1x|x|+c1x3電路Fig.3 Circuit of f=a1x+b1x|x|+c1x3

圖4 三渦卷混沌x-y相圖Fig.4 x-y plane of three scroll phrase diagram

3 圖像的小波變換

3.1 小波變換

傅里葉變換是1807年法國科學家Joseph Fourier在研究熱力學問題時所提出來的一種全新的數學方法，得到工程技術領域的廣泛應用。 對 f（t）∈L2（R）其定義為：

逆變化為：

傅里葉變換把時域和頻域聯系起來了，從頻率的角度去觀察信號的特征，但是按照傅里葉的變換公式。模擬信號f（t）提取的F（w）是整個的時間量。不能反映特定的時間段的頻域。為了彌補Fourier變換不能時空定位的不足，分析結果的精度不夠或效果不好。因此需要一種更好的時頻分析方法。因此變產生了小波分析。

對于任意的函數或者信號f（x），其小波變換[6]定義為

是空間的標準正交基。在多分辨分析中分解的最終目的是力求構造一個在頻率上高度逼近空間的正交小波基，這些頻率分辨率不同的正交小波基相當于帶寬各異的帶通濾波器。多分辨分析只對低頻空間進行進一步的分解，使頻率的分辨率變得越來越高。圖像小波分解的正變換可以依據二維小波變換按如下方式擴展，在變換的每一層次，圖像都被分解為4個四分之一大小的圖像，過程如圖5所示。

3.2 小波逆變換（小波重建）

1）在每一層（如最后一層）都通過在每一列的左邊插入一列零來增頻采樣前一層的4個列陣（即4個分解圖像）。則由多分辨分析的定義，容易得到一個重要結果，即函數族：

圖5 小波變化過程Fig.5 Process of wavelet transform

2）接著用重構低通濾波器h和重構高通濾波器g來卷積各行，再成對地把這幾個的列陣加起來。

3）然后通過在每行上面再插入一列零來將剛才所得2個陣列（圖像）的大小增頻采樣為N*N。

4）再用h和g與這2個陣列的每列進行卷積。這2個陣列的和就是這一層次重建的結果。

一幅圖像最主要的表現部分是低頻部分，因此我們可以在小波重構時，只保留小波分解得到的低頻部分，而高頻部分系數作置0處理。經小波變換后的圖像仿真如圖6所示。

圖6 小波變換后圖像仿真Fig.6 Image simulation of wavelet transform

從仿真的結果我們看到LL分量能夠基本的保持了圖像的原貌。這是因為人眼對低頻分量更敏感。因此在圖像壓縮的時候我們可以把H分量置0，當然我們可以把得到的LL分量采取同樣的算法再進行下一輪的壓縮。最終通過FPGA處理[7]之后在VGA在顯示器顯示如圖7所示。

圖7 加密，解密效果對比Fig.7 Comparison of between encryption and decryption

4 結 論

該系統設計以FPGA平臺為硬件基礎，產生了了多渦卷超混沌吸引子，同時對圖像進行了小波變換處理，實現了保密通信的高級別安全性和圖像高質量處理。實驗結果證明了該設計加密效果明顯，解密后圖像還原質量高，達到了設計要求。

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