上下翼緣同時受荷的工字形鋼梁整體穩定性分析＊

周 芬，池云祥，杜運興

（湖南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410082）

在梁整體穩定性驗算中，鋼結構規范只給出均布荷載、集中荷載、端彎矩單獨作用時的等效臨界彎矩系數計算公式［1］.對于幾種類型荷載共同作用及作用位置不同等情況，并未給出明確的計算公式.Trahair［2－3］在理論和實驗的基礎上，得出了各種荷載作用下工字梁的臨界彎矩計算方法，但是僅局限于各種荷載同時作用于剪心的情況.前人的研究局限于多種荷載同時作用在截面上同一位置，對于上下翼緣同時有荷載作用的工字形鋼梁，并沒有現成的計算公式.若單純按某種荷載單獨作用取值，則算得的整體穩定性系數誤差很大.因此有必要對這一問題進行深入研究.能量法是用能量守恒原理來解決結構彈性穩定問題的方法［4］.本文利用能量法對此荷載工況下工字形鋼梁的臨界彎矩計算公式進行了推導.

1 臨界彎矩公式推導

對于簡支雙軸對稱的工字梁，當上翼緣承受均布荷載q、下翼緣受集中荷載F時，該梁發生失穩，其跨中截面所發生的變形如圖1所示.假定F＝αql，其中α為荷載比例系數，即表示集中荷載與均布荷載的比值.當忽略殘余應力的影響及荷載平面內變形v對扭轉變形的影響時，該梁總勢能可以表達為式（1）.

式中：φ，u，z分別為轉角、側彎變形、簡支梁縱坐標；E，G分別為彈性模量、剪切變形；Iy，Iw，It分別為截面對y的抗彎慣性矩、翹曲慣性矩、抗扭慣性矩；h為截面高度.

圖1 工字形鋼梁整體失穩截面位移示意圖Fig.1 Cross－section displacement of I－section steel beam under instability

該工況作用下的臨界彎矩（即跨中最大彎矩）可以表示為式（2）.

式中：l為簡支梁跨度.根據簡支約束條件，假定符合幾何邊界條件的變形函數為：

式中：A，B分別為位移常數.

式（4）對φ和u分別求一階、二階導數，然后代入式（1），整理后得式（5）.

2 荷載比例系數對臨界彎矩的影響

選取2種雙軸對稱工字型截面的鋼梁研究荷載比例系數對臨界彎矩的影響.截面幾何特性如圖2所示.其中，截面一跨度為8m，9m，10m，12m；截面二跨度為7m，8m，9m，11m.

圖2 截面幾何特性（單位：mm）Fig.2 Geometrical properties（unit：mm）

改變荷載比例系數，使α從0到10均勻增加，α間隔為0.5.分析結果如圖3和圖4所示.

通過比較，可以發現當0≤α≤3時，隨著α的增加，臨界彎矩增加明顯，表現出明顯的非線性；當α＞3后臨界彎矩增加平緩；而且，隨著長細比的減小，當α增加時，鋼梁承載能力提升的空間越大，就本文而言，可達僅上翼緣作用均布荷載時的2～3倍；長細比越大，承載能力提升的空間越小，約為僅上翼緣作用均布荷載時的1.5倍.

圖3 截面一α與臨界彎矩的關系Fig.3 Critical moment vs.αin section 1

圖4 截面二α與臨界彎矩的關系Fig.4 Critical moment vs.αin section 2

3 有限元分析

3.1 線性屈曲分析基本原理

線彈性屈曲分析是求解結構穩定的常用方法.有限元方法是通過提取使線性系統剛度矩陣奇異的特征值來獲得結構的臨界失穩荷載及失穩模態［5－7］.結構達到保持穩定臨界荷載時的平衡方程為：

若忽略失穩前初應力和初變形對剛度矩陣的影響，并忽略幾何剛度增量的影響，則上述方程的特征值為：

式中：Δˉu為結構失穩形態的特征向量；λ為屈曲失穩臨界荷載因子；KE為單元剛度矩陣；KS為失穩前初應力對剛度矩陣的影響；KG為為失穩前初應變對剛度矩陣的影響.

屈曲分析所得到的特征值是屈曲荷載系數，而屈曲荷載等于該系數乘以所施加的荷載.

3.2 模型建立

選取上述2種雙軸對稱工字型截面簡支梁進行有限元分析；選擇合適的長細比，保證梁的破壞為失穩破壞.邊界條件為：兩端截面在x方向的位移u（0）＝u（l）＝0，兩端截面對縱軸的曲率u″（0）＝0，u″（l）＝0，兩端截面的扭轉角φ（0）＝φ（l）＝0（φ見圖1）.選取截面一的跨度分別為8m，9m，10m，12m；截面二的跨度分別為7m，8m，9m，11m.

3.3 模型計算

變化荷載比例系數α，使α從0到3均勻增加，步長取0.1.將有限元計算結果與理論解進行比較，并繪制出比較曲線，如圖5和圖6所示.

圖5 截面一理論解與有限元解對比Fig.5 Theoretical solution and finite element solution for section 1

圖6 截面二理論解與有限元解對比Fig.6 Theoretical solution and finite element solution for section 2

從圖5和圖6的比較中，可得出下列結論：

1）當0≤α≤3時，理論解與有限元解的曲線十分接近，根據數值計算結果知，理論解與有限元解的誤差基本在8%以內.

2）由于能量法忽略構件屈曲前變形對彎扭屈曲的影響［8］，故能量法的解比有限元解略大.

4 等效臨界彎矩系數計算公式

4.1 計算βb的值

單向受彎鋼梁整體穩定性驗算公式為式（10）.

其中鋼梁的整體穩定系數可以表示為式（11）.

式中：φb0為雙軸對稱等截面工字梁純彎曲時的整體穩定系數.

整理得：

式中：Mx為理論臨界彎矩值Mcr.

4.2 βb的確定

βb是一個等效參數，它與荷載比例系數和鋼梁的幾何參數均有關系.本文采用有限元方法計算鋼梁的失穩模態，通過計算不同截面的鋼梁來確定βb.為使等效彎矩系數的計算公式更具適應性，再取4個截面進行分析，如圖7所示.

圖7 截面幾何特性Fig.7 Geometrical properties

通過變化梁的跨度研究圖7所示各個截面的等效彎矩系數與荷載比例系數的關系，將圖7各截面鋼梁在不同跨度下的臨界彎矩用式（6）求出，將其代入式（13），可以得到等效彎矩系數.并將計算得到的βb繪成曲線，見圖8～圖11.

圖8 截面三βb－α關系曲線Fig.8 βb－αcurve for section 3

圖9 截面四βb－α關系曲線Fig.9 βb－αcurve for section 4

圖10 截面五βb－α關系曲線Fig.10 βb－αcurve for section 5

圖11 截面六βb－α關系曲線Fig.11 βb－αcurve for section 6

從上圖中可以發現：4個截面的βb－α關系曲線有著幾乎相同的變化規律，且曲線分布均勻，這說明等效彎矩系數βb同時受ξ＝l1t1／b1h和荷載比例系數α的影響.

4.3 βb與ξ的關系

鋼梁的ξ是一個反映跨度、長細比的參數［8］，直接影響著等效臨界彎矩系數，為找出這個規律，選取α＝0.1，0.2，0.3，0.5，0.9，1.5，2.0，3.0繪制βb與ξ曲線，如圖12所示.

圖12 βb－ξ的關系曲線Fig.12 βb－ξcurve

當α＝0時，表示只有上翼緣作用均布荷載，這種情況在規范中是計算規定的.本文的擬合曲線斜率為0.097，這與《鋼結構研究論文報告選集》第二冊的結論相吻合.說明本文結論可涵蓋規范情況.

另外，數值計算表明：當α＝0.1時，等效彎矩系數βb比α＝0時平均提高了13.5%，當α＝3時，等效彎矩系數βb比α＝0時平均提高112.3%，說明下翼緣集中荷載對提高梁的整體穩定性起著明顯的作用.

隨著α的增加，等效彎矩系數βb的提高幅度越來越小，這說明隨著α值的增大，下翼緣集中荷載對提高梁整體穩定性的作用由強變弱，最后趨于零.因此建議，α＞3時，按α＝3考慮梁的等效彎矩系數.

由于非線性擬合十分繁瑣，且精度不高，故本文將βb－α的非線性關系轉換為ξ0.5βb－e－α的線性關系.繪制成散點圖，然后進行線性擬合.散點圖及擬合曲線見圖13～圖16.

由圖13～圖16可知，所有擬合直線的斜率k均在－1左右，可知ξ0.5βb與e－α有很好的線性關系.對以上關系進行擬合可得到等效臨界彎矩系數的公式：

圖13 截面三ξ0.5βb－e－α的關系曲線Fig.13 ξ0.5βb－e－αcurve for section 3

圖14 截面四ξ0.5βb－e－α的關系曲線Fig.14 ξ0.5βb－e－αcurve for section 4

圖15 截面五ξ0.5βb－e－α的關系曲線Fig.15 ξ0.5βb－e－αcurve for section 5

圖16 截面六ξ0.5βb－e－α的關系曲線Fig.16 ξ0.5βb－e－αcurve for section 6

4.4 公式驗算

取α＝0，對公式（14）進行驗證，將該公式的計算結果與規范結果進行對比，結果見表1～表4.

表1 截面三公式解與規范解的比較Tab.1 Comparison of solutions obtained by formula and code of section 3

表2 截面四公式解與規范解的比較Tab.2 Comparison of solutions obtained by formula and code of section 4

表3 截面五公式解與規范解的比較Tab.3 Comparison of solutions obtained by formula and code of section 5

表4 截面六公式解與規范解的比較Tab.4 Comparison of solutions obtained by formula and code of section 6

表1～表4中的ξ值比較均勻地分布在［0.7，2］內，具有普遍的適應性.計算結果是最大誤差為2.5%，最小誤差為－5.4%，平均誤差為－1.456%.由此可知，公式有很好的適應性.

5 結 論

本文通過對工字形截面簡支鋼梁在上部均布荷載、下部集中荷載作用下整體穩定性的研究得出以下結論：

1）采用能量理論推導了簡支鋼梁在這種荷載工況作用下的理論公式，該公式的理論解與有限元解吻合得比較好，且大多情況下理論解曲線在有限元解曲線之上.這與能量法計算的臨界彎矩一般高于實際臨界彎矩的規律吻合.

2）下翼緣荷載的存在會使梁的承載能力明顯提高，且呈非線性增加.當0≤α≤3時，承載能力增加明顯.α＝3時梁的臨界彎矩約為只有上翼緣均布荷載作用時的2～3倍.

3）能量法推導的公式適用范圍：當α≤3時，理論解與有限元解吻合較好，誤差在8%以內.α＞3時，臨界彎矩雖有增加，但變化緩慢.因此建議，α＞3時，按α＝3考慮梁的整體穩定性.

4）通過大量數值計算，在統計的基礎上擬合了等效臨界彎矩系數的公式，當α＝0時該公式的計算結果與規范吻合.該公式具有較高的精度.

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