廣義Lp寬度積分的混合Brunn-Minkowski型不等式①

楊林，譚楊，羅淼

1.銅仁職業技術學院 信息工程學院，貴州 銅仁 554300；2.貴州師范大學 數學科學學院，貴陽 550025

若K為Rn(n>1)中的完備緊凸集，則稱K為凸體． 支持函數是研究凸體的重要概念，其表達式為

h(K，u)=max{x·u：x∈K}u∈Sn-1

B，Sn-1分別表示Rn中的單位球和單位球面． 記

Minkowski線性組合為凸體之間的重要運算，其定義為：設K，L∈Kn，λ，μ為非負實數且不同時為0，K與L的Minkowski線性組合λ·K+μ·L∈Kn用支持函數可表示為

h(λ·K+μ·L，u)=λh(K，u)+μh(L，u)

Brunn-Minkowski理論中有諸多有意義的結果，詳情請參閱文獻[1-11]．

文獻[1]研究的關于凸體K1，K2，…，Kn的混合寬度積分B(K1，…，Kn)表示為

其中

當K1=… =Kn-i=K，Kn-i+1=… =Kn=L時，B(K1，…，Kn)=Bi(K，L)． 若存在正實數λ，使得b(K，u)=λb(L，u)，則稱K與L具有相似寬度．

設K1，…，Kn∈Kn，τ∈(-1，1)，文獻[2]將文獻[1]所定義的混合寬度積分推廣為如下更一般的混合寬度積分B(τ)(K1，…，Kn)，表達式為

其中

b(τ)(K，u)=f1(τ)h(K，u)+f2(τ)h(K，-u)

其中

(1)

等號成立當且僅當K與L具有相似廣義Lp寬度；

(2)

等號成立當且僅當K與L具有相似廣義Lp寬度．

本文受文獻[6-7]的啟發，建立了如下不等式：

(3)

等號成立當且僅當K與L具有相似廣義Lp寬度．

(4)

其中

等號成立當且僅當K與L具有相似廣義Lp常寬度．

證由LpMinkowski加法知

引理2[12](Minkowski不等式)設f(x)與g(x)為可測集X上的非負可測函數． 若f(x)，g(x)∈L(p)，p>1，則

(5)

等號成立當且僅當f(x)=Mg(x)．

等號成立當且僅當f(x)=mg(x)．

根據i

在定理1中取p=1時，有：

等號成立當且僅當K與L具有相似廣義寬度．

在定理1中取Q=B時即為不等式(2)，在推論1中取Q=B時為文獻[9]之結論．

由

可得

(6)

從而有

由i

在定理2中取Q=B時，得：

其中c同定理2中所定義，等號成立當且僅當K與L具有相似廣義Lp常寬度．

在推論2中取p=1時，得：

等號成立當且僅當K與L具有相似廣義常寬度．

現應用引理4給出不等式(1)的逆，即：

(7)

等號成立當且僅當K與L具有相似廣義Lp常寬度．

證由

令

可得

(8)

根據公式(8)與不等式(6)，可得

由i

在定理3中取i=0，j=i，k=n時，有：

等號成立當且僅當K與L具有相似廣義Lp常寬度．