基于有限元技術曲軸的動力學性能分析

宋曉玲

SONG Xiao-ling

（洛陽理工學院，洛陽 471000）

1 曲軸動力學分析的基本理論

在發動機中曲軸是主要的旋轉機件，通過連桿可以把活塞上下的往復運動轉變為循環旋轉運動。因此曲軸的動力學性能對于發動機的可靠性以及使用壽命都有著決定性的影響，它是發動機中主要運動部件之一。曲軸在工作過程中的受力情況是非常復雜的，它需要同時承受周期性變化的氣缸爆發壓力、活塞連桿組往復慣性力、旋轉慣性力、附件不規則阻力矩以及外界作用力等多種荷載作用。長期在這種環境中工作，很容易造成曲軸的動應力集中，從而產生疲勞裂紋導致曲軸斷裂失效，并且由于曲軸的關鍵作用它的失效還會產生更嚴重的影響。隨著發動機功率以及性能的不斷強化，使得曲軸的工作條件也越來越苛刻，所以曲軸的保護工作顯得尤為重要，需要通過一系列研究對其動力學性能有更加細致的了解，為曲軸結構的優化設計提供可靠的理論依據。

在對發動機開發的過程中，針對曲軸在使用上的重要性需要用先進的計算方法進行設計，目前使用最為普遍的是以有限元技術作為研究的主要方法，有限元技術能夠使曲軸計算分析的結果更加精確。利用有限元技術建立曲軸的有限元模型，模擬曲軸的真實邊界條件進行模態分析，從而獲得曲軸前六階固有頻率以及振型，然后再對曲軸進行瞬態動力學分析，獲得了曲軸前端、后端的角位移以及應力隨曲軸轉速的變化規律，對于曲軸的結構設計、制造以及維護都具有現實意義。

2 曲軸有限元模型的建立

利用有限元技術對曲軸的動力學性能進行計算的過程中，由于曲軸的有限元模型包含數十萬甚至上百萬個自由度，如果將這些自由度直接進行動力學性能分析，龐大的計算量無疑會增加計算的復雜性的從而影響其精確度，通常需要采用模態縮減的方法來簡化計算過程，減少運算時間并且提高計算精確度。首先對于一個柔性體有限元系統，進行模態縮減時其動力學方程表示為：

式中M為質量矩陣，K為剛度矩陣，F（t）為外載荷量。由此可知如果該柔性體有限元系統包含的節點很多（A量級），那么M、K的規模將會很大（A2量級），如果直接按照上式的方程進行求解，如此龐大的數據量不僅對于計算系統有著很高的要求，而且一般情況下完全進行計算是根本無法實現的。但是由于外載荷向量[F（t）]中一般只是一些為數不多的非零元素，而將這些非零元素所在行的自由度定義成邊界自由度，即直接受到荷載作用的自由度方向u。系統內部其它的自由度則為內部自由度，通過對上式方程進行適當的轉變可以得到：

然后再定義一個變換矩陣如下所示：

此矩陣對應的變換為：

式中ub指邊界自由度，ul指內部自由度，φR指剛體向量組，q指模態自由度，φL指內部自由度的模態振型。這種變換被稱為Craig-Bampton變換，該變換的矩陣稱為CB矩陣φcb。將（3）式代入（2）式中可得：

根據CB矩陣的定義，可以將（4）式轉變成為：

由于模態階數越高，模態自由度的幅度越小，即可以忽略高于一定階次的模態運動。因此，對于（5）式，只需要根據實際情況考慮保留前面數個或者數十個模態自由度的方程即可，這樣方程的綜述便從數十萬到上百萬個縮減到數十個了，通過求解保留下來的數十個方程組成的方程組，便能得出模態系統的全過程響應，在利用CB逆變換，便能恢復出物理系統所有節點的響應全過程。

然后利用有限元技術建立曲軸有限元模型如圖1所示。在曲軸主要受力點包括扭轉減振器、凸輪驅動鏈輪、主軸承、曲柄銷以及飛輪等區域建立RBE3約束。由于RBE3約束的參考點并不是獨立的，所以需要在參考點設置附屬點，然后將參考點與對應的附屬點在六個自由度方向上用剛度很大的彈簧綁定，根據實際情況定義了這些附屬節點的邊界自由度，如表1所示。

圖1 曲軸有限元模型

表1 邊界自由度列表

曲軸有限元模型的建立包括曲軸柔性體、曲軸皮帶輪、飛輪、主軸承、曲柄銷和連桿軸等多個部件以及運動副組成。對于柔性體模型，主要通過離散的有限元建立模型，利用軟件結合有限元模型的組成與各部件的約束關系建立以曲軸系統有動力學方程并進行求解計算；對于剛體模型，建立動力學微分方程進行描述，曲軸的零部件位置，質量以及轉動量等都可以通過CAD軟件建立三維模型。

3 曲軸的模態分析

發動機在工作時往往能夠達到很高的轉速，使曲軸周期性荷載的作用力加大，如果在設計上考慮不足，曲軸與發動機在工作當中產生強烈的共振致使動應力急速增加，長期在這種環境中工作很容易造成曲軸的動應力集中，從而產生疲勞裂紋導致曲軸斷裂失效，并且由于曲軸是發動機的主要運動部件，它的失效還會產生更嚴重的影響，所以需要通過模態分析確定曲軸前六階固有頻率以及振幅。對于發動機而言，只有較低的頻率才會引發較大的振動，所以曲軸較低的固有頻率對系統的響應影響較大，本文主要研究曲軸前六階固有頻率以及振幅如圖2～圖7所示。

然后曲軸前六階固有頻率以及振幅的特點總結如表2所示，從表中曲軸振型描述中可知曲軸第一、二階非零振型分別是在X以及Y方向作一階彎曲振動；第三、四階非零振型分別是在X以及Y方向作二階彎曲振動；第五階非零振型主要是縱向扭振；第六階非零振型為縱向扭振加彎曲振動。

圖2 一階非零振型

圖3 二階非零振型

圖4 三階非零振型

圖5 四階非零振型

圖6 五階非零振型

圖7 六階非零振型

表2 曲軸前六階固有頻率和振幅描述

除此以外，發動機對外輸出的有效轉矩是指曲軸角位移的乘積，在曲軸工作過程中，曲軸前后端的角位移變化以及各個點的應力分布具有一定的隨機性質，因此需要通過瞬態動力學分析確定曲軸前端、后端的角位移以及應力隨時間以及轉速變化所發生的相應。由于發動機通常都在高轉速的環境下工作室能達到很高的轉速，因此在計算曲軸對外荷載的響應時，必須將時間變量考慮在內，使用瞬態動力學分析時，通過輸入時間以及轉動函數的載荷，可以獲得隨時間以及轉動變化的應力以及應變，瞬態動力學分析的運動方程和通用運動方程相同即為 ，然后施加時間歷程載荷進行求解，有結果可以得到一系列的載荷循環歷程如圖8、圖9所示：

圖8 應力—時間歷程圖

圖9 應力—時間歷程簡化模式

由此進行分析，可以得到曲軸前端、后端的角位移和應力隨曲軸轉速的變化規律，并且基于此對曲軸進行損傷評估，進一步得到可靠的曲軸動力學參數以及疲勞安全狀況，可以在設計的過程中及時發現存在的問題并進行優化，極大的減少試驗次數以及費用，為曲軸的制造以及維護提供了有利的理論依據。

4 結束語

綜上所述，現階段在曲軸的設計制造過程當中主要運用的是有限元技術對其進行動力學分析。利用有限元技術建立曲軸的動力學模型，然后進行模態分析，獲得了曲軸前六階固有頻率和振幅，結合瞬態動力學分析能夠發現曲軸前端、后端的角位移以及應力變化隨著曲軸的轉速增加而增大，并且容易導致疲勞失效的風險以及其它潛在問題。根據有限元技術對曲軸進行分析，提出一些具有針對性的優化方案，為曲軸的改進設計提供了方向，并且有效地縮減了曲軸等關鍵部位的的開發周期與制造成本，大大提升了設計的質量。

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