線性相位FIR濾波器頻域特性的教學探索

薛 健，陳后金，胡 健

(北京交通大學電子信息工程學院，北京100044)

0 引言

FIR數字濾波器是指系統單位脈沖響應h［k] 僅在有限范圍內有非零值的濾波器。M階FIR數字濾波器的系統函數H(z)可表示為

由于FIR數字濾波器很容易設計成線性相位的濾波器，在實際中FIR濾波器有著廣泛的應用。

線性相位FIR濾波器的頻域特性，是“數字信號處理”課程中的一個重要內容。現有的教材在分析這個問題時采用了幾乎相同的方法，即利用四種線性相位FIR濾波器的時域對稱特性，分別求出對應的頻率響應，分析其頻域特性。

本文給出了一種與傳統教材不同的分析方法。該方法以Ⅰ型線性相位系統的頻率響應為基礎，將其他三種類型線性相位系統的頻率響應表示為Ⅰ型線性相位系統的頻率響應與一簡單函數的乘積。該方法的特點是當Ⅰ型線性相位FIR濾波器的頻率響應給出后，可以很容易地推得其他類型線性相位FIR濾波器的頻率響應。由于將Ⅱ型、Ⅲ型和Ⅳ型線性相位FIR濾波器的幅度函數表示為Ⅰ型線性相位系統的幅度函數與三角函數的積，可由幅度函數表達式方便的得出不同類型線性相位FIR濾波器的頻域特性。

1 線性相位條件

若M階FIR濾波器頻率響應H(ejΩ)可寫為

式中，α和β是與Ω無關的常數，A(Ω)是一可正可負的實函數，則該濾波器稱為廣義線性相位系統，A(Ω)稱為系統的幅度函數。

如果M階FIR濾波器的單位脈沖響應h［k] 是實數，則可以證明系統是線性相位的充要條件為［1－3]

當h［k] 滿足h［k] =h［M－k] ，稱h［k] 為偶對稱。當h［k] 滿足h［k] =-h［M－k] ，稱h［k] 為奇對稱。由于按對稱性h［k] 可分為偶對稱和奇對稱，按階數h［k] 又可分為M奇數和M為偶數，所以線性相位的FIR數字濾波器有四種類型，如圖1所示。

如采利用線性相位FIR濾波器的單位脈沖響應h［k] 的對稱性，可得

2 線性相位系統的頻域特性

四種不同類型的線性相位FIR系統，由于h［k] 的對稱性及濾波器階數M的奇偶不同，其頻域特性各有其特點。

1)Ⅰ型線性相位濾波器(h［k] 偶對稱，M偶數)

M階Ⅰ型線性相位濾波器的頻率響應可表示為［4-10]

由上式知，Ⅰ型線性相位系統幅度函數A(Ω)的周期為2π，且有

2)Ⅱ型線性相位濾波器(h［k] 偶對稱，M奇數)

由系統的偶對稱特性，式(4)可寫為

由于M是奇數，將z=-1代入上式可得

所以，H(-1)=0。故Ⅱ型線性相位濾波器可表示為

其中，H1(z)是M－1階的Ⅰ型線性相位系統。由式(5)可知，H1(z)的頻率響應可表示為

綜合式(8)和式(9)，M階Ⅱ型線性相位系統的頻率響應可表示為

由上式可知，Ⅱ型線性相位系統幅度函數的周期為4π，且

即Ⅱ型線性相位系統幅度函數A(Ω)關于Ω=0偶對稱，Ω=π奇對稱，并且A(π)=0。所以Ⅱ型線性相位濾波器不能用于高通和帶阻等濾波器設計。

3)Ⅲ型線性相位濾波器(h［k] 奇對稱，M偶數)由系統的奇對稱特性，式(4)可寫為

由于M是偶數，將z=-1，z=1代入上式可得

所以H(-1)=H(1)=0。故Ⅲ型線性相位濾波器可表示為

其中，H2(z)是M－2階的Ⅰ型線性相位系統。

由式(5)和式(10)，M階Ⅲ型線性相位系統的頻率響應可表示為

即幅度函數關于Ω=0和Ω=π奇對稱，并且有A(0)=A(π)=0。所以Ⅲ型線性相位濾波器不能用于高通和低通濾波器的設計。

4)Ⅳ型線性相位濾波器(h［k] 奇對稱，M奇數)

由于M是奇數，將z=1代入式(9)可得H(1)=-H(1)，所以有H(1)=0。故Ⅳ型線性相位濾波器可表示為

其中，H3(z)是M－1階的Ⅰ型線性相位系統。

由式(5)和式(11)，M階Ⅳ型線性相位系統的頻率響應可表示為

由上式可知，Ⅳ型的線性相位系統的幅度函數A(Ω)的周期為4π，且

即幅度函數關于Ω=0奇對稱，關于Ω=π偶對稱，并且A(0)=0。所以Ⅳ型的線性相位濾波器不能用于低通濾波器的設計。

3 結語

本文給出了一種分析線性相位FIR濾波器頻率響應的方法，該方法簡化了線性相位FIR濾波器頻率響應的分析過程，突出了FIR濾波器頻域特性，便于學生掌握線性相位FIR濾波器頻域特性。本文推出的幅度函數的表達式與FIR濾波器優化設計中用到的四種形式FIR濾波器的統一表示一致，但推導過程更加的簡單明了，有利于課堂教學的進行和學生的理解，深受學生歡迎。

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