數學建模在高等數學教學中的應用

范媛媛

（滁州學院 數學科學學院，安徽 滁州 239000）

數學建模在高等數學教學中的應用

范媛媛

（滁州學院 數學科學學院，安徽 滁州 239000）

高等數學是理工科大學生必修的一門重要專業基礎課程，在高等數學教學中滲透數學建模的思想，可以培養學生的創新意識，提高學生學習高等數學的興趣.提出了基于案例驅動的課堂教學、積極開展數學課外活動、合理利用數學軟件，借助數學實驗等措施把數學建模思想融入到高等數學教學的各個環節.

高等數學；數學建模；教學

1 引言

高等數學作為理工科大學生必修的一門重要的專業基礎課程，對于培養大學生的理性思維能力和科學處理實際問題的嚴謹性等方面，具有其它課程都無法取代的作用[1].對于我們每一個講授高等數學課程的教師來說，在上第一節課的時候，按慣例都會闡述一下課程的重要性，一方面要強調這門課程的基礎性作用；另一方面，免不了都要說它在實際中有多么重要的應用價值等等.對大多數學生來說，可能對這門課程在實際中的應用更感興趣，但是在實際教學過程中，教師卻很少真正去解決一些實際問題，理論和實際有些脫節，長期以來，高等數學的教學活動還是以講授微積分的相關理論和訓練學生的計算技巧為主.如果教師能在教學過程中適當融入數學建模的思想方法，在理論講解的同時注意培養學生應用理論知識處理實際問題的能力，不僅可以糾正部分學生所認為的“高等數學無用”的思想，而且還可以培養學生的創新能力和意識，激發學生學習高等數學的興趣.

2 數學建模思想融入高等數學教學中的必要性

數學建模就是利用數學理論解決實際問題的一種思想方法，它是將數學理論與實際問題聯系起來的橋梁，也就是將實際問題用數學語言來描述和解決.數學建模的人才具有一種特有的能力——“雙向翻譯能力”，即可以將實際問題簡化抽象為數學問題——建立數學模型；然后利用計算機等工具求解數學模型，再將求解結果返回到實際中去，并用來分析解決實際問題[2,3].

大學數學教育的思想核心應該是保證學生掌握理論基礎知識的同時，注重培養學生的創新意識和創新能力，提高學生的數學素養和解決實際問題的能力，而數學建模就是實現這一目標的有效途徑[4,5].在高等數學教學過程中融入數學建模的思想方法，培養學生將數學知識應用于實際問題和社會實踐的意識，加強學生在解決問題的過程中養成的團結合作的精神以及交流、表達的能力.另外，還可以彌補傳統數學教學中存在的不足，促進高校數學教師對知識的更新.

3 數學建模思想融入高等數學教學中的具體措施

在培養大學生的創造性思維、意識和能力等方面，數學建模的思想方法具有重要的意義和良好的效果.但在高等數學教學中融入數學建模的思想方法，我們應該注意兩個問題:一是教學中必須合理安排教學內容，要以高等數學教學為主，建模過程為輔，以確保高等數學教學任務能夠順利完成；二是教學中要以介紹建模的思想、方法為主，提高建模能力為輔，因為畢竟不是數學建模課程，所以所選實例不宜過于復雜.

3.1 強調數學概念與實際問題的聯系

高等數學中許多概念定義的產生都是有其實際背景的，所以應該從實際問題中引入概念，在教學中重視從實際問題中抽象出數學概念的過程，加深學生對數學概念的理解和掌握以及與實際問題的聯系.例如：教材中以“ε-N”、“ε-δ”語言給出了數列極限以及函數極限概念的精確描述.但是這種描述對于初學者而言非常地抽象和難以理解，學生只能不加理解地死記硬背，而不能理解其真正的內涵.為了解決這個問題,教學中可從實際問題中引入極限的思想，如我國古代數學家劉徽的割圓術、幾何圖形按一定規則的變化趨勢、一條曲線上點的變化過程等等.在實際問題中給學生展示極限定義的形成過程，讓學生理解極限定義的本質，能夠輕松掌握利用“ε-N”、“ε-δ”語言證明有關極限問題的解題思路和解題方法.

又比如在講授導數這個概念時，我們是利用瞬時速度和切線斜率的共性抽象出來的函數變化率給出的導數的定義，但是導數的意義遠遠超出了斜率和速度的范疇，它滲透到了科學技術的各個領域.教學中可以引導學生發現種群的生長率和死亡率、放射性物質的衰變率、冷卻過程的溫度變化率、經濟學中的邊際函數等等與函數變化率有關的實際問題都是與導數的概念有關的.這樣學生不僅能夠深刻體會到數學概念的實際背景與應用價值,同時也會被導數的巨大魅力所傾倒.

3.2 基于案例驅動的課堂教學

案例驅動是教師根據課堂教學目標和教學內容的需要，通過設置具體案例，引導學生參與分析、討論、表達等活動，進而提高學生分析問題和解決問題能力的一種教學方式.其本質是理論與實踐相結合的互動式教學.與傳統教學相比，案例驅動的教學方式顯示出理論聯系實際，促進學生重視實際應用的優越性.在高等數學的教學活動中，我們可以根據不同的教學內容，選編相應的實際應用問題進行案例教學.

例如定積分的應用其實就是“元素法”的思想，在講解定積分應用時，我們可以提出這樣一個問題：

例1 某城市居民人口分布密度的數學模型是

其中r(km)是離開市中心的距離，P(r)的單位是10萬人/km2.求在離市中心10km范圍內的人口數.(人口分布問題)又如微分方程建模主要用于自然科學（如捕食問題）和社會科學方面（如人口預測、新產品的推廣、減肥問題等）的研究.在講解到微分方程時，我們可以提出這樣一個具體問題：

例2 某地區的人口數y與時間t有關，且人口增長率與(N-y)成正比.若初始時刻t=0時的人口數為y0.求人口數與時間t的函數關系？

但是特別要注意的是，我們設計的教學案例應該要遵循以下幾條原則：

（1）案例要與教學內容緊密聯系，選編的教學案例要能用所學理論知識來解決；

（2）案例最好是學生感興趣的問題，如經濟中的熱點問題或生活中的熱門話題等；

（3）案例要具有科學性，即所選編的教學案例必須符合實際.

3.3 大力開展數學課外活動,引導學生積極參加數學建模競賽

大學生數學建模競賽最早是1985年在美國出現的，1989年北京大學、清華大學和北京理工大學首次組織學生參加美國大學生數學建模競賽（MCM/ICM），目前全國各理工科院校基本都開設了《數學建模》課程，并組織學生積極參與“全國大學生數學建模競賽”和MCM/ICM的活動.

大力開展數學課外活動，引導學生積極參加數學建模競賽是高等數學課程的延續、補充和升華，在活動中可以培養學生的團隊精神和互助合作的能力，對于畢業后走上工作崗位有很大的幫助.我們可以采取每個月針對所學的內容開展一次數學建模課外活動，在數學建模活動中，學生可以鞏固和加強對課堂教學內容的理解和掌握.而且從某種意義上說，數學建模就是一個小型領域的科研活動，讓學生通過此項課外活動更早的接觸到科研方法，能夠培養學生自覺地應用數學知識、方法去觀察、分析、解決生活和科技中的實際問題，全面提高學生的數學素質.而且通過此項課外活動，學生儲備了一定的建模知識，為參加數學建模競賽也打下了基礎.

3.4 合理利用數學軟件，適當增加上機實驗

隨著計算機的廣泛應用和數學軟件的迅速發展，許多復雜的推導都可以利用計算機編程來實現，許多難以用手工畫出的圖形也可以在計算機屏幕上直觀地顯示出來，這肯定會對包括高等數學在內的許多課程的教學內容和教學手段產生深刻的影響.在教學過程中我們可以合理地利用數學軟件，通過幾何直觀、數值分析和符號推演三者相結合的方式，促使學生加深對理論知識的理解和掌握，培養學生的應用能力，增強學習效果.

而數學實驗強調的是如何培養學生將實際問題和數學理論聯系起來，自覺地從一些觀察到的現象中歸納數學規律、建立數學模型，并運用數學的方法予以解決，學生在這一過程中一直是參與的主體.這種創造性的學習方法在學生應用數學的意識和創新能力培養方面起到了積極的作用.所以在高等數學的教學中，可以適當增加些上機實驗的課時，培養學生的應用能力和創造性思維.

4 結語

總之，在高等數學教學中滲透數學建模的思想方法不僅能夠激發大學生學習高等數學的興趣，體會高等數學的實際實用價值，而且能夠培養大學生的辯證邏輯思維、創造性思維以及元認知能力.在教學中融入數學建模思想，在培養和提高學生的想象力、洞察力和創造力的同時，對學生自身綜合素質的提升也有著重要的意義和深遠的影響.

〔1〕李秀林.高等數學教學中滲透數學建模的探討[J].吉林省教育學院學報,2009,25(8):40-41.

〔2〕李薇,李衛軍,戴明強.將建模思想融入數學教學,培養大學生數學素質[J].湖北師范學院學報,2009,29(3):108-111.

〔3〕林昕茜.數學建模思想在高等數學教學中應用價值的研究[J].桂林電子科技大學學報,2009,29(2):155-158.

〔4〕盧喜森.數學建模思想在高等數學教學中的一個應用[J].廣西大學學報(自然科學版),2003,28(10):25-27.

〔5〕原乃冬.高等數學教學中滲透數學建模思想的嘗試[J].綏化學院學報,2005,25(4)：134-135.

G642

A

1673-260X（2012）05-0026-02

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