淺談高等數學中蘊含的哲學思想

汪良防

淺談高等數學中蘊含的哲學思想

汪良防

高等數學作為一門反映現實世界空間形式，表達現實世界數量關系的學科，其自身內部是在一定的矛盾統一體相互作用而不斷發生和發展的。在這一過程中，高等數學的發展也遵循自身的規律。而這其中的規律可以用哲學的思想來進行解釋。以高等數學中的哲學思想為研究對象，分析與闡述了蘊含其間的有限與無限、特殊與一般、運動與靜止、近似與精確等哲學思想。

高等數學；哲學思想；研究

偉大的思想家、哲學家恩格斯曾經說過：“要想表示物質運動狀態、形成和發展過程，唯一可以實現或者達到這一目的的只有微積分。”高等數學從本質上來分析是一種表示和展現變量的科學。它所能研究的不僅僅是靜止的，更應該是運動的和過程的。因此，從整個高等數學的研究過程來看，在這其中所運用的觀點和方法都與初等數學表現出了本質上的不同。高等數學中的辯證唯物主義思想所表現的是事物之間對立統一的關系。這種關系在高等數學中各個方面都有體現。比如：高等數學中的有限與無限之間的關系、特殊與一般之間的關系、量變與量變累計到質變之間的關系，等等。

哲學思想強調，任何事物之間都存在著一定程度的聯系，這種聯系是普遍存在的。對于高等數學而言，這一觀點也同樣適用。例如，我國高等數學領域中的著名學者、科學家楊樂和張廣厚，就曾經針對函數值分布論中的概念進行了創新性的思考和研究，他們在研究的過程中大量借鑒了唯物辯證法中普遍聯系的觀念，首次提出了并解釋了“虧值”和“奇異方向”之間的具體聯系。這一研究結果引起了數學界的高度重視。

自覺運用唯物辯證法聯系的觀點指導函數理論的研究，第一次發現了函數值分布論中兩個主要概念“虧值”和“奇異方向”之間的具體聯系，受到了國內外函數論專家的重視。而這只是漫長高等數學發展史上的一個亮點而已。回顧整個高等數學理論發展歷程，這樣的矛盾與統一無處不在。正是在解決和發現矛盾的過程中，高等數學自身也得到了向前發展的動力和支持。通過不斷的實現對立和統一、否定之否定、量變與質變等過程，高等數學不斷給我們展示著哲學中的各種辯證關系，使數學學科成為一門真正的學科。

一、有限與無限

我們都曾經經歷或目睹過兩個小孩子在進行數量比較的過程中，一個孩子可能會說：“我有1000”，另外一個孩子可能會說：“那我有10000，比你多吧？”然后前一個孩子可能會說：“不管你有多少，我都比你多一個”。后一個孩子最后可能會說：“我有整個宇宙的數量。”這樣的例子，其實就是高等數學關于“有限”和“無限”之間的關系。

在哲學上來看，“有限”和“無限”是一對矛盾的統一體，二者之間存在一定的聯系。無限是有限的發展，無限是由有限所組成的。按照高等數學的思想，無限是“部分和”的極限，這就是利用有限來認識無限的過程。可見，我們在學習高等數學概念的過程中就把辯證統一的思想融入了其中。

“有限”和“無限”概念的提出也是區別高等數學和初等數學的重要標志之一。根據數學推到的思想我們很容易地認識到：既然無限是有限的發展，那么以前針對有限適用的相關命題，當其推廣到無限的時候是否依然成立呢？經研究我們發現，這其中的一些命題依然正確，但是也有一些命題是不正確的。這便是矛盾統一思想的真實寫照。例如，由1＜2，2＜3，…，n＜n+1，…推得l+2+…十…n+…＜2+3+…+(n+1)+…。若記x=2+3+…+(n+1)+…，則有1+x＜x，即1＜0。很顯然，這樣的推算得到了矛盾的結果。因此，在高等數學不斷的發展過程中，我們會研究到底哪些是普遍適用的，哪些具有特殊的意義。在這過程中，需要特別給予重視的是：當推廣不成立時，其中是否有特殊命題可以推廣？如果經過相關的研究和總結分析后發現可以推廣，并推廣成功，那么我們就得到了一個新的發現和新的創造。這就是矛盾中的不斷發展。

從有限到無限的發展，對于數學發展來說具有重要的歷史意義。它的開創對于微積分中相關概念的理解起到了極大的促進作用，為高等數學的發展奠定的基礎。總之，作為高等數學微積分中的基本概念——有限與無限，是我們理解和發展微積分的重要工具。而在這種理解和發展的過程中，正是借助哲學中的辯證統一思想把微積分一步步引向深入。無限能夠通過有限來進行表示，而有限可以通過一定的方式轉化成無限。這就是事物思考的過程、發展的過程和變化的過程。這也真正體現了恩格斯的觀念——“無限來自于有限，永久來自于暫時”。

二、特殊與一般

數學實際上是一門認識世界數量關系和組合形式和方法的科學。可是，我們面對的世界是一個紛繁復雜的世界，充斥著普遍性與特殊性，即個性和共性同時存在。如果用數學的工具來表示這一觀念，就是特殊與一般的辯證關系。回顧高等數學推導和發展的過程，我們不難發現：每個概念或者原理的發展，最初都是通過特殊例子引出的。通過對特殊例子的詳細分析，形成一定的抽象，于是便得出了相關的新的數學概念。例如在求函數的n階導數的公式以及求級數的通項等時，我們的研究和認識過程往往是先研究分析特殊項目，然后運用歸納、概括的方法得出一般項。這就是從特殊到一般的過程。

三、運動與靜止

“一切皆變，無物常住”，這是一個原始的樸素的世界觀。辯證唯物主義認為，世上萬物處于運動之中，運動是相對的，靜止是存在的，但又不是絕對的靜止，而是相對的、有條件的靜止。這一原理啟發我們，“動”和“靜”是不能完全割裂的，解題中有時動中求靜，把動態問題暫時處于靜止狀態來觀察、分析，可以獲得成功；有時卻靜中覓動，運用相對運動的觀點來研究，又會收到事半功倍的效果。

總之，動與靜是中國哲學史上的一對重要范疇，關于兩者關系的探討，最早見于老子哲學。他說：“反者，道之動；弱者，道之用。”老子認為萬事萬物的運動變化都是循環反復的，事物的發展必然要走到自己的反面，這就是“道”的運動。誠然，老子把靜看成是絕對的，并不正確，但他看到了動和靜之間的關系不是截然對立的，而且他是歷史上第一個辯證揭示動靜關系的思想家。事實上，對動和靜的辯證把握，正是中國哲學的優良傳統之一。明清之際的思想家王夫之說得十分透徹：“動極而靜，靜極而動……方動即靜，方靜即動，靜極含動，動不舍靜。”動與靜是事物相互依存的兩種狀態，它們是對立統一的關系。同時運動是絕對的，靜止是相對的。

四、近似與精確

高等數學中的近似與精確，在哲學思想中也是一個矛盾的統一體。雖然是對立統一的關系，但是在一定程度上也可以互相轉化，而這種轉化就是高等數學的內核所在。在高等數學研究過程中，我們經常提到的“部分和”、“平均速度”以及“圓內接正多邊形面積”等概念，實質上都是一種近似的概念，所運用的就是“無窮級數和”、“瞬時速度”、“圓面積”等的近似值，在借助之前我們所分析和闡述的“極限”的概念，這種“近似”就變成了“精確”。

從高等數學解決問題的思路出發，我們發現，高等數學解決的問題大多屬于非均勻分布或非均勻變化的問題。因此，解決問題的過程較為復雜，運用和使用的公式不是簡潔和完美的。所以，研究過程應該是一個從有限到無限的過程，從量變到質變的過程。這其實也體現了對立統一的哲學思想。

五、高等數學與文化的滲透研究

數學是一門古老而又年輕的科學。說它古老，是因為它歷史悠久，可以追溯到結繩計數時代；說它年輕，是因為直到現在數學的發展也沒有停止過，現代計算機技術的日新月異與數學的發展密切相關。

正是大自然中的千變萬化，影響著我們去思考和發現新的數學理念和數學方式。諸如：大數學家歐拉在聽到“哥尼斯堡七橋問題”的故事后得到了一定的啟發，與其所研究的事物發生了聯系，才最終使得現代數字中拓撲學得到了產生和發展。而最著名的貝努利也正是受到“滑梯”形式的特點，總結并提煉出了著名的“最速下降線問題”。由此可見，高度數學已經滲透到我們生活的方方面面。高等數學的不斷發展將進一步推動其他自然學科的不斷發展和壯大。

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B-49

A

1673-1999（2012）10-0039-03

汪良防，男，泉州經貿職業技術學院（福建泉州362411）講師。

2012-02-12