偏置正交面齒輪的幾何設(shè)計(jì)及三維造型

魏冰陽，袁群威，吳 聰

(河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，河南洛陽471003)

0 前言

面齒輪傳動(dòng)是一種圓柱齒輪與圓錐齒輪相嚙合的齒輪傳動(dòng)形式［1-3］，因此，面齒輪可應(yīng)用于正交與非正交場合的傳動(dòng)。但人們常常忽視面齒輪傳動(dòng)的另外一種形式——小輪偏置面齒輪傳動(dòng)。其實(shí)這種傳動(dòng)形式能大幅度拓寬面齒輪傳動(dòng)的應(yīng)用領(lǐng)域，它為設(shè)計(jì)者提供了更大的發(fā)揮空間，小齒輪軸線的下偏置有利于降低機(jī)體重心的高度，采用跨式支承，能大幅度提高系統(tǒng)的剛性，且這種設(shè)計(jì)具有較大的重合度。文獻(xiàn)［1-3］對(duì)面齒輪傳動(dòng)的嚙合理論做了研究，從幾何原理的角度獲得了避免面齒輪根切和齒頂變尖的條件。文獻(xiàn)［4-11］則由產(chǎn)行齒輪展成面齒輪過程中嚙合角度變化出發(fā)，對(duì)面齒輪齒寬的研究做了進(jìn)一步的分析。本文擬利用齒輪嚙合原理，推導(dǎo)出偏置面齒輪的齒面方程，輪齒根切和齒頂變尖的限制條件，計(jì)算面齒輪受限的最小內(nèi)半徑和最大外半徑，并在給定參數(shù)下進(jìn)行面齒輪的三維造型。

1 偏置正交面齒輪齒面方程

1.1 加工坐標(biāo)系

偏置正交面齒輪的加工是把插齒刀從面齒輪對(duì)稱軸線向一側(cè)移開一個(gè)距離，所加工出的面齒輪即能和軸線偏置的圓柱齒輪嚙合。刀具和面齒輪的坐標(biāo)系如圖1所示，坐標(biāo)系Ss，S2分別固結(jié)于刀具和面齒輪，坐標(biāo)系Sa，Sh為輔助坐標(biāo)系，E為偏置距，Ss和S2分別繞其z軸旋轉(zhuǎn)形成展成關(guān)系，其旋轉(zhuǎn)角分別為φs和φ2，φ2=zs/z2φs。由圖1可以求得坐標(biāo)變換

刀具漸開線齒形如圖2所示，刀具的齒面方程為

式中，rbs為刀具基圓半徑;θs為漸開線展角參數(shù);θ0s為齒寬在基圓上的對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)角，θ0s由下式確定

±號(hào)分別對(duì)應(yīng)于刀具齒槽兩側(cè)的漸開線a-a，b-b，其中，zs為刀具齒數(shù);α0為刀具壓力角;invα0為壓力角的漸開線函數(shù)，invα0=tan α0- α0。

圖1 面齒輪加工坐標(biāo)

圖2 刀具漸開線齒形

刀具齒面的單位法矢為

1.2 面齒輪的齒面方程

設(shè)刀具與面齒輪的接觸點(diǎn)為P，P點(diǎn)隨同坐標(biāo)系Ss和S2的運(yùn)動(dòng)速度分別為vs和v2，把P點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度表示在坐標(biāo)系Ss下為

其中m2s=ms/m2。

得到

面齒輪的齒面方程可由式(6)代入下面的方程求得

利用式(1)和式(2)得面齒輪的齒面方程為

其中 φ = φs± (θs+ θ0s)。

2 面齒輪不發(fā)生根切的最小內(nèi)半徑

面齒輪的最小內(nèi)半徑是由根切的界限條件來確定的，避免根切可以通過限定刀具齒面Σs來實(shí)現(xiàn)，其限制根切的條件為

式中，fu、fθ、fφ是嚙合方程分別對(duì) us、θs、φs求導(dǎo)是相對(duì)速度在 Ss各軸的分量。根切臨界點(diǎn)就是根切極限處與刀具齒頂?shù)慕稽c(diǎn)，所以

由于偏置正交面齒輪的兩側(cè)輪廓是不對(duì)稱的，故會(huì)有兩個(gè)極限值R1a，和R1b，在設(shè)計(jì)中，取兩者的最大值，所以

3 面齒輪不發(fā)生頂尖的最大外半徑

把坐標(biāo)系S2沿z2軸線平移到面齒輪齒頂?shù)奈恢茫⒁粋€(gè)新的坐標(biāo)系Sg，如圖3所示。將面齒輪的齒面方程轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系Sg下，即

式中Mg2是從S2到Sg的坐標(biāo)變換矩陣，

圖3 齒面的另一坐標(biāo)系

式中rf為刀具的齒根圓半徑。

齒頂變尖是指輪齒的兩側(cè)齒面相交以后使得齒頂?shù)暮穸鹊扔诹慊蛘呓咏诹悖紤]到偏置正交面齒輪兩側(cè)輪廓的不對(duì)稱性，輪齒變尖的條件為

式中，上標(biāo)a和b分別對(duì)應(yīng)左側(cè)和右側(cè)齒廓的參數(shù)，解方程(17)即可得到極限點(diǎn)坐標(biāo)，偏置正交面齒輪不變尖的最大外半徑為

4 偏置正交面齒輪的三維造型

4.1 參數(shù)的選擇和計(jì)算

基本參數(shù):模數(shù)m=3 mm，面齒輪齒數(shù)z2=89，小輪(漸開線標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪)齒數(shù)zs=25，壓力角α0=20°，齒頂高系數(shù)=1，頂隙系數(shù)c*=0.25，偏置距E=25 mm，計(jì)算可以得到R1=133 mm，R2=156 mm。

4.2 網(wǎng)格規(guī)劃

網(wǎng)格劃分一般采用的原則:齒長方向取等距的9列，齒高方向取等距的5列，那么整個(gè)齒面上連成網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(diǎn)有45個(gè)，如圖4所示，考慮到偏置正交面齒輪的兩側(cè)輪廓的不對(duì)稱性，需要分別對(duì)齒廓兩側(cè)規(guī)劃。網(wǎng)格上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(Yij，Zij)，i=1～5，j=1～9，

齒面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x2，y2，z2)于旋轉(zhuǎn)投影面內(nèi)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)滿足以下關(guān)系式

利用Matlab求解方程(19)，分別得到兩側(cè)齒廓的三維坐標(biāo)點(diǎn)。

4.3 創(chuàng)建實(shí)體

將計(jì)算得到的坐標(biāo)點(diǎn)保存成IBL文件，導(dǎo)入Pro/E，生成偏置正交面齒輪的齒面曲面，將曲面封閉實(shí)體化處理得到齒輪的單個(gè)輪齒，如圖5所示，將曲線隱藏，對(duì)輪齒進(jìn)行陣列即可得到整個(gè)齒形，小輪是標(biāo)準(zhǔn)圓柱齒輪，可以從數(shù)據(jù)庫中直接調(diào)用完成裝配，如圖6所示。

圖4 面面網(wǎng)格

圖5 面齒輪輪齒

從圖5中可以看出:面齒輪的齒頂沒有變尖，齒根未發(fā)生根切，說明上述的推導(dǎo)和幾何計(jì)算是正確的。由于偏置面齒輪的齒廓兩側(cè)不對(duì)稱，輪齒縱向出現(xiàn)了一定的傾斜，這對(duì)增加齒輪副的重合度有利。

5 結(jié)論

通過對(duì)偏置正交面齒輪齒面方程的推導(dǎo)，得出了齒頂變尖與根切的限制條件，通過編寫相關(guān)程序，仿真模擬完成了偏置面齒輪的幾何設(shè)計(jì)，三維嚙合裝配，其結(jié)果驗(yàn)證了本文理論推導(dǎo)和計(jì)算的正確性。面齒輪副的三維造型及其裝配為今后進(jìn)一步的嚙合分析、有限元分析、強(qiáng)度計(jì)算奠定了基礎(chǔ)。

圖6 偏置面齒輪的裝配圖

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