基于MATLAB的空間桁架梁的內力分析計算

韓 剛，樊 濤，卜培培

(太原科技大學機械工程學院，太原 030024)

桁架梁的桿件由型鋼和鋼板組成，截面一般有槽形、工字形和箱形，常用鉚接或焊接成型，主要承受軸向力。桿件截面上應力分布均勻，材料性能發揮好，從而節省材料，減輕結構自重并具有較大的結構剛度。空間桁架梁是由許多僅承受軸向力的桿件鉸接形成的一種空間結構型式，具有材料省、自重輕、風阻小、造價低、便于空間幾何布置等特點，使得桁架梁成為建筑結構和大型機械結構中常見的結構型式。此外，空間桁架梁的結構布置靈活，對其結構稍加調整便可適用于不同跨度和載荷的結構支承。MATLAB是一種高效的工程計算仿真軟件，它將計算、參數化和可視化等功能集于一個簡單易用的操作界面環境中，大大地減少了計算量，提高了繪圖質量，拓展了MATLAB在力學分析中的應用范圍，在結構力學計算和繪圖中具有普遍的適用性。

1 桁架梁結構的力學分析

1.1 桁架梁結構特點及其載荷分析

在鋼結構設計中，桁架梁結構可分為平面桁架式、T形桁架式以及空間桁架式三種，每種桁架梁結構根據其上下弦桿和腹桿的布置結構又可分為不同的形式[1]。在工程實際中，進行空間桁架梁結構力學分析時，考慮桁架梁桿件的內力，上弦桿承受壓應力，下弦桿承受拉應力，腹桿成V字形的平行弦桿桁架結構。

桁架梁桿件截面形式應根據用材經濟、連接構造簡單且具有足夠的剛度等要求來確定。空間桁架梁在桿件截面型式的選擇時還要考慮桁架梁平面內節點的連接和平面外結構的連接。一般在節點處設置節點板，把交匯于節點的各桿件都與節點板相連接，形成桁架梁的節點，各力在節點板處互相平衡。本文擬研究的空間桁架梁，其上、下弦桿均為相同截面，并沿跨度全長連續直通，且以組成桿件的型鋼形心線作為桿件的軸線，如圖1所示。各個腹桿把其全部內力N1、N2傳給節點板，而左右連續的弦桿則把左右節點間力N3、N4的內力差△N傳給節點板。當弦桿上有集中力P時，則把△N和P的合力傳給節點板。

1.2 桁架梁桿件的內力計算

圖1 有集中載荷的節點構造圖Fig.1 The structure diagram of concentrated-load node

桁架梁的截面型式和主要參數確定之后，可根據載荷進行桁架梁的內力分析。實際桁架梁結構為空間結構，常將空間結構簡化成平面桁架來分析，而忽略各桁架之間的聯系，其計算精度通常能夠滿足工程要求，空間結構的載荷則按照一定的規則分配到相應平面桁架上由其獨立承擔[2]。為了簡化計算，將空間桁架梁按照載荷作用方向不同分別在各作用方向內分解成獨立的桁架進行計算，最后再進行線性疊加。

在工程實際中采用以下假設:①桁架梁中各個桿件都是直線型的;②各個桿件均采用光滑的鉸鏈連接;③桁架梁所受的載荷作用在各節點上，且分布在桁架平面內;④桁架梁桿件的重量平均分配在桿件兩端支座的鉸接點上。

將桁架梁從第一個節距截開，其受力圖如圖2所示。在工程實際中，為了計算方便和節省材料，桁架梁節距是幾個固定可選的整數，一般不可能是桁架梁總長L與節距個數n的比值，則桁架梁兩端的節距和其他段的節距不同。不失一般性，在計算時，將兩端節距定義為l1，第二段(不確定段)的長度定義為l2，第三段節距定義為l3，其余依次類推。

逐一計算桁架梁各桿件的內力，為了計算表述方便，做以下定義:①桁架梁的上弦桿內力定義為NiU，其節點上所受載荷定義為PiU，i為節距編號(i=1，2，…，n);②桁架梁的下弦桿內力定義為 NiD，其節點上所受載荷定義為PiD;③桁架梁的斜桿內力定義為Ni，④桁架梁的豎桿內力定義為NiV;⑤桁架梁高度為h。

(1)取節距1部分為研究對象，桿件受力情況如圖2所示。力D1D、D1U的方向取為向左，即表示拉力。若計算結果為負值時，則表示壓力。

由圖中特殊形式節點的性質可得

對力N1和N1U相交的節點取矩，有

圖2 節距1受力分析Fig.2 Force analysis of pitch 1

求得

由幾何關系，列力平衡協調方程:

求得:

(2)取節距2部分為研究對象，桿件受力情況如圖3所示。

圖3 節距2受力分析Fig.3 Force analysis of pitch 2

由圖3中特殊形式節點的性質可得:

對N2和N2U相交的節點取矩，有:

由幾何關系，列力平衡協調方程:

求得:

依此類推，得到桁架梁內力遞推過程，如表1所示。

表1 桁架梁內力計算分析Tab.1 Internal force analysis of truss beam

總結表1，運用數學歸納法，得到如下遞推公式:

2 工程算例分析

快速準確地計算空間桁架梁結構各桿件的受力情況，是進行結構強度、剛度和穩定性校核的基礎。對于結構復雜的空間桁架梁，用傳統的結構力學計算方法進行各桿件受力分析相當繁瑣，現使用MATLAB仿真軟件進行求解計算。以某研究項目中的圓管帶式輸送機桁架梁為例進行分析。取一部分結構為研究對象，為空間桁架梁結構，簡化為平面桁架梁結構來計算，建立簡支梁結構模型。各桿件材料均為Q235鋼，桿件為角鋼。如圖4所示，求桁架梁結構中各桿件在垂直載荷下的內力。

參數條件:圓管帶式輸送機桁架梁節距個數n=20，梁高h=1200 mm，節間距l1=l20=531 mm，l2=l19=769 mm，其余段長度均為1200 mm，均布載荷PiD=PiU=1925 N，RB=40425 N.

圖4 單榀桁架梁結構的受力示意圖Fig.4 Internal force analysis diagram of the single truss beam structure

圓管帶式輸送機桁架梁所承受的載荷較復雜，主要包括垂直方向載荷和水平方向載荷。垂直方向載荷主要考慮桁架梁(包括走臺)的自重載荷、輸送帶載荷、托輥窗載荷、物料載荷和冰雪載荷。

根據前述推導公式建立數學模式，編寫MATLAB程序，計算結果如表2所示。

表2 各桿件的內力(單位:kN)Tab.2 Internal forces of each rod(unit:kN)

根據上述數據，在MATLAB中使用plot命令繪制圖形，得到每個節距內桿件內力的分布情況，如圖5所示。

圖5 每個節距內桿件的內力分布Fig.5 The internal force distribution of each pitch in a rod

在本例中，MATLAB得到的結果和有限元計算數據吻合。上弦桿和下弦桿所承受的內力大小都是中間大、兩頭小的對稱分布情況。實際上這也是均布載荷作用下簡支梁的彎矩效果，整個簡支梁結構總體上看就像一根梁，梁的彎矩主要由上下弦桿的拉力和壓力來承受，這也從定性的角度證實了分析結果的正確性。

3 結論

從計算的結果可以看出，桁架梁斜腹桿在跨中位置的內力最小，在桁架梁兩端的內力最大，因考慮經濟性，設計時常按照跨中載荷確定斜腹桿的截面尺寸，而將桁架梁兩端斜腹桿的截面選取大一個型號或采用雙截面形式布置。在本文的推導過程中，多次使用特殊節點中各種零桿的判別方法，綜合運用了節點法和截面法。使用遞推公式計算得到的數據正確，桁架梁內力計算簡單方便。科學與工程實際中，常常需要處理大量的計算數據，結合數學軟件MATLAB輔助建模及計算，能使計算大大的簡化，并能達到目的。此外，還可以利用面向對象的VC++界面來調用MATLAB程序，創建對話框，對整個桁架梁的力學分析過程進行參數化設計，實現可視化研究。

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