連續波體積混響聲強仿真

崔劍鋒，安天思，馬忠成，朱練軍

(大連測控技術研究所，遼寧大連116013)

1 概述

連續波理論和技術最初應用在雷達上。連續波雷達在短距離應用中能夠提供較高精度的速度和距離信息，在工業領域發展出無接觸式測量技術，在交通領域里有防撞雷達的出現。連續波技術有著獨特的優點，例如測量精度高、簡單小巧、帶寬大、平均發射功率低、被截獲的概率小。連續波技術在聲吶中的應用正日益引起水聲領域科研人員的注意。

對于主動聲吶而言，除了受到各種噪聲的影響，還受到混響信號的影響，而且很多情況下混響是主要的背景干擾，在連續波聲吶技術中這一問題尤為突出。

按照傳統水聲學著作中給出的計算混響等效平面波混響級理論公式 (以體積混響為例)

能夠得出，混響聲強與入射波強度、發射信號的脈沖寬度 (式中τ表示脈寬)、發射－接收換能器的組合指向性束寬等量成正比［1］。

在發射連續波時，發射信號的脈沖寬度擴大到無限長，計算混響聲強的理論模型將不再適用，推導出的理論公式也不再成立，其結論無法對連續波的等效平面波混響級做出指導。

需要指出式(1)推導之前所做的5條假定［1－2］:

1)直線傳播，不考慮除球面衰減外的其余衰減。

2)任一瞬間位于某一面積或體積的散射體的分布是隨機均勻的。

3)散射體密度甚大，認為任一面元或體元都有很多散射體。

4)忽略多次散射，即混響所產生的混響。

5)脈沖時間足夠短，以至于可以忽略面元或體元尺度范圍內的傳播效應。

由于存在第5條假設，式(1)得到的理論公式事實上只能適用于短脈沖波的混響聲強計算，針對連續波理論，須另作考慮。

應連續波聲吶技術發展的需求，本文從體積混響入手，詳細推導了連續波混響聲強的計算，并借助計算機做了數值計算，為相關的連續波聲吶技術提供參考。

2 推導

海洋中大量的散射體按各自規律分布在海水中，其距離發射換能器與接收換能器的距離有近有遠，產生的散射波不會同時到達接收器。理想情況下，考慮海水中均勻分布著大量散射體，設發射器與接收器的指向性函數分別為 b(θ，φ)和 b'(θ，φ)，S'V為距離產生散射的單位體積1 m處的反向散射聲強度Iscat與入射聲強度Iinc之比，即

S'V與散射強度SV的關系為

以半徑為r的球面的散射聲強作為被積函數，可以得到總的散射聲強為

在發射連續波的情況下，理想的無窮介質中，理論上即可以認為積分上限取無窮。式中，I0是距離為單位距離處的聲強，4πr2是距離為r處的球殼面積。

式(3)經化簡得到:

以上推導中，始終沒有將I0作為常數提出，其原因正是由于第5條假設。在發射連續波的情況下，I是一個關于時間與距離的函數，如前所述，I0是距離為單位距離處的聲強，即

設發射信號是振幅為A，頻率為f的余弦波，則有:

代入式(5)可得:

式(8)積分形式可簡化為

此類積分的準確計算本文不做討論，為了簡化計算，在已知被積函數振蕩收斂到0的情況下，在誤差允許時，做如下代換:

式中:T為發射信號的周期;λ為波長。設水中波速為1 500 m/s，進一步化簡式 (8)，即可得到

此類積分無法得到解析值，需借助計算機做數值積分。

3 數值計算

在Matlab環境下進行數值計算［4］。需要注意積分步長的選擇，在某一確定半徑內，積分點數應滿足香農采樣定律:

化簡得到:

在滿足式(14)的前提下，在Matlab中利用trapz函數進行數值計算，由于S'VψA2為常數，此處主要計算積分式:

1)f=3 kHz時

在滿足式(14)的前提下，繪制頻率為3 kHz時I'的積分結果，如圖1所示。

圖1 f=3 kHz，積分半徑100 m，I'值Fig.1 Frequency=3 kHz，radius=100 m，the value of I'

積分半徑增加到500 m，點數不變，仍滿足式(14)，結果如圖2所示。

圖2 f=3 kHz，積分半徑500 m，I'積分結果Fig.2 Frequency=3 kHz，radius=500 m，the value of I'

對圖1作放大觀察，見圖3。

圖3 圖1的放大Fig.3 Enlarged drawing of figure 1

分析圖1～圖3，隨著積分半徑擴大，I'迅速收斂到某一值并做微幅振蕩。考慮到實際海水的積分體積有限，且考慮到積分半徑大幅增加時積分值的微幅變化，可以認為積分半徑取到100時I'的積分值幾乎不再變化。即I'在工程意義上近似收斂。

結合圖1與圖2，可以看出發射頻率3 kHz時I'近似收斂于0.5。

2)f=10 kHz時

積分半徑取100 m，積分點數10 000，代入式(14)，得到:

100＞26.7，滿足條件。積分結果見圖4。

結果與頻率取3 kHz時較為一致，I'迅速收斂到某一值并做微幅振蕩。即能夠認為頻率取10 kHz時，I'近似收斂。

3)f取其他值時

當f取其他頻率時對I'做數值計算 (需要注意滿足式 (14))，結果如圖6和圖7所示。

圖6 不同頻率下I'取值Fig.6 The value of I'in different frequency

分析圖6和圖7能夠印證前面得到的結論，即在給定的頻率下，連續波體積混響場的聲強近似收斂。由f=3 kHz和f=10 kHz的分析并結合圖能夠得出，在頻率高于大約3 kHz時的高頻頻段，簡化系數后的混響場聲強幾乎都收斂至0.5，而在低頻頻段，需要依據式 (15)進行計算。

表1給出部分頻率下I'的近似收斂值。

表1 不同頻率下I'的收斂值Tab.1 The value of I'in different frequency

4 誤差分析

上述分析與計算中不可避免地存在誤差，主要原因有以下幾方面:

1)時空域同時趨于無窮時的近似代換;

2)積分體積、水中波速等條件的理想化;

3)數值積分時取有限的積分半徑;

4)舍入誤差;

5)數值計算中步長不能無限小引起的計算誤差。

5 結語

綜合以上推導及數值實驗，能夠得到如下結論:

連續波體積混響的混響聲強是近似振蕩收斂的。收斂值

可見收斂值與散射強度、指向性束寬、發射源級、發射頻率有關。這一結論與相關論著［1－2］中給出的關于體積混響聲強的結論有明顯差別。

并且在計算中發現，在頻率大于3 kHz的情況下，簡化系數后的積分式I'均近似收斂于0.5;而在小于幾千Hz的低頻頻段，各頻率下的收斂值具有一定的規律，但并不像高頻時的收斂值一樣具有較強的一致性，需要依據式 (15)進行計算。

因此，高頻情況下，一定的誤差限內可認為

根據等效平面波混響級RL的定義，可以得到等效平面波混響級表達式為

本文結果能夠為連續波聲吶技術中混響級的計算及實驗提供參考。本文的思路也適用于連續波的界面混響分析，能夠想見，連續波的界面混響級也應符合振蕩收斂的規律，有待于進一步分析論證。此外，本文中表1的研究仍有待進一步完善，對其表現出的規律需作進一步的探究和解釋。

［1］劉伯勝，雷家煜.水聲學原理［M］.哈爾濱:哈爾濱工程大學出版社，2006.

［2］URICK R J.Principles of underwater sound［M］，3d edition.Mcgraw-Hill Book Company，New York，1983.

［3］同濟大學數學系.高等數學［M］.北京:高等教育出版社，2007.

［4］William J Palm III著.MATLAB 7基礎教程——面向工程應用［M］.黃開枝譯.北京:清華大學出版社，2007.

［5］何祚鏞，趙玉芳.聲學理論基礎［M］.北京:國防工業出版社，1981.

［6］宋兆基，徐流美.MATLAB 6.5在科學計算中的應用［M］.北京:清華大學出版社，2005.