穩健數字波束形成算法研究

丁 靜

(中國電子科技集團公司第五十四研究所，河北石家莊 050081)

0 引言

波束形成算法通過調整自適應加權，使得波束主瓣對準期望信號方向，零陷對準干擾信號方向，從而提高系統輸出信干噪比。但是當期望信號方向估計不夠精確或期望信號陣列響應與真實響應之間不匹配時，系統輸出性能將急劇下降。這就需要研究一些穩健的數字波束形成算法，它們對上述誤差的存在并不敏感。

近年來出現了許多穩健的數字波束形成算法。一類是基于DOA估計的穩健數字波束形成方法，主要有基于特征空間的算法、導數約束法、矢量旋轉法和對角加載技術;另一類是盲波束形成算法，其特點是不需要陣列校驗、波達方向和訓練序列等先驗知識，如恒模算法，它利用信號的恒模特性提取有用信號;基于高階累積量的方法利用信號的高階統計特性分離出有用信號;相比之下，基于信號周期平穩特性的算法有許多優點，因為絕大多數通信信號是周期平穩的，且很容易找出它們之間不同的周期頻率。

1 穩健的Capon波束形成算法研究

1.1 標準Capon波束形成算法

在介紹穩健的Capon波束形成算法之前，先給出標準Capon波束形成算法的公式。要求的Capon加權向量w0是一個M×1的列向量，它是下面線性約束二次方程式的解:

上式的解是:

這時波束w0指向的期望信號的功率由公式Rw0來近似計算。將式(2)代入功率的計算公式，得到期望信號的近似功率:

1.2 穩健Capon波束形成算法

文獻［1］中給出的Capon波束形成算法公式如下:

穩健的Capon波束形成算法是在式(4)的基礎上增加了一個不確定橢球體約束條件(其中，和C是給出的):

這樣，穩健的Capon波束形成算法就可以歸納為:

如果a確定了，令a0=a，代入式(3)，就可以得到期望信號的近似功率，它是式(6)的解。這樣，式(6)就可以簡化成式(7):

因為任何一個正定矩陣C都可以分解成如下形式:

對于ε＞0時:

這樣式(7)就變成:

另外，在求解式(7)時，不失一般性，可以令C=εI，這樣式(7)就變成一個球體約束條件下的二次最優化問題:

可以看出，對式(7)從不同的角度進行推導，得到的式(11)和式(12)形式是完全一樣的。

為了去掉式(12)的a=0這個解，假設:

當式(13)成立時，顯然式(12)的解出現在約束集合的邊界上，這樣式(12)就變成一個等式約束的二次最優化問題:

式(14)可以用拉格朗日乘子法來計算:

式中，λ≥0。以a為自變量，對式(15)求導，可以得到:

進而得到一最優解:

將式(17)代入式(14)中的約束等式，得到下式:

式(17)確定的最優解中λ的值就是式(18)的解:

對R進行特征值分解:

γ1≥γ2≥…≥γM是R的特征值。

令z=U*，zm表示z的第m個元素。這樣式(18)就可以寫為:

從式(18)和式(20)就可以得到λ的解:

從式(22)可以看出，這種穩健的Capon波束形成算法的加權向量和對角加載波束形成算法的加權向量形式一致，只是在求對角加載因子λ時的出發點不同、求法不同，不過本質上它也是一類對角加載方法。

2 仿真

仿真以雙平行線陣(24陣元)為例進行。定義方位角θ為信號到達方向在陣列平面上的投影與水平橫軸的夾角，仰角φ為到達方向與陣列平面的夾角。2個信號為:

fc=600 MHz，入射角分別為 θ1= θ2=0°，φ1=60°，φ2=40°。當存在指向誤差時，分別利用穩健的Capon數字波束形成算法和盲信號分離算法中的快速定點ICA算法進行仿真，下面是指向誤差Δ=3°仿真波束圖。

圖1 穩健Capon數字波束形成算法

圖2 快速定點ICA算法

從上面仿真可以看出，當存在指向誤差時，這里利用的2種穩健波束形成算法其波束指向和零點指向均指向了實際方向，并沒有受到指向誤差的影響，穩健性好，所以對目標信號的偵收效果好。

3 結束語

首先提出當存在陣列誤差或測向誤差時，常規數字波束形成算法的性能會急劇下降，接著列舉了一些主要的穩健數字波束形成算法，然后對穩健Capon數字波束形成算法進行了介紹，其中進行了詳細的公式推導，最后給出了仿真和結論。仿真結果表明，這種算法應用于窄帶信號的偵收可以獲得較好的分離效果，并且穩健性好，工程應用前景好，從而為實現通信對抗中的多信號偵收提供了有效途徑。

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