實數連續性九個等價命題的證明

羅　敬，段　汕

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實數連續性九個等價命題的證明

羅敬，段汕*

（中南民族學院 數學與統計學院，湖北 武漢 430074）

敘述九種形式的實數連續性定理，并采用閉循環回路方式證明這九種常見實數連續性定理彼此等價。

實數連續性；等價命題；證明

1　實數連續性命題描述

1.1單調有界定理

1.2閉區間套定理

1.3有限覆蓋定理

1.4 界點定理

1.5 確界定理

1.6 實數連續性定理

1.7 聚點定理

定理1.7.1（聚點定理）：實數集的任一無限有界子集至少有一個聚點。

1.8 致密性定理

定理1.8.1(致密性定理):有界數列必含有收斂子列。

1.9 柯西收斂準則

2 實數連續性九個命題的等價性

前面我們敘述了實數連續性的九個命題，現在我們將證明實數連續性的九個命題中任意兩個等價。為了節省篇幅，我們用閉循環回路的方式證明。這些證明有助于加深對實數連續性的九個命題的理解及其等價性的理解，有助于掌握用這些定理證明分析中一些重要定理的思想方法。這是《數學分析》中很重要的基本功。下面我們按圖1所示順序證明它們等價：

圖1 九個命題的閉循環回路

2.1 單調有界定理→閉區間套定理

存在極限。設

2.2 間區間套定理→有限覆蓋定理

2.3 有限覆蓋定理→界點定理

故綜上可得：假設不成立。

2.4 界點定理→確界定理

2.5 確界定理→實數連續性定理

2.6 實數連續性定理→聚點定理

2.7 聚點定理→致密性定理

2.8 致密性定理→柯西收斂準則

證明: （1）柯西收斂準則的必要性

（2）證柯西收斂準則的充分性

2.9 柯西收斂準則→單調有界定理

至此，實數連續性九個定理的等價性得到了證明。這九個定理的數學形式雖然不同，但都描述了實數集的連續性。這樣，我們在解決有關實數連續性的問題時，表述的方式就更多樣化了。正如在任何語言中，同一思想可以用多種表達方法一樣，同一個數學事實可以有不同的表達方式和不同的證明方法。而在證明過程中，我們不只檢驗了定理，而且對定理有了更深的理解。隨著對數學的深入學習，數學呈現給我們的是一個更加精彩的世界，其中的發現更是無窮無盡的。應用這九個命題，我們可以證明閉區間上連續函數的零值定理、最值定理、一致連續性定理等,從而實數連續性的等價定理有更加廣泛的應用空間。

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[6] 鄧東皋，尹小玲. 數學分析簡明教程[M]. 北京: 高等教育出版社，1999.9-13.

The Proof on the Equivalence among Nine Theorems of the Continuance of Real Number

LUO Jing, DUAN Shan

(School of Mathematics and Statistics ,South-Central University for Nationalities , Wuhan Hubei 430074 ,China)

This paper illustrates nine theorems of the continuance of real number,and proves the nine theorems are equivalent in the analytic way of closed circle.

Continuance of Real Number; Equivalent Preposition; Proof

O171

A

1009－5160(2012)03－0089－05

*通訊作者：段汕（1962-），女，教授，研究方向：圖像處理和模式識別.