滑動(dòng)窗口MF－DFA方法在大壩變形監(jiān)測中的運(yùn)用

王松林 邵晨飛 朱 蓓 張超波

（1.河海大學(xué) 水利水電學(xué)院，南京 210098；2.河海大學(xué) 水文水資源與水利工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210098；3.河海大學(xué) 水資源高效利用與工程安全國家工程研究中心，南京 210098）

分形現(xiàn)象［1］普遍存在于大自然中，如海岸線的形狀、食品價(jià)格、水庫蓄水量等.2002年Kantelhardt等人提出了多重分形消除趨勢波動(dòng)分析方法（Mltifractal detrended fluctuation analysis，MF－DFA），該方法已經(jīng)被成功應(yīng)用在與時(shí)間序列有關(guān)的諸多領(lǐng)域，它的優(yōu)點(diǎn)在于可以系統(tǒng)地濾去各階的趨勢成分，可以檢測含有噪聲且疊加有多項(xiàng)式趨勢信號(hào)的相關(guān)性，容易被人們理解和使用，適合于非平穩(wěn)時(shí)間序列中的冪律相關(guān)分析，有效避免了將系統(tǒng)的短期相關(guān)或非平穩(wěn)性虛假檢測為長期相關(guān).

由于影響大壩變形的因素往往是復(fù)雜的，僅用單一分形來分析大壩結(jié)構(gòu)的工作形態(tài)顯然欠妥，在此將包括單一分形在內(nèi)的多重分形對大壩變形進(jìn)行分析，可以提供更多的信息為大壩的安全運(yùn)行服務(wù).本文運(yùn)用MF－DFA對大壩變形規(guī)律進(jìn)行研究，可從復(fù)雜的大壩位變性態(tài)中發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的、有序的、確定的規(guī)律，更全面地解釋在各種荷載作用下大壩的復(fù)雜變形特征［2］.由于MF－DFA方法沒有考慮因數(shù)據(jù)分割點(diǎn)的不連續(xù)性所產(chǎn)生的影響，本文引入滑動(dòng)窗口技術(shù)加以改進(jìn)，提升了傳統(tǒng)MF－DFA方法的精度.

1 滑動(dòng)窗口MF－DFA的基本原理

多重分形消除趨勢波動(dòng)分析方法［3－6］具體步驟如下：

步驟1：對給定的時(shí)間序列x（t）求對于均值的累積離差，產(chǎn)生一個(gè)新序列y（i）：

步驟2：將變換得到的新序列y（i）分割成長度為s的m 個(gè)互不重疊的等長子區(qū)間，其中m＝int（n／s），即對n／s進(jìn)行取整處理.由于n未必能整除s，為了避免不丟失尾部信息，對新序列y（i）逆序進(jìn)行同樣分割，使得序列y（i）全部數(shù)據(jù)均進(jìn)入計(jì)算，最終得到2m個(gè)等長子區(qū)間.

步驟3：通過最小二乘法擬合每個(gè)子區(qū)間v（v＝1，2，…，2m）上的局部趨勢函數(shù)yv（i），其中yv（i）為第v個(gè)子區(qū)間對s個(gè)觀察值進(jìn)行k階多項(xiàng)式擬合，得到擬合方程：

式中，αk（k＝1，2，…）為最小二乘擬合的系數(shù).

步驟4：通過消除每一子區(qū)間v中的趨勢得到相應(yīng)殘差序列，計(jì)算2m個(gè)子區(qū)間的殘差序列平方和H（q）：

當(dāng)v＝1，2，…，m 時(shí)，

步驟5：對于2m個(gè)子區(qū)間計(jì)算F2（v，s）的均值，得到整個(gè)序列的q階波動(dòng)函數(shù)Fq（s）：

當(dāng)q＝2時(shí)，多重分形MF－DFA就退化成單一分形；當(dāng)q＜2時(shí)，F(xiàn)q（s）的大小取決于小波動(dòng)的均方誤差F2（v，s）的大小；當(dāng)q＞2時(shí)，F(xiàn)q（s）的大小取決于大波動(dòng)的均方誤差F2（v，s）的大小.因此，不同的q取值就描述了不同程度的波動(dòng)對Fq（s）的影響程度.

步驟6：對于大量的s和給定的階數(shù)q，通過在雙對數(shù)圖中觀察兩者之間的關(guān)系，有Fq（s）＝AsH（q），兩邊取對數(shù)可得：lnFq（s）＝lnA＋H（q）ln（s），采用最小二乘法進(jìn)行線性回歸，得到斜率估計(jì)值即為標(biāo)度指數(shù)H（q），反映出原始數(shù)據(jù)序列與時(shí)間序列的相關(guān)性.

為了使得Fq（s）有較高的穩(wěn)定性，通常s取值為6≤s＜int（n／6）.當(dāng)采用不同q值計(jì)算出來的H（q）值大小與階數(shù)q無關(guān)時(shí)，則表明序列x（t）是單一分形過程；當(dāng)計(jì)算出來的H（q）值大小隨階數(shù)q變化，則序列x（t）是一個(gè)多重分形過程.

滑動(dòng)窗口MF－DFA法的主要思路是對傳統(tǒng)MFDFA的區(qū)間分割方法采用滑動(dòng)窗口技術(shù)進(jìn)行改進(jìn)，有效解決了因傳統(tǒng)MF－DFA法在多項(xiàng)式擬合時(shí)分割數(shù)據(jù)連接處的不連續(xù)性產(chǎn)生的新偽波動(dòng)誤差，也充分避免在數(shù)據(jù)分割時(shí)丟失尾部數(shù)據(jù)信息，或?qū)?shù)據(jù)逆序處理時(shí)因打亂原始數(shù)據(jù)序列導(dǎo)致的H（q）誤差.

滑動(dòng)窗口MF－DFA法具體步驟改變僅表現(xiàn)在：步驟2中將傳統(tǒng)MF－DFA法中互不重疊的區(qū)間分割法用滑動(dòng)窗口的連續(xù)重疊區(qū)間分割來代替；步驟五中波動(dòng)函數(shù)Fq（s）的相應(yīng)改變，即

2 工程實(shí)例分析

以某混凝土重力壩某測點(diǎn)的變形監(jiān)測數(shù)據(jù)為例（如圖1所示），探討滑動(dòng)窗口 MF－DFA法在大壩變形中的應(yīng)用，并與傳統(tǒng)MF－DFA法進(jìn)行比較分析.

具體操作方法如下：取s＝8，9，…，100，q＝－10，－9，k＝1，2，3，4.分別用傳統(tǒng) MF－DFA法和滑動(dòng)窗口MF－DFA法計(jì)算大壩某測點(diǎn)的標(biāo)度指數(shù)H（q）值.計(jì)算結(jié)果見表1，H（q）對q的散點(diǎn)圖如圖2所示.

圖1 大壩變形輪廓曲線

從表1的實(shí)例分析結(jié)果和圖2可得到如下結(jié)論：

1）對于給定的k階擬合多項(xiàng)式，無論是傳統(tǒng)MFDFA法還是滑動(dòng)窗口MF－DFA法，大壩變形原始監(jiān)測序列的H（q）值均不為常數(shù)，而且呈現(xiàn)的非線性關(guān)系極為相似，均表現(xiàn)為q的遞減函數(shù)，因此可以認(rèn)為大壩變形隨時(shí)間序列均具有不同程度的多重分形特征，用單一分形無法進(jìn)行完整描述.

表1 3種MF－DFA計(jì)算方法下的大壩變形序列H（q）值表

圖2 3種MF－DFA計(jì)算方法下的H（q）散點(diǎn)圖

2）對于任意q值和k階多項(xiàng)式擬合，構(gòu)造2m個(gè)子區(qū)間的多重分形特征比直接構(gòu)造m個(gè)子區(qū)間的多重分形特征強(qiáng)，而采用滑動(dòng)窗口 MF－DFA比傳統(tǒng)MF－DFA法所得的H（q）值普遍都大，說明大壩變形序列表現(xiàn)出顯著的相關(guān)性且具有多重分形特征.

如果采用m個(gè)子區(qū)間分割法進(jìn)行多重分析，由于存在丟失尾部數(shù)據(jù)信息的缺陷，會(huì)對分析結(jié)果產(chǎn)生嚴(yán)重誤差，從實(shí)例可得H（q）值較另兩種方法均要偏小；如果采用2m個(gè)子區(qū)間分割法分析，雖然在一定程度上解決了數(shù)據(jù)未充分利用的缺陷，但進(jìn)行逆序分割時(shí)打亂原始數(shù)據(jù)的順序會(huì)減弱多重分形波動(dòng)分析的結(jié)果，不可避免地將影響分析的客觀性；而滑動(dòng)窗口MF－DFA法能充分避免上述兩種情況存在的分析誤差，較前兩種分析方法具有較高的精度和可信性.

3）當(dāng)q值一定時(shí)，H（q）值隨著k值的增加而增加.顯而易見，對每一個(gè)區(qū)間上的s個(gè)觀察值進(jìn)行k階多項(xiàng)式的目的在于從累加序列y（i）中消除k階趨勢波動(dòng)，同時(shí)在原始序列中消除k－1階趨勢波動(dòng)，因擬合精度提高從而使得H（q）值的增加.因此，時(shí)間序列的波動(dòng)程度越大，使用不同階的 MF－DFA法對H（q）進(jìn)行估計(jì)的差異也就越大.

4）在k＝2的情況下，當(dāng)q＜0時(shí)滑動(dòng)窗口 MFDFA法分析的H（q）值偏小，當(dāng)q＞0時(shí)滑動(dòng)窗口MF－DFA法分析的 H（q）值偏大，則說明 H（q）值更快趨于更穩(wěn)定的數(shù)值，相比k＝1和k＝3兩種情況，2階多項(xiàng)式擬合能較穩(wěn)定地反映大壩結(jié)構(gòu)形態(tài).

下面采用2階多項(xiàng)式擬合的滑動(dòng)窗口MF－DFA法對大壩變形數(shù)據(jù)序列進(jìn)行分析，作出lnFq（s）～ln（s）的函數(shù)關(guān)系圖（如圖3所示），應(yīng)用最小二乘線性回歸擬合該散點(diǎn)數(shù)據(jù)，其斜率即為所得的標(biāo)度指數(shù)H（q）.在q＝2情況下，H（q）＝0.345，此時(shí)相關(guān)系數(shù)R＝0.975.這說明大壩該測點(diǎn)整體數(shù)據(jù)系列存在較強(qiáng)的長程相關(guān)性，即大壩在一段時(shí)間內(nèi)由于荷載變化（如水位的上升或下降，溫度的升高或降低等）向上游移動(dòng)后，在下一段時(shí)間內(nèi)因同種荷載效應(yīng)則傾向于向下游移動(dòng)，它比隨機(jī)序列有更強(qiáng)的突變性和易變性，同時(shí)在輪廓曲線上表現(xiàn)為多“噪聲”.

圖3 lnFq（s）－ln（s）的關(guān)系圖

3 結(jié) 語

1）采用滑動(dòng)窗口MF－DFA法對大壩結(jié)構(gòu)性態(tài)進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)大壩變形呈現(xiàn)明顯的多重分形特征，解決了傳統(tǒng)MF－DFA法存在的缺陷，提高了分析結(jié)果的精度.

2）為了準(zhǔn)確地估計(jì)H（q），觀察值s取值要適中，太小沒有實(shí)際意義，太大則分割區(qū)間太少，統(tǒng)計(jì)結(jié)果上不可靠；權(quán)重因子q的選擇對結(jié)果影響重大，目前未形成統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，上述取值人為因素較大，有待進(jìn)一步研究.

3）通過分析比較3種方法，選用2階多項(xiàng)式擬合的滑動(dòng)窗口MF－DFA法對變形數(shù)據(jù)序列是否具有相關(guān)性進(jìn)行分析，從而斷定大壩將來的變化趨勢，對后續(xù)建模預(yù)測的數(shù)據(jù)選擇具有一定的指導(dǎo)作用，也是本文以后的研究方向之一.

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