基于運動微分方程特征值的轉子－軸承系統(tǒng)失穩(wěn)可靠性分析*

趙群超 張義民

(東北大學機械工程與自動化學院，遼寧沈陽 110819)

近些年，國內和國際上，許多大型、高速的旋轉機組都發(fā)生了或大或小的油膜失穩(wěn)事故，并造成了重大的經濟損失。轉子－軸承系統(tǒng)的失穩(wěn)問題關系到企業(yè)生產的安全、規(guī)模、能力，以及對應的效益。對于一個企業(yè)而言，生產中的穩(wěn)定性是實現高效生產的重中之重。多年來，許多學者和研究機構對轉子－軸承系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行了一系列的研究和探索［1－4］。文獻［1］對線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義為:如果一個系統(tǒng)受到擾動后，系統(tǒng)最終可以返回原先的平衡狀態(tài)，則這一系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的;如果受擾后，系統(tǒng)無限偏離原先的平衡狀態(tài)，則這一平衡狀態(tài)時不穩(wěn)定的。對于轉子－軸承系統(tǒng)，其在運轉過程當中會發(fā)生動力失穩(wěn)，這一不穩(wěn)定性問題的原因主要是因為整個系統(tǒng)本身存在著負阻尼和交叉剛度。基于這個最基本的原因，本文從轉子－軸承系統(tǒng)的運動方程入手，以單圓盤對稱支撐的轉子－軸承系統(tǒng)為例，來分析系統(tǒng)失穩(wěn)的一系列可靠性問題。

1 運動方程及其特征值與系統(tǒng)失穩(wěn)的關系

具有n個自由度的轉子－軸承系統(tǒng)(線性系統(tǒng))的運動方程可用式(1)所示的二階矩陣微分方程表示

式中:M、D、K分別是系統(tǒng)的質量、阻尼和剛度矩陣(維數為n);q、F為位移矢量和激振力矢量。

研究穩(wěn)定性主要是針對系統(tǒng)的自由振動方程，它是式(1)的齊次方程，即

對于式(2)，經過計算可得到其特征值ν，ν的形式為μ±jω。當μ＜0，即所有特征值都具有負實部，此時，式(2)描述的自由振動隨著時間的增加振幅不斷衰減并最終衰減至零，此時的振動是穩(wěn)定的衰減振動，如圖1a所示。當μ＞0，即特征值(至少有一個)的實部大于零，此時，式(2)描述的自由振動隨著時間的增加振幅不斷增大并最終為無窮大，此時的振動稱為不穩(wěn)定振動，如圖1b所示。當μ=0，即特征值的實部等于零(不為零的實部要小于零)，此時，式(2)描述的自由振動處于一種平衡狀態(tài)，稱為穩(wěn)定性界限狀態(tài)，如圖1c所示。

2 穩(wěn)定性裕度評估

設計一臺旋轉機械的時候，為了使得其具有良好的穩(wěn)定性能，僅僅保證其工作在穩(wěn)定的區(qū)域是不夠的。在此基礎之上還要保證它具有足夠的穩(wěn)定性裕度，用來抵抗外界的各種干擾。圖1d所示的自由振動與圖1a相似，都具有負的特征值實部，但是情況d的實部比情況a的實部要小，所以情況d的自由振動衰減得更快，有更強的能力來抵抗外界的干擾。對于這兩種情況，需要尋找一個客觀的判據來評定它們的優(yōu)劣性。一般的，設計人員采用以下3個判據來評估系統(tǒng)的穩(wěn)定性裕度:(1)對數衰減率判據;(2)失穩(wěn)轉速判據;(3)減穩(wěn)因素界限值判據［1，3］。雖然應用以上的這些判據，可以判定出哪一組設計參數更為合理，但是這種判定只能粗略地對系統(tǒng)的穩(wěn)定性裕度進行評估。為了更精確地、定量地、明了地做出穩(wěn)定性裕度評估，以下我們根據可靠性分析的方法，合理地給出了解決辦法。

2.1 系統(tǒng)狀態(tài)函數的選擇

因為系統(tǒng)穩(wěn)定需要所有特征值的實部都為負值，所以也可以將整個系統(tǒng)的穩(wěn)定問題看成是多個子系統(tǒng)串聯(lián)形式的可靠性問題，每一個特征值都為負值時，系統(tǒng)才能穩(wěn)定運行。從可靠概率的意義可知，系統(tǒng)的可靠度計算式為:

式中:pr為可靠度計算符號;P()為求概率函數;f(νi)為νi的分布密度函數;n為特征值個數。

但是，對于以特征值來度量系統(tǒng)穩(wěn)定性的問題，按照串聯(lián)形式計算的結果趨于保守。對于單圓盤對稱轉子來說，特征值ν跟通常是兩對共軛復根［6］，而且一般情況下，在整個工作頻率范圍之內，2個特征值實部不發(fā)生交叉，也就是說2個特征值實部有恒定的大小關系。所以，在不失反應度量準確性的情況下，將系統(tǒng)狀態(tài)函數g(X)定義為:

式中:real()為對實數取實部函數;g(X)＜0為失穩(wěn)狀態(tài);g(X)=0為臨界狀態(tài);g(X)＞0為穩(wěn)定狀態(tài)。

此時:pr=P(g(X)＞0)

2.2 穩(wěn)定性裕度的可靠性分析

根據二階矩陣微分方程的求解方法，求解方程(1)的特征值的問題可歸結為求下式特征值問題，

式中:ν為特征值;{ψ}為對應的特征向量。

在工程生產中，加工的誤差，安裝的誤差，以及工況的改變等等這些不可避免的實際情形使得決定系統(tǒng)穩(wěn)定的各個參數會發(fā)生或大或小的變化。實踐證明，這些變化一般不會遠離額定參數數值。所以，可將這些變化看成是關于額定參數的一種攝動行為。

根據可靠性分析的隨機攝動理論［5］，g(X)為系統(tǒng)隨機參數向量X的函數。X和g(X)可表示為

式中，ε為一小參數，下標為d的部分表示隨機參數中的確定部分，下標為p的部分表示隨機參數中的隨機部分，且具有零均值。顯然要求隨機部分要比確定部分小得多。

對式(4)、(5)取數學期望，有

同理，根據Kronecker代數理論，隨機參數X和狀態(tài)函數g(X)的方差可分別表示為

根據向量值和矩陣值函數的Taylor展開式，當隨機參數的隨機部分比其確定部分小得多時，可以把gp(X)在E(X)=附近展開到一階為止，有

把式(10)代入式(9)，有

其中，g(X)為系統(tǒng)狀態(tài)函數，X為系統(tǒng)隨機參數向量，為隨機參數向量X的均值。

可靠性指標定義為

設基本隨機變量向量X中的所有元素服從正態(tài)分布，用失穩(wěn)點處狀態(tài)表面的切平面近似地模擬極限狀態(tài)表面，可以獲得可靠度的一階估計量

3 數值算例

某由動壓向心滑動軸承對稱支撐的單圓盤轉子－軸承系統(tǒng)，其部分參數的期望值已知(如表1)，其中各變量及動特性指標的變異系數統(tǒng)一按0.05進行計算。試進行轉子－軸承系統(tǒng)失穩(wěn)的可靠性分析。

表1 各變量期望值

根據給出的已知參數估算出系統(tǒng)的失穩(wěn)轉速在3 000～4 000 r/min之間，估算方法見參考文獻［6］。之后在文獻［7］上查得在如上條件下，轉速在2 781 r/min與4 218 r/min時滑動軸承動特性系數值，如表2所示。在編程時以插值的方法計算出每個計算點的動特性系數值，從而計算出相對準確的fi(X)。

經過編程運算，得到系統(tǒng)的特征值ν具有兩對共軛復根，形式為a1，2±b1，2j;a3，4±b3，4j。將實部a提取出來列成圖2a所示。在2 718～4 218 r/min轉速之間，a1，2的絕對值相對于a3，4大很多，圖 2a 顯示的實部隨轉速的走向對比不明顯，所以將高轉速下過大的實部省去，將2 718～3 548 r/min轉速之間實部值繪制的出來，如圖 2b 所示。實部a1，2，a3，4起始隨轉速的增加都是在減小，在3 300 r/min左右，a1，2達到最小，然后增大，突破零線后迅速增大。

根據之前設定的系統(tǒng)狀態(tài)函數，這里把a1，2作為主要研究對象，繪制其隨轉速增大的曲線如圖3所示。特征值實部a1，2在工作轉速達到3 470 r/min左右達到零值，此時，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。

圖4列出了系統(tǒng)在4 218 r/min轉速以下關于失穩(wěn)的可靠度曲線。系統(tǒng)在3 420～3 480 r/min轉速附近可靠度迅速下降，直至完全失穩(wěn)狀態(tài)。這與圖3所示在零點附近特征值實部相對于轉速增加急速增大非常吻合。說明了所得到的可靠度曲線，真實地反應了系統(tǒng)實際的工作狀態(tài)。綜上分析，在工程上，設定工作轉速的時候，對于上述的轉子系統(tǒng)要將工作轉速設定在3 420 r/min以下，最佳工作轉速應在3 300 r/min附近。這樣設計的工作轉速會在很大程度上提高系統(tǒng)在抵抗失穩(wěn)上的裕度，增強系統(tǒng)的可靠性。

表2 滑動軸承的動特性系數值

4 結語

經上分析，以轉子－軸承系統(tǒng)運動微分方程的特征值來度量系統(tǒng)的穩(wěn)定性是可行的。這種方法可以準確地指出系統(tǒng)失穩(wěn)的臨界狀態(tài)的位置，指導工程中設定的工作參數可以避開系統(tǒng)失穩(wěn)區(qū)域。這種方法還可以明確地給出系統(tǒng)失穩(wěn)裕度的最大點，給工程人員在設計時提供合理的參考數據。

［1］徐龍祥.高速旋轉機械軸系動力學設計［M］.北京:國防工業(yè)出版社，1994.

［2］Lund JW.Stability and damped critical speeds of a flexible rotor in fluid－ film bearing［J］.Journal of Engineering for Industry，Trans.of ASME，1974，96(2):509 －517.

［3］張直明，虞烈.滑動軸承－轉子系統(tǒng)阻尼值與穩(wěn)定裕度的相互關系［J］.上海工業(yè)大學學報，1985(4):11 －20.

［4］徐祥龍，朱均.大型發(fā)電機組穩(wěn)定性研究［J］.機械工程學報，1992，28(3):6－11.

［5］張義民.汽車零部件可靠性設計［M］.北京:北京理工大學出版社，2000.

［6］張直明，張言羊，謝友柏，等.滑動軸承的流體潤滑理論［M］.北京:高等教育出版社，1986.

［7］機械設計手冊編委會.機械設計手冊單行本(滑動軸承)［M］.北京:機械工業(yè)出版社，2007.