一種濾除衰減直流分量的改進傅氏算法

姜 坤， 曹龍漢， 涂漢江

（1.重慶郵電大學，重慶400065；2.重慶迅馳電氣有限公司，重慶400039）

電力系統微機保護裝置因靈活性大、保護性能好、運行維護方便以及可靠性高等特點而應用廣泛。保護裝置通過獲取一次設備的電壓、電流及功率等實時信息及時響應運行過程中狀態的變化，迅速準確地做出保護反應，消除或降低故障引起的嚴重后果。因此，快速并準確地獲取信息對電力系統微機保護起著至關重要的作用。

傳統的交流采樣方法主要是全波傅氏算法和半波傅氏算法。然而，在系統發生故障時，故障暫態過程中系統頻率可能會發生偏移，且信息含有諧波分量和衰減直流分量。由于衰減直流分量是典型的非周期分量，其頻譜為連續譜，從而與基頻分量頻譜混淆，在計算信號的基頻分量時產生較大的誤差［1］。

已有大量文獻對傅氏算法進行改進，以消除衰減直流分量的影響。其中基于全波傅氏算法的有：文獻［2］通過增加兩個采樣點，計算并消去直流衰減分量值；文獻［3］僅增加一個采樣點，通過兩次非遞歸消去直流衰減分量的影響；文獻［4］不需要增加采樣點且在未知衰減時間常數的情況下就可全完濾除衰減直流分量，但是每基頻周期的采樣點數必須為4的正整數倍；文獻［5］通過分析衰減直流分量在傅里葉快速算法結果的變化規律，對計算結果進行修正，從而消除衰減直流分量。文獻［6］通過傅里葉算法及其改進算法對故障波形進行濾波處理，但是該算法只能消除直流分量和整次諧波分量，沒有考慮非整次諧波的影響。基于半波傅氏算法的有：文獻［7］基于信號中偶次諧波得到衰減直流量傅氏變換下實虛部的關系，通過建立方程組能濾除衰減直流量和特定次偶次諧波；文獻［8］利用半波傅氏算法計算基波實部，用Mann－Morrison算法計算基波虛部。該算法的數據窗為半周波加一個采樣點，算法易于實現，適用于繼電保護實時動作；文獻［9］利用窄帶濾波算法對低頻和高次諧波有良好的抑制作用，將基于窄帶通濾波與半波傅里葉算法相結合，其濾波效果明顯優于半波傅里葉算法。

本文在前人的研究基礎上，旨在通過提出一種新的濾除衰減直流分量的方法，改進傅里葉變換。通過算例仿真，驗證了本方法的準確性。

1 全波傅氏算法的基本原理及直流分量帶來的誤差

在電力系統發生故障時，故障暫態信號包含：基波分量、諧波分量、具有不確定幅值和衰減率的衰減直流分量。

故障信號模型表示如下：

式中，an＝Ansinφn；bn＝Ancosφn；A0為衰減直流分量的初始幅值；τ為直流衰減分量的時間常數。

對于n次諧波的傅里葉變換如下：

式中，T為基頻分量的周期。

經采樣后，連續量變為離散量，積分變為求離散和

式中，N為一個周期T中的采樣數；k為從故障開始時的采樣點序號。

離散情況下有

可求得n次諧波的幅值和初相角為

若采樣信號中不含衰減直流分量，則求得的幅值和相角都是真實值，以上即為推導過程。但是實際中采樣信號存在衰減直流分量，利用全波傅氏算法進行分析計算，則會產生較大的誤差，具體分析如下：

式中，a和b為信號中基波和各次諧波分量通過全波傅氏算法得到的實部分量和虛部分量，即理想值；δa和δb為衰減直流分量通過全波傅氏算法得到的實際值與理想值之間的偏差，即誤差值。為了提高全波傅氏算法在信號含衰減直流分量的情況下仍能具有良好的計算精度，就必須對全波傅氏算法進行改進，即消除δa和δb的影響。

2 全波傅氏算法的改進

由上述推導可以看出，傅氏算法的基礎是假定輸入信號是周期函數，可以分解為整倍數頻率的分量之和，其中包括恒定的直流分量。但是實際電力系統中，輸入的非周期分量包含的是衰減直流分量。當截取一個數據窗的寬度，利用衰減直流分量作為輸入信號，對其進行頻譜分析，得到的是連續的，包含基頻分量的頻譜。如果進一步做周期延拓，其也可分解為傅氏級數，同樣包含有基頻、倍頻以及直流分量。目前，微機保護中的電氣信號檢測算法大多也是針對周期信號設計的，它們會因衰減非周期分量的存在而產生相當大的誤差。

2.1 衰減直流分量產生的原因與時間常數的求解

2.1.1 衰減直流分量產生的原因

電力系統中衰減直流分量產生的原因在于，系統中存在電磁慣性的電抗與電容。假設不考慮電容且系統在t＝0s出現短路故障為對稱短路，則任意一相的電流瞬時值應該滿足以下微分方程：

這是一個一階常系數、線性非齊次常微分方程，其解的形式為

2.1.2 時間常數的求解

故障信號的模型為

式中，I0e－t／τ為衰減直流信號為基波及各次諧波信號。

對系統I（t）同步采樣，每周期采樣點數為N，采樣周期即為基波周期，20ms。將式（13）離散化后可得

根據三角函數的正交性，則有

引入N＋1這個采樣點，則同理可知

2.2 算法的改進原理

目前，針對減小衰減直流分量的方法主要包括兩種：①研究不受非周期分量影響或影響較小的算法，比如最小二乘法以及小波變換法等；② 對算法進行校正。本文利用對交流采樣序列值進行修正，以求剔除其中所含的非周期分量，原理如下：

一個工頻周波內采樣N＋1個點，采樣序列為i（0），i（1），i（2），…，i（N－1），i（N），…，則以下 等式成立：

則

這樣，消除了衰減直流分量后的新的采樣值為

3 算例分析與驗證

為驗證本算法對衰減直流分量的有效濾除能力，分析比較全波傅氏算法和本文算法對下述信號進行諧波提取的結果。設暫態電流信號為

仿真時，設一個周期的采樣點數N＝32，改變衰減時間常數τ，圖1～圖3分別顯示了仿真后本文算法和全波傅氏算法的曲線圖，其中圖1為基波、圖2為三次諧波、圖3為五次諧波，其中紅色線代表本文算法，藍色線代表全波傅氏算法，表1記錄了各次諧波的仿真計算結果。

圖1 基波仿真分析

圖2 三次諧波仿真分析

圖3 五次諧波仿真分析

表1 各次諧波的仿真計算結果

從仿真結果來看，傳統的全波傅氏算法不能濾除衰減直流分量，而本文算法能較好的過濾掉衰減直流分量，但也還是有誤差的，誤差來源e－t／τ用泰勒式子展開，只取前兩項的值。

4 結 語

本文提出的對交流采樣序列值進行修正的改進傅氏算法，能有效抑制非周期直流衰減分量的影響。該方法與以往濾除非周期分量的其他方法相比，其特點為不針對某一特定算法，而對所有算法均適用。在微機保護中，采用本方法對采樣值進行修正，可顯著減小非周期分量對計算的影響，并且實現簡單，計算量較小。通過仿真計算證實了本文方法的可行性和有效性。

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［3］馬 磊，王增平，徐 巖.微機繼電保護中濾除衰減直流分量的算法研究［J］.繼電器，2005，33（17）：11－14.

［4］齊先軍，丁 明，溫陽東.一種完全濾除衰減直流分量的短數據窗改進全波傅氏算法［J］.繼電器，2005，33（17）：14－17.

［5］焦彥軍，于江濤.衰減直流分量對傅立葉變換快速算法的影響及其消除辦法［J］.華北電力大學學報，2006，33（2）：37－39.

［6］周美蘭，王一磊，王 健.改進傅氏算法在輸電線路微機保護中的應用研究［J］.黑龍江大學學報：自然科學版，2007，27（6）：783－787.

［7］鄒智慧，李嘯驄，羅曉芬，等.有效濾除偶次諧波的改進半波傅立葉算法［J］.電力系統保護與控制，2009，37（20）：65－68.

［8］Li Yongli，Chen Chaoying，He Jiali.A fast algorithm based on half cycle fourier algorithm for protective relaying［J］.Power system technology，1996，20（1）：52－55.

［9］李 斌，李永麗，賀家李.一種提取基波分量的高精度快速 濾 波 算 法［J］.電 力 系統 自 動 化，2006，30（10）：39－43.