一類推廣的基于進入過程的多險種風險模型

錢曉濤

（福建農林大學金山學院 信息與機電工程系，福建 福州350002）

一類推廣的基于進入過程的多險種風險模型

錢曉濤

（福建農林大學金山學院 信息與機電工程系，福建 福州350002）

對索賠到達過程為Poisson過程的單險種風險模型進行推廣，討論了帶干擾的基于進入過程且索賠到達過程是復合Poisson－Geometric過程的多險種風險模型，并應用鞅方法得到了該模型滿足的Lundberg不等式和破產概率的表達式．

進入過程；破產概率；鞅；復合Poisson－Geometric過程

在經典風險模型中，保險公司的索賠到達過程以及索賠額的大小都與保費的收取沒有任何關系，而實際上是受保單到達過程的影響．基于此，文獻［1］提出了基于進入過程的風險模型，在該模型中，保險公司只在購買保單顧客的到達時刻向客戶收取保費，同時索賠的客戶也是從購買保單的客戶中選擇；但由于該模型的盈余過程不具有獨立增量性，因此使其研究具有相當大的難度．為此，文獻［2－5］對此模型進行了簡化與推廣，其中文獻［2］考慮的是保險公司只提供一種類型的保單且到達過程服從Poisson過程的模型．但實際上，保險公司提供的大都是多種類型的保單，而且Poisson過程的期望和方差是相等的，因此文獻［2］的模型在實踐中難以實現．出于上述考慮，本文在文獻［2］提出的基于進入過程的風險模型的基礎上，考慮由保險公司提供多種類型的保單且保單的到達過程是復合Poisson－Geometric過程時的風險模型，以此為保險公司更好的經營提供理論參考．

1 主要結果及其證明

1．1 模型的建立

考慮風險模型：

其中：u為初始資本；Nl（t）為到t時刻為止第l種類型的保單到達數，Nl（t）～PG（λlt，ρl）；f（Cli）是保險公司對有效期為Cli的第l種類型的保單所收取的保費；f（·）是1個嚴格單調遞增函數；Yli表示第l種類型保單的第i個投保者的索賠額；Tli為購買第l種類型保單的第i個投保者從購買保單到投保事件發生時為止所經過的時間；示性函數I｛Tli≤Cli｝表示只有投保事件發生在保單有效期內時，索賠才能是到t時刻為止發生的總索賠額；B（t）為標準的Brown運動，表示隨機因素的干擾作用，其中σ＞0為擾動系數．上述復合Poisson－Geometric過程PG （λlt，ρl）的定義如下：

定義1［6］稱母函數為｝的隨機變量所服從的分布是復合Poisson－Geometric分布，真正發生記為PG （λ，ρ），其中λ＞0，0≤ρ＜1．

定義2［6］稱｛N（t），t≥0｝是參數為λ和ρ的復合Poisson－Geometric過程，如果λ＞0，0≤ρ＜1，且滿足：①N（0）＝0；②｛N（t），t≥0｝具有平穩獨立增量；③ 對t＞0，有N（t）～PG（λt，ρ），而且

從上述定義不難看出，復合Poisson－Geometric過程的期望與方差并不相等，所以考慮賠付為復合Poisson－Geometric過程的風險模型比賠付為Poisson過程的風險模型更符合實際情況．

假定1 設C，Y，K是3個非負的隨機變量，設｛Cli，i≥1｝是與C同分布的1組獨立同分布的非負隨機變量；｛Yli，i≥1｝是與Y同分布的1組獨立同分布的非負隨機變量，記E［Y］＝μ；｛Tli，i≥1｝是與K同分布的1組獨立同分布的非負隨機變量，并記其共同的分布函數為F（·），并且｛Nl（t），t≥0｝，｛Yli，i≥1｝，｛Cli，i≥1｝和｛B（t），t≥0｝相互獨立．

假定2 為保證保險公司穩定經營，假定單位時間內的保費收入應大于單位時間內的理賠支出，即要求E（S（t））＞0．因為

與經典風險模型的概念一樣，記E［f（C）］＝（1＋θ）μE［F（C）］，其中的θ（θ＞0）稱為相對安全負荷系數．另外，定義T＝inf｛t∶t≥0，U（t）＜0｝表示破產發生時刻，ψ（u）＝P（T＜ ∞｜U（0）＝u）表示初始盈余為u時的破產發生概率．

1．2 調節系數的確定

定理1 對于盈余過程｛S（t），t≥0｝，存在函數s（r）使得E［e－rS（t）］＝ets（r）．

定理2 令s（r）＝0，此方程在r＞0內有唯一正解R，并稱R為調節系數．

1．3 破產概率

定義3 對于盈余過程｛S（t），t≥0｝，記Ft＝σ｛S（v）；v≤t｝．

引理1［7］T是Ft的停時．

定理3 ｛M（t），Ft；t≥0｝是鞅，其中M（t）＝e－RU（t），R為調節系數．

證明 ?0≤v≤t，由盈余過程｛S（t），t≥0｝的平穩獨立增量性及定理1和2可得

所以｛M（t），Ft；t≥0｝是鞅．

證明 對于固定的時刻t0＜ ∞，t0∧T是有界停時，由鞅的有界停時定理知e－Ru＝M（0）＝E［M（t0∧T）］．由全期望公式和上式可得

當t0＜T時，U（t0）≥0，從而e－RU（t0）≤1．在（2）式兩端令t0→ ∞，由單調收斂定理和Lebesgue控制收斂定理可得e－Ru＝E［M（T）｜T＜ ∞］P｛T＜∞｝＋E［M（∞）｜T＝∞］P｛T＝∞｝，由推廣的大數定律可知從而有又因為U（T）＜0，則有e－RU（T）＞1，由上式即得 Ψ（u）≤e－Ru，稱之為Lundberg不等式．

［1］ LI Z H，ZHU J X，CHEN F．Study of a risk model based on the entrance processes［J］．Statistic ＆Probability Letters，2005，72（1）：1－10．

［2］ 唐加山，勵源芝．基于進入過程帶擾動風險模型的破產概率［J］．南京郵電大學學報，2009，21（6）：825－827．

［3］ Paulsen J．Sharp conditions for certain ruin in a risk process with stochastic return on investments［J］．Stochastic Process Appl，1998，75：135－148．

［4］ Xiao H M，Tang J S．Ruin probability of one kind of entrance processes based on insurance risk model［R］．Nanjing：Nanjing University of Posts and Telecommunications，2007．

［5］ 黎鎖平，劉琪．投資和干擾具有隨機保費的離散風險模型［J］．高校應用數學學報，2009，24（1）：9－14．

［6］ 毛澤春，劉錦萼．索賠次數為復合Poisson－Geometric過程的風險模型及破產概率［J］．應用數學學報，2005，28（3）：419－428．

［7］ Grandell J．Aspects of risk theory［M］．New York：Springer－Verlag，1991．

A generalized multi－risk model based on the entrance processes

QIAN Xiao－tao
（Department of Information and Electrical Engineering，Jinshan College of Fujian Agriculture and Forest University，Fuzhou 350002，China）

A risk model which the compensation arrives to the Poisson process is generalized．We consider the multi－risk model based on the entrance processes and perturbed by diffusion，that is，the arrival of policies is compound Poisson－Geometric processes．Applying the martingale theory，we get the Lundberg inequality and the explicit expression for the ruin probability．

entrance processes；ruin probability；martingale；compound Poisson－Geometric process

O211．6

A

1004－4353（2012）02－0112－03

2012－03－09

錢曉濤（1984—），男，助教，研究方向為隨機過程．