新的矩陣特征值擾動上界

孔祥強

（菏澤學院 數學系，山東 菏澤274000）

新的矩陣特征值擾動上界

孔祥強

（菏澤學院 數學系，山東 菏澤274000）

通過引入正規性偏離度的概念，利用矩陣的分解和矩陣的計算技巧，得到了全新的任意矩陣特征值的擾動上界，所得結果推廣了Wielandt－Hoffman定理．

矩陣；特征值；擾動上界

矩陣特征值的擾動理論是研究矩陣在某種特定的結構下，其特征值的擾動上界問題．目前，國內外許多學者對此進行了研究，例如：Hoffman和Wielandt［1］研究了原始矩陣A及其擾動矩陣B均為Hermite矩陣時的擾動上界；呂烔興和宋永忠等［2－4］研究了A和B均為可對稱化矩陣時的擾動上界，并且通過逐步減弱對矩陣A和B的限制，得到了A和B均為任意矩陣時的擾動界［5］．但上述結果應用起來比較繁瑣，計算量較大，并且這些定理的取得都不是基于正規性偏離度的概念上．本文在引入矩陣正規性偏離度概念的基礎上，利用矩陣的Schur三角分解和奇異值分解，得到了與正規性偏離度有關的任意矩陣特征值的絕對擾動上界，所得結果推廣了Wielandt－Hoffman定理．

LBL組學員主要以面授課程為主，帶教教師對EUS基本結構、操作手法、局部解剖、典型圖例等內容進行統籌備課，按照難度循序漸進地設計課程進度，由淺入深地講解EUS操作手法、EUS下胰腺及膽道正常結構及疾病典型圖例(胰腺癌、胰腺囊腫、胰腺囊液腺瘤、膽道疾病等)，之后按照學員理解程度繼續介紹EUS下治療步驟。

攻擊性較強的兒童往往缺乏解決交往問題的策略，不善于與他人建立良好的關系，不善于與他人進行交往。這就需要向兒童提供一些正常交往的策略，通過榜樣的示范、解釋和說明，幫助他們掌握減少人際沖突的策略，從而改善人際關系，減少攻擊性行為。

1 相關定義和引理

定義1［6］（正規矩陣）若矩陣A∈Cn×n，滿足AHA＝AAH，則A為正規矩陣；若滿足AH＝A－1，則A為酉陣．

定義2［7］（Shur三角分解）設A∈Cn×n，則必存在酉陣U，使得UHAU＝T，其中T為上三角矩陣，λ1，λ2，…，λn為A的n個特征值，UH為矩陣U的共軛轉置矩陣．當適當選取U時，可使T的對角線元素按任意指定順序排列．T稱為A的Shur上三角形式．

下面給出任意矩陣特征值的另1個Wielandt－Hoffman型擾動定理．

定義3［8］（正規性偏離度）設A∈Cn×n，ν是Cn×n上的任意一種范數．令三角形中的嚴格上三角矩陣｝，則稱為A對于范數ν的正規性偏離度．

證明 由Schur三角分解定理知，對任意的A，B∈Cn×n存在酉陣P，Q使A＝PH（Λ1＋M1）P，B＝QH（Λ2＋M2）Q，其中Λ1＝diag（λ1，…，λn），Λ2＝diag（μ1，…，μn），M1和M2均為嚴格上三角陣．

特別地，A對于范數‖·‖F的正規性偏離度記為ΔF（A），對于范數的正規性偏離度記為為正規矩陣的充要條件是ΔF（A）＝0．

定義5［9］（矩陣條件數）設或2，或∞等）稱為矩陣A的條件數．A的譜條件數（即取υ＝2）記為K（A）．

引理1［10］設A，B均為正規陣，X∈Cn×n為Hermite陣且X為正定陣，則

其中σ1（A）和σn（A）分別為矩陣A的最大和最小奇異值．

引理3［12］設A

2 主要結果及其證明

但是，如果認真審視這些關于工匠精神的研究，不難發現，必須細致分析“工匠精神”的內涵，精確把握工匠精神的要求，才有助于進一步闡發高職業教育如何培育“工匠精神”。“雖然目前學者對‘工匠精神’尚無標準權威的定義，但對其已達成基本一致的共識：工匠精神是對所從事的工作追求精益求精、勇于創新、一絲不茍的精神理念。”[4]143在筆者看來，工匠精神應該從如下四個層次做進一步的闡發：

定義4［8］（矩陣的F－范數）設A∈Cm×n，令則稱它為矩陣A的F－范數．

上式左邊乘Q，右邊乘PH，得Q（B－A）PH＝Λ2QPH＋M2QPH－QPHΛ1－QPHM1，即Λ2QPH－QPHΛ1＝Q（B－A）PH－M2QPH＋QPHM1．對QPH進行奇異值分解QPH＝UΣVH，Σ＝diag（σ1，…，σn），σ1≥ … ≥σn＞0，U和V為酉陣，Λ2UΣVH－UΣVHΛ1＝Q（B－A）PH－M2UΣVH＋UΣVHM1，將該式左邊乘UH，右邊乘V，得UHΛ2UΣ－ΣVHΛ1V＝UHQ（B－A）PHV－UHM2UΣ＋ΣVHM1V．令D＝UHΛ2U，C＝VHΛ1V，則D，C分別酉相似于Λ2，Λ1，故D，C均為正規陣，且D，C的特征值分別等于B，A的特征值，即DΣ－ΣC＝UHQ（B－A）PHV－UHM2UΣ＋ΣVHM1V．

19歲的楊梅是北京一所大學的大二學生。去年9月14日中午12點，剛回到家的楊梅接到一個電話，“我是電話局的，你家電話報修了，我馬上到。”家里電話不好好的嗎？楊梅正嘀咕呢，門鈴響了。楊梅打開門把來人引到了電話機旁，準備去給師傅倒水。就在她轉身的瞬間，她的右肩脖頸處挨了重重一拳。楊梅身子晃了晃，慢慢倒下。

引理2［11］設n階方陣A＝（aij）的Schur三角分解為A＝UHTU，其中U為酉陣，T＝（tij）為上三角陣，記T＝Λ＋M，其中Λ＝diag（λi）為對角陣，M＝（mij）為嚴格上三角陣，則

證明 由Schur三角分解定理有A＝PH（Λ1＋M1）P，B＝QH（Λ2＋M2）Q，其中P，Q為酉陣，Λ1＝diag（λ1，…，λn），Λ2＝diag（μ1，…，μn），M1，M2均為嚴格上三角陣．

而此山此谷又可謂野花野谷王國。大別山特有的古杜鵑花群，春季在山坡上隨處可見，宛若大片彩云，開得如癡如醉。野果有板栗、核桃、櫻桃、獼猴桃、杏、棗、山楂、羅漢果、桑葚、松茸……野滋味與尋常水果不可同日而語。

這學期我們學了角的度量，在做練習題時我碰到了一道判斷題：用放大鏡去看一個角，這個角的度數會變大嗎？我腦子里首先想到放大鏡看東西會放大，那角應該也會放大。

由以上分析可知，熱力型氮氧化合物和快速型氮氧化合物只占澳斯麥特爐煙氣中的氮氧化合物的小部分，燃料型氮氧化合物是澳斯麥特爐煙氣中的氮氧化合物的主要來源。

AX－XB＝PH（Λ1＋M1）PX－XQH（Λ2＋M2）Q＝PHΛ1PX＋PHM1PX－XQHΛ2Q－XQHM2Q，上式左邊乘P，右邊乘QH得Λ1PXQH＋M1PXQH－PXQHΛ2－PXQHM2＝P（AX－XB）QH．對PXQH進行奇異值分解PXQH＝UΣVH＝Udiag（σ1，…，σn）VH，σ1≥ … ≥σn＞0，U，V為酉陣，Λ1UΣVH＋M1UΣVH－UΣVHΛ2－UΣVHM2＝P（AX－XB）QH，上式左邊乘UH，右邊乘V有UHΛ1UΣ－ΣVHΛ2V＝UHP（AX－XB）QHV－UHM1UΣ＋ΣVHM2V．令D＝UHΛ1U，C＝VHΛ2V，則D，C分別酉相似于Λ1，Λ2，故D，C均為正規陣，且D，C的特征值分別等于A，B的特征值，即DΣ－ΣC＝UHP（AX－XB）QHV－UHM1UΣ＋ΣVHM2V．

注 取X為單位矩陣I，定理2變成定理1，該結果同樣推廣了Wielandt－Hoffman定理．

3 結束語

本文通過2個定理，給出了任意矩陣特征值新的絕對擾動上界，并且所得結論為Wielandt－Hoffman定理的進一步推廣．文獻［13］和［14］討論了矩陣特征值的乘法擾動，能否得到含有正規性偏離度的乘法絕對擾動界，是我們將進一步研究的課題．

［1］ Hoffman A J，Wieandt H W．The variation of the spectrum of a normal matrix［J］．Duke Math J，1953，20（1）：37－39．

［2］ 呂烔興．可對稱化矩陣特征值的擾動［J］．南京航空航天大學學報，1994，26（3）：384－388．

［3］ 呂烔興．可對稱化矩陣特征值的擾動界［J］．高等學校計算數學學報，1994，16（2）：177－185．

［4］ 宋永忠．一類矩陣特征值的擾動［J］．純粹數學與應用數學，1992，8（2）：106－108．

［5］ 呂烔興．正規矩陣的任意擾動［J］．高等學校計算數學學報，2000，22（1）：85－89．

［6］ 蔣正新，施國梁．矩陣理論及其應用［M］．北京：北京航空學院出版社，1988：95－99．

［7］ 熊洪允，曾紹標，毛云英，等．應用數學基礎［M］．天津：天津大學出版社，1994：72－74．

［8］ 孫繼廣．矩陣擾動分析［M］．北京：科學出版社，2001：10－226．

［9］ 易大義，陳道琦．數值分析引論［M］．浙江：浙江大學出版社，1998：280－285．

［10］ Bhatia R，Kittanch F，Li ren－cang．Some inequalities for commutators and application to spectral variatioⅡ［J］．Linear and Multilinear Algebra，1997，43：207－219．

［11］ 談雪媛．關于方陣特征值擾動的兩個注記［J］．南京師范大學學報：自然科學版，2002，25（4）：17－19．

［12］ Henrici P．Bounds for iterates，inverses，special variation and fields of values of non－normal matrices［J］．Numer Math，1962，4（1）：24－40．

［13］ Li R C．Relative perturbation theory：Ⅰeigenvalue and singular value variations［J］．SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications，1998，19（4）：956－982．

［14］ Li R C．Relative perturbation theory：Ⅲmore bounds on eigenvalue variation［J］．Linear Algebra Applications，1996，266：337－345．

New upper bounds of perturbation for eigenvalues of arbitrary matrices

KONG Xiang－qiang
（Department of Mathematics，Heze University，Heze 274000，China）

Using the decomposition of matrix，we obtained the new upper bounds of perturbation for eigenvalues of arbitrary matrices which extend the Wielandt－Hoffman theorem．

matrix；eigenvalue；upper bound of perturbation

O241．6

A

1004－4353（2012）02－0118－04

2011－10－19 作者簡介：孔祥強（1983—），男，助教，研究方向為應用數學．

山東省統計局重點課題項目（KT11048）；山東省教育科學“十二五”規劃重點課題項目（2011GG049）