數(shù)學思想方法在數(shù)學教學中的應用

曾廣銀

廣州市花都區(qū)經(jīng)濟貿易職業(yè)技術學校

數(shù)學思想方法在數(shù)學教學中的應用

曾廣銀

廣州市花都區(qū)經(jīng)濟貿易職業(yè)技術學校

《九年義務教育全日制初級中學數(shù)學教學大綱》把數(shù)學思想、方法作為基礎知識的重要組成部分，新課標明確提出這個要求，旨在引導學生去把握數(shù)學知識結構的核心和靈魂，其重要意義顯而易見，這不僅是大綱體現(xiàn)義務教育性質的重要表現(xiàn)，也是對學生實施創(chuàng)新教育、培訓創(chuàng)新思維的重要保證。數(shù)學思想和方法是數(shù)學知識的精髓，又是知識轉化為能力的橋梁。因此，中職學校的數(shù)學課必須也要與時共進，大力開展數(shù)學思想方法在數(shù)學教學中的應用。

學生；思想方法；創(chuàng)新教育；應用

所謂數(shù)學思想是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系反映到人的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結果，它是對數(shù)學事實與數(shù)學理論的本質認識，直接支配著數(shù)學的實踐活動。

所謂數(shù)學方法是以數(shù)學為工具進行科學研究的方法，即用數(shù)學語言表達事物的狀態(tài)、關系和過程，經(jīng)過推導、運算和分析，以形成解釋、判斷和預言的方法，是數(shù)學思想的具體反映。

數(shù)學思想方法是人們通過教學活動，對數(shù)學知識所形成的一個總的看法或觀點。它對人們學習和應用數(shù)學知識解決問題的過程中的思維活動，起著指導和調控的作用。突出數(shù)學思想方法教學，是當代數(shù)學教育的必然要求也是數(shù)學素質教育的重要體現(xiàn)。

在數(shù)學課程教學過程中，圍繞如何更好地體現(xiàn)數(shù)學思想方法開展，關注不同學生的數(shù)學學習需求，有彈性地、多層次地滲透數(shù)學思想方法，以利于學生不斷加深對數(shù)學思想方法的理解，進而在數(shù)學思考、思維能力方面得到提高和發(fā)展。

因此，在數(shù)學教學中應該把數(shù)學思想和方法的培養(yǎng)與數(shù)學知識的教學融為一體。這不僅教給學生數(shù)學知識，即概念、性質、定理、法則、公式等結果，而且更重要的是如何得到這些知識的過程。這個過程的實質就是發(fā)現(xiàn)數(shù)學和運用數(shù)學，是比數(shù)學知識本身更重要、更為寶貴的數(shù)學思想和方法。

1 數(shù)學思想方法在教學中的應用

1.1 整體思想：整體的思想方法就是考慮數(shù)學問題時不是著眼于它的局部特征，而是把注意力和著眼點放在問題的整體結構上，通過對其全面深刻的觀察，從宏觀上、整體上認識問題的實質，把一些彼此獨立，但實質上又相互緊密聯(lián)系著的量作為整體來處理的思想方法，如在實數(shù)運算中，常把數(shù)字與前面的“+，-”符號看成一個整體進行處理；又如用字母表示數(shù)就充分體現(xiàn)了整體思想，即一個字母不僅代表一個數(shù)，而且能代表一系列的數(shù)或由許多字母構成的式子等；再如整式運算中往往可以把某一個式子看作一個整體來處理，如：(x-y-z2)=[x-(y+z)]2視(y+z)為一個整體展開等等，這對培養(yǎng)學生良好的思維品質，提高他們解題效率是一個極好的思維方法。

1.2 分類討論思想：分類是通過比較數(shù)學對象本質屬性的相同點和差異點，然后根據(jù)某一種屬性將數(shù)學對象區(qū)分為不同種類的思想方法。從教材的知識內容來看，無論是客觀上或是微觀上都滲透著分類的思想。通過分類可以化整為零，變一般為特殊，變模糊為清晰，變抽象為具體，使思維過程條理清楚，目的明確。例如，在同一個圓中，一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半。為了驗證這個猜想，教學時常將圓對折，使折痕經(jīng)過圓心和圓周角的頂點，這時可能出現(xiàn)三種情況：

（1）折痕是圓周角的一條邊

（2）折痕在圓周角的內部

（3）折痕在圓周角的外部

驗證時，要分三種情形來說明，這里實際上也體現(xiàn)了分類討論的思想方法。分類是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的重要手段。因此，在教學中，如果對學過的知識恰當?shù)剡M行分類，就可以使大量紛繁的知識具有條理性。

1.3 化歸與轉化思想：在教學研究中，使一種對象在一定條件下轉化為另一種研究對象的數(shù)學思想稱為轉化思想。體現(xiàn)在數(shù)學解題中，就是將原問題進行變形，使之轉化為我們所熟悉的或已解決的或易于解決的問題，就這一點來說，解題過程就是不斷轉化的過程。化歸與轉化是中學數(shù)學學習中最常見最重要的思想方法。如在實數(shù)的運算、解方程(組)、多邊形的內角和、幾何證明等等的教學中都有讓學生對化歸思想方法的認識，學生有意無意接收到了化歸思想。化歸的手段是多種多樣的，其最終目的是將未知的問題轉化為已知問題來解。實現(xiàn)新問題向舊問題的轉化、復雜問題向簡單問題轉化、未知問題向已知問題轉化、抽象問題向具體問題轉化等。如在加法的基礎上，利用相反數(shù)的概念，化歸出減法法則，使加、減法統(tǒng)一起來，得到了代數(shù)和的概念；在乘法的基礎上，利用倒數(shù)的概念，化歸出除法法則，使互逆的兩種運算得到統(tǒng)一。化歸思想是滲透在學習新知識和運用新知識解決問題的過程中的，方程（組）的解法中，就貫穿了由“一般化”向“特殊化”轉化的思想方法。

1.4 數(shù)形結合思想：數(shù)學是研究現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關系的科學，因而數(shù)學研究總是圍繞著數(shù)與形進行的。華羅庚曾說：“‘數(shù)’缺‘形’時少直覺，‘形’缺‘數(shù)’時難入微。”通過深入的觀察、聯(lián)想，由形思數(shù)，由數(shù)想形，利用圖形的直觀誘發(fā)直覺。“數(shù)”就是方程、函數(shù)、不等式及表達式，代數(shù)中的一切內容；“形”就是圖形、圖像、曲線等。數(shù)形結合的本質是數(shù)量關系決定了幾何圖形的性質，幾何圖形的性質反映了數(shù)量關系。數(shù)形結合就是抓住數(shù)與形之間的內在聯(lián)系，以“形”直觀地表達數(shù)，以“數(shù)”精確地研究形。例如，在《有理數(shù)》章節(jié)中的“數(shù)軸”讓我們初步感受和認識到“數(shù)形結合”的思想方法，利用數(shù)軸可以表示有理數(shù)，進而可以比較有理數(shù)的大小，利用數(shù)軸使我們對絕對值和相反數(shù)有更深刻的感受和理解。在《數(shù)的運算》中講平方差公式時，可用面積間的關系構造它的直觀模型，通過“數(shù)”與“式”之間的對比來驗證、理解，從而掌握公式。在《從面積到乘法公式》章節(jié)中，從引導學生探索圖形的面積中抽象出乘法法則，形象、直觀，學生也易于接受。因此，在數(shù)學教學中，由數(shù)想形，以形助數(shù)的數(shù)形結合思想，具有可以使問題直觀呈現(xiàn)的優(yōu)點，有利于加深學生對知識的識記和理解。抓住數(shù)形結合思想教學，不僅能夠提高學生數(shù)形轉化能力，還可以提高學生遷移思維能力。

1.5 方程思想：方程思想是指把表示變量間關系的解析式看作方程，通過解方程或對方程的研究，使問題得到解決的思想。解應用題是方程思想應用的最突出體現(xiàn)。例如，甲乙兩人同時從A城出發(fā)，步行12千米到B城，甲比乙每小時少走1千米，結果比乙遲到1小時，求甲、乙兩人的速度。

這道題若通過構建方程求解， 也不難求出答案。

略解：設甲每小時走x千米，則乙每小時走（x＋1）千米，

經(jīng)檢驗x1= 3 ，x2=－4都是原方程的根，

但x2=－4不合題意，舍去；

由x = 3得x+1=4；于是甲每小時走3千米，乙每小時走4千米。

1.6 函數(shù)思想：函數(shù)思想是指用運動、變化、聯(lián)系、對應的觀點，分析數(shù)學與實際生活中的數(shù)量關系，通過函數(shù)這種數(shù)量關系表示出來并加以研究，從而使問題獲得解決的思想。函數(shù)思想方法，是指用函數(shù)的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。它有別于像前面所述的幾種數(shù)學思想方法，它是內容與思想方法的二位一體。初中代數(shù)中的正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)雖然安排在初三學習，但函數(shù)思想從初一就已經(jīng)開始滲透。這就要求教師在教學上要有意識、有計劃、有目的地進行函數(shù)思想方法的培養(yǎng)。

1.7 “符號”思想：研究數(shù)學問題時，為使問題簡明，常常要引進數(shù)學符號，這種引進數(shù)學符號來簡化問題的思想就是符號思想，初中代數(shù)中用字母表示數(shù)的思想就屬于符號思想。利用它可以提高我們的記憶力，起到化繁為簡的目的，在數(shù)學教學中貫穿這個思想，可以培養(yǎng)和提高學生的思維能力。例如，如x2-2xy+y2=(x-y)2表示完全平方公式，它的意義是：兩數(shù)的平方和加上或減去這兩個數(shù)的積的兩倍等于這兩個數(shù)的差的平方。

1.8 “類比”思想：根據(jù)兩種事物在某些特征上的相似，做出它們在其他特征上也可能有的相似和不同之處的結論，這種解決問題的思想方法就叫做“類比”，被稱為最有創(chuàng)造性的一種思想方法。例如在《走進圖形世界》章節(jié)中通過類比的思想方法，把圓柱與圓錐、棱柱與棱錐、圓柱與棱柱、圓錐與棱錐加以比較，讓學生能夠更清晰的認識這幾種幾何體的特征。

還有一些思想為統(tǒng)計思想、集合思想和數(shù)學建模思想等等。

2 數(shù)學思想方法實施的途徑

2.1 在創(chuàng)設數(shù)學情境中體現(xiàn)數(shù)學思想方法

新課標理念是：以“生活數(shù)學”、“活動思考”為主線開展課程內容，注重創(chuàng)設問題情境，引導學生在活動中思考、探索，主動獲取數(shù)學知識。情境中的實際問題是反映數(shù)學思想方法的基礎。通過創(chuàng)設情境，在知識的引入和發(fā)生過程中貫徹數(shù)學思想方法，形成數(shù)學知識、方法和思想的一體化。例如：分類討論的思想方法時常出現(xiàn)在問題情境中。在教學中要引導學生對情境問題中所討論的對象進行合理分類（分類時要做到不重復、不遺漏、標準統(tǒng)一、分層不越級），并歸納總結。教師要幫助學生掌握好分類的方法原則，形成分類思想。

2.2 在思維活動過程中揭示數(shù)學思想方法

數(shù)學教學中充分暴露思維過程。讓學生參與教學實踐活動揭示其中隱含的數(shù)學思維，才能有效地培養(yǎng)和發(fā)展學生的數(shù)學思想方法。如“多邊形內角和定理”的教學，運用類比、歸納、猜想等思想，發(fā)現(xiàn)多邊形內角和定理的結論。學會用化歸思想指導探索論證途徑等。

2.3 在教學過程中滲透數(shù)學思想方法

數(shù)學知識發(fā)生的過程也是其思想方法產(chǎn)生的過程。在此過程中，要向學生提供豐富的、典型的以及正確的直觀背景材料，創(chuàng)設使認知主體與客體之間激發(fā)作用的環(huán)境和條件，通過對知識發(fā)生過程的展示，使學生的思維和經(jīng)驗全部投入到接受問題、分析問題和感悟思想方法的挑戰(zhàn)之中，從而主動構建科學的認知結構，將數(shù)學思想方法與數(shù)學知識融匯成一體，最終形成獨立探索分析、解決問題的能力。例如：學生在學會用“分類”的思想方法，探索歸納出有理數(shù)的加法法則后，在探索有理數(shù)乘法法則時，就不難想到將各種“可能情況”進行合理的分類討論。

2.4 在解決問題方法的探索中激活數(shù)學思想方法

（1）注重解題思路的數(shù)學思想方法分析。如解分式方程 ，利用變形換元求解等。

（2）增強解題過程的數(shù)學思想方法指導。解題的思維過程都離不開數(shù)學思想的指導，可以說數(shù)學思想指導是開通解題途徑的金鑰匙。

（3）提倡解題以后的數(shù)學思想方法的反思。

2.5 在數(shù)學活動中體驗數(shù)學思想方法

初中新課標教材非常注重數(shù)學活動課的教學，教材在每一章節(jié)的后面都設計了相關內容的數(shù)學活動，這些活動都是學生很樂意參與的一些與生活緊密聯(lián)系的活動。學生的這種學習活動是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。在這些數(shù)學活動中也蘊含著一定的數(shù)學思想方法。可以讓學生在活動學會思考、探索，真正體驗數(shù)學思想方法。

3 數(shù)學思想方法在教學中的價值和意義

數(shù)學課程改革的基本思路包括“以反映未來社會對公民所必須的數(shù)學思想方法為主線選擇和安排教學內容”。饒漢昌等數(shù)學教育專家曾撰文指出“數(shù)學思想、方法是素質教育的重要內容”。張奠宙先生主持的數(shù)學教育高級研討班，制定了《數(shù)學素質教育設計（草案）》，此草案對數(shù)學素質有一個界定，包括數(shù)學知識觀念、創(chuàng)造能力、思維品質和科學觀念四個層面。而數(shù)學思想方法是落實這四個方面的重要內容。

3.1 數(shù)學思想方法的學習，有助于學生掌握和理解數(shù)學知識

美國心理學家布魯納指出：“懂得基本原理更容易理解。”因此，當學生掌握了一些數(shù)學思想方法，再去學習相關的數(shù)學知識，就具有足夠的穩(wěn)定性，有利于牢固地固定新學習的意義。

3.2 數(shù)學思想方法能夠培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力

社會日新月異的飛速發(fā)展，具有創(chuàng)新能力的高素質新型人才，已越來越成為社會的迫切需要。而作為素質型人才，不能只會簡單模仿，必須具備發(fā)明創(chuàng)造能力。掌握一定的思想方法，學會通過深入體會、思考，就能領悟其中的奧妙，培養(yǎng)人的創(chuàng)造能力，進而促進良好素質的培養(yǎng)。例如人們有了“分類”的思想，知道將超市的商品按不同的類別進行有條不紊的擺放，便于消費者的購買。有了“轉化”的思想，人們學會了在舉辦運動會時，給每一個運動員標上一個號碼，把運動員的姓名轉化為數(shù)據(jù)，給比賽的報道工作帶來了許多方便。

3.3 數(shù)學思想方法能培養(yǎng)學生的數(shù)學思維品質

很多學者都認為“數(shù)學思想、方法的教學能夠增進學生抽象思維，促進形象思維、直觀思維的敏捷性，有利于增強學生數(shù)學思維的靈活性，培養(yǎng)學生數(shù)學思維的開闊性，激發(fā)學生數(shù)學思維的獨創(chuàng)性。”這一觀點表明，重視數(shù)學思想、方法的教學是促進學生思維能力發(fā)展，使其形成良好的思維品質的素質教育的 重要內容。

3.4 數(shù)學思想方法有助于培養(yǎng)學生的科學觀念

數(shù)學思想、方法涉及面很廣，適當向學生介紹一些古今中外的數(shù)學思想、方法，不僅會開闊學生視野，而且有助于提高學生對數(shù)學的深入認識，激發(fā)學生的學習興趣和欲望，形成數(shù)學學習的內驅力。進而讓學生意識到數(shù)學不是各種各樣習題的堆積，而是蘊涵著深刻的哲理，這對學生形成科學觀念是大有益處的。例如有了“歸納、類比”思想，當人們在面臨各種社會機遇和挑戰(zhàn)時，能夠理智的、辨證的分析事情的“得”與“失”，樹立正確的科學人生觀。中職階段學生數(shù)學思想方法學習可使其提高思維水平，優(yōu)化思維品質，提高用數(shù)學知識解決實際問題的能力，真正懂得數(shù)學的價值，建立科學的數(shù)學觀念，并形成良好的基礎。

3.5 加強進行數(shù)學思想方法教學，使學習者極大地提高學習質量和數(shù)學能力，使其受益終生

學生學習了數(shù)學思想方法就有利于學習遷移，特別是原理和態(tài)度的遷移，從而可以極大地提高學習質量和數(shù)學能力.例如，學生學習了類比并對類比的思想方法有所認識時，在學習因式分解時，產(chǎn)生遷移，正確地辨認出數(shù)、式分解的異同點，從而真正理解因式分解。

綜上所述，數(shù)學思想方法在數(shù)學教學中的應用的過程中，結合《數(shù)學課程標準》和教學大綱，按照啟發(fā)、吸收、消化和發(fā)展的認識規(guī)律進行總體策劃，分階段、有步驟地貫徹實施。切忌生搬硬套，和盤托出，脫離實際等錯誤做法。教學設計上要有不斷完善和豐富數(shù)學思想方法的理念和觀點，在數(shù)學知識與數(shù)學思想方法之間建立有機的結合，形成完整的系統(tǒng)。

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10.3969/j.issn.1001-8972.2012.08.142

曾廣銀 男 37 本科 數(shù)學助理講師 13年，研究方向：數(shù)學。