無窮格子系統的新型周期行波解＊

花 杰， 沈自飛

(浙江師范大學數理與信息工程學院，浙江金華 321004)

無窮格子系統的新型周期行波解＊

花 杰， 沈自飛

(浙江師范大學數理與信息工程學院，浙江金華 321004)

研究了無窮格子系統

周期行波解的存在性.其中：q(n)=q(n，t)是第n個質點在t時刻的坐標;f表示質點的位勢函數;V表示相鄰2個質點間的相互作用函數.應用山路定理和環繞定理，獲得了該系統新型周期行波解的存在性定理.

無窮維哈密頓系統;行波;周期運動;山路定理;環繞定理

0 引言

考慮一維格子系統

式(1)中：q(n)=q(n，t)是第n個質點在t時刻的坐標;f表示質點的位勢函數;V表示相鄰2個質點間的相互作用函數，且 f，V∈C1(R).當 f≡0時，方程(1)即為著名的 Fermi-Pasta-Ulam(FPU)格子;當f(x)=K(1－cos x)時，方程(1)又稱為Frenkel-Kontorova模型.

方程(1)是一個無窮維哈密頓系統，其哈密頓函數為

Fermi等［1］首先對格子系統進行了研究，他們通過數值模擬的方法研究了有限維格子系統的質點運動.運用臨界點理論研究格子系統已成為當今的主流研究方法，第1個非常有意義的結果來自于Friesecke等［2］，他們在FPU格子系統上通過極小化動能的方法，證明了行波解的全局存在性.Smets等［3］運用一種不同于文獻［2］的方法獲得了速度確定的行波解.

FPU格子系統還包括振蕩鏈，這方面的主要結果見文獻［4-6］.格子系統的最新研究結果來自于Percy［7］，他通過臨界點理論證明了無窮格子系統非常值周期行波解的存在性，并得到了調和行波解的存在性.本文的目的是在與文獻［7］相類似的條件下，分別應用山路定理和環繞定理獲得格子系統(1)新型周期行波解的存在性定理;優化了文獻［7］中所得的周期行波解，使得行波解是非負的;且在參數ω＞0的情況下，同樣能得到非常值的周期行波解.

方程(1)行波解的形式為

式(2)中，c表示行波的速度.

引入算子A，定義為

將式(2)代入式(1)得到2階常微分方程

由變分理論知，方程(3)的解即為其對應變分泛函在相應空間的臨界點.而方程(3)對應的變分泛函為

其中，κ?R.當J滿足Palais-Smale緊性條件(即PS條件)時，通過山路定理或環繞定理可找到J的臨界點.

本文假設位勢函數f，V滿足以下條件：

且非二次部分h∈{g，w}滿足：

(A.1)h∈C1(R)，h(0)=h'(0)=0 且當 x→0 時，有 h(x)=o(x2);

(A.2)存在 x0＞0，θ＞2，使得當 h(x0) ＞0，x≥|x0|時，有0≤θh(x)≤xh'(x).

化簡條件(A.2)可知，存在 a0，a1＞0，θ＞2，有

(A.3)h(x)≥a0|x|θ－a1，x∈R.

現考慮

顯然，要使 δ(ω，α)非空，則需 ω≥0.令 δ0：R ×［0，∞)→［0，∞)，δ0(ω，α)：=inf δ(ω，α).

本文的主要結果是以下2個定理：

定理1在空間上，如果條件(A.0)，(A.1)，(A.2)成立，那么對任意的 T ＞0，c＞c0，方程(3)存在一個非負的周期行波解.

定理2在空間上，如果條件(A.0)，(A.1)，(A.3)成立，那么對任意的 T ＞0，c＞c0，方程(3)存在一個非常值的周期行波解.

1 預備知識

引理1［7］算子A為線性有界算子，將映射到∩，且滿足

式(4)中，

［η］代表η的整數部分.

引理2［3］算子 A：H1→L∞∩L2是線性有界算子，且

令I是一個緊區間，由Sobolev嵌入定理知，存在一個正常數c，使得

且H1(I)?C(I)，H1(I)?L2(I)是緊嵌入.為了證明定理1，需要下面的山路定理：

定理3［8］(山路定理) 設X是一Banach空間，φ是一C1泛函且滿足PS條件，假設存在e∈X，r＞0，使得‖e‖ ＞r且

令

其中

則b是φ的一個臨界點，且 b≥β.

山路定理的一種變形為：

定理4［9］在定理3的條件下，令P：X→X為一個連續映射，使得

還需要下面命題：

命題1［7］設h∈C1(R)，I是一個緊區間，定義泛函：H1(R) →R= ∫h(u)du，則∈C1且I其微分為(u)ξ=〈h'(u)，ξ〉L2(I)，?u，ξ∈H1(R).

命題 2［7］若 V，f滿足定理 1 的條件，則 J∈C1(，R)，且對所有的 u，ξ∈，有

且JT的臨界點即為方程(3)的經典解.

為了方便，將JT寫成

其中：BT(u，v)=容易驗證，在空間上，BT是雙線性的對稱有界泛函，因此u|→BT(u，u)是C1(事實上是C∞)的.注意到算子A在上是線性有界的，于是根據命題1，有GT，∈C1(，R).

注1通過 Fourier分析可知，當 α∈R，ω ＞0，c＞c0時，存在正常數 υ0，υ1(依賴于 α，ω，c)，使得

事實上，υ0和υ1是下述函數的下確界和上確界：

引理3在定理1的條件下，存在δ＞0，ρ＞0，當=ρ時，有 JT(u) ＞ δ.此外，存在 eT∈，使得＞ρ且JT(eT)≤0.

證明 由條件(A.1)知，對給定的 ε ＞0，存在 ρ＞0，使得|h(x)|≤εx2，|x|≤ρ.若≤ρ，則由式(4)得‖Au‖L∞≤ρ，且

選擇足夠小的ε，即知引理3的前半部分成立.

為了構造函數eT，首先選擇v∈PH1T，使得在［0，T］中v(t)不恒等于零，則由條件(A.3)得

由θ＞2知，當η→+∞ 時，有JT(ηv)→－∞.于是令eT=η0v，滿足JT(eT)≤0，便有＞ρ.引理3證畢.

引理4假設條件(A.0)，(A.1)，(A.2)成立，則當c＞c0時，泛函JT滿足PS條件.

證明 首先驗證JT的PS序列有界，然后證明此PS序列的緊性.

設 un∈是 JT的一個 PS序列，即存在 M ＞0，n0＞0，當 n≥n0時，有

由條件(A.2)和式(5)有

因此，υ0(θ－2)≤2θM.由于θ＞2，所以序列{un}在空間上是有界的.

由PS序列{un}的有界性知，在空間上存在一子序列，仍記為{un}，使得un?u，則由引理1知，在空間∩上有Aun?Au，且由Sobolev嵌入定理有

2 定理的證明

于是

又由條件(A.3)知位勢函數g(x)，V(x)在R上是不減的，因此

由定理4知，JT有一個非平凡的臨界點uT∈.事實上，uT是方程(3)的非負周期行波解.定理1證畢.

注2定理1所得的解有可能是常值函數，如果令ω=0，類似文獻［7］中所用的方法，在相似的條件下，就可以得到不是常值函數的非負解.

定理2的證明 下面運用環繞定理完成定理2的證明，即驗證泛函JT(u)具有環繞幾何性質，且滿足PS條件.

首先定義一個環繞結構，令

其中：

令 r＞ ρ＞0，z∈E⊥，使得‖z‖= ρ，定義

則

用QT表示泛函JT的二次部分，有

易知

于是

由定理2的條件和引理3知，對?u∈S和足夠小的ρ＞0，有JT(u)≥δ＞0.

下面證明在?M上有JT(u)≤0.事實上，當u∈?M時，如果‖u‖=r，λ≥0，那么由條件(A.3)和

式(5)知

因為r2=‖y+λz‖=‖y‖+ λ2ρ2，所以 λ2≤而在有限維空間上，所有范數都是等價的，因此存在常數 c0＞ 0，使得 ‖y+ λz‖Lθ≥ c0‖y+ λz‖=c0r.于是存在常數c1＞0，使得

由于θ＞2，所以當r充分大時，式(6)的右邊部分是負的，即JT(y+λz)≤0.當 u∈?M時，若‖u‖≤r，λ =0，則 u=y∈E，從而

由于θ＞2，選取適當大的ζ，有JT(u)≤0，所以泛函 JT具有環繞幾何性質.由引理4知，泛函JT滿足PS條件.令

其中

由環繞定理知，b是泛函JT的一個臨界值，且相對應的臨界點u∈M，于是當λ＞0時，即可得到非常值的周期行波解.定理2證畢.

［1］Fermi E.Collected papers［M］.Chicago：University of Chicago Press，1965：978.

［2］Friesecke G，Wattis J.Existence theorem for travelling waves on lattices［J］.Communications in Mathematical Physics，1994，161(2)：391-418.

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［4］Iooss G，Kirchgassner K.Travelling waves in a chain of coupled nonlinear oscillators［J］.Communications in Mathematical Physics，2000，211(2)：439-464.

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［9］Berestycki H，Cpuzzo-Dolcetta I，Nirenberg L.Variational methods for indefinite suplinear homegeneous elliptic problems［J］.Nonlinear Differential Equations and Applications，1995，2(4)：553-572.

New type periodic travelling wave solutions of the infinite lattice systems

HUA Jie，SHE Zifei

(College of Mathematics，Physics and Information Engineering，Zhejiang Normal University，Jinhua Zhejiang 321004，China)

It was focused on the infinite lattice systems

where q(n)=q(n，t)denoted the coordinate of n-th particle at time t，f a potential function and V the potential of interaction between n-th and(n－1)-th particles.The existence of new type periodic travelling wave solutions was established by mountain pass theorem and link theorem.

infinite dimensional Hamiltonian systems;travelling waves;periodic motion;mountain pass theorem;link theorem

O241.5

A

2012-03-25

國家自然科學基金資助項目(10971194)

花 杰(1985－)，男，江蘇淮安人，碩士研究生.研究方向：非線性泛函分析.

1001-5051(2012)03-0246-06

(責任編輯 陶立方)