函數連續的概念和極坐標下求面積時確定積分限教學淺見

李穎穎

（武漢職業技術學院 湖北 武漢 430074）

函數連續的概念和極坐標下求面積時確定積分限教學淺見

李穎穎

（武漢職業技術學院 湖北 武漢 430074）

介紹了關于函數連續的概念，并講述了在授課中如何運用觀察和分析圖像的方法掌握函數在某點連續的條件以及在極坐標系下求面積時怎樣確定積分限。

函數；連續概念；極坐標；積分限

在高等數學教學中，關于函數連續的概念和極坐標下求面積時如何確定積分限，常令學習者感到困惑。筆者根據多年的教學經驗，總結出函數在某x0點處連續條件的圖像解析方法，使學生能夠直觀地掌握函數連續的概念；又得出了極坐標中求面積時矢徑r為正值的結論，使學生在極坐標系中求面積時能夠簡捷地確定出定積分的積分限。此教學經驗使學習者在學習這兩部分內容時不再感到困難。下面分別予以介紹。

關于函數在某x0點處連續條件的圖像解析

圖1 函數連續的概念解析圖

關于在極坐標系中求面積時積分限的確定問題

在極坐標下用定積分求曲線所圍面積時，其難點在于如何準確確定出積分的上、下限。由于現行大學本科和?？频臄祵W教材對此問題的闡述較少，學生（尤其是高職的?？粕┰诮忸}時普遍都感到困惑。筆者對此介紹些經驗和體會。

在中學階段學習極坐標方程時，矢徑r的取值是可正可負的。但在求一個極坐標方程確定的曲線所圍成的面積時，我們無需過多考慮這個面積的形狀，只要始終將極坐標方程中矢徑r的長度值，確定是不小于0的，然后就可直接利用極坐標方程定出積分的上、下限。

例如，在極坐標下用定積分求“心形線”所圍成的面積時，首先要定出積分的上、下限，如果把矢徑r看做是負值的，則由 “心形線”的極坐標方程r=a（1－cosθ）（a＞0）將得出1－cosθ＜0，即cosθ＞1，這結果顯然是錯誤的，如此就無法得出θ的取值區間。但如果把矢徑r看做是非負值的，則由方程得出 1－cosθ≥0，即cosθ≤1，于是可得0≤θ≤2π，這樣就確定出了積分的上限為2π，下限為 0。上例中將矢徑r視為非負值的做法是具有一般性的。該做法在極坐標系中求面積時能夠幫助我們簡捷地確定出定積分的上、下限。

盡管現行的數學教材都沒有明確指出矢徑r的正、負，但在求一個極坐標方程確定的曲線所圍成的面積時，我們可以把r當做非負值來看待。

對于求解由兩曲線所圍公共部分面積的問題時，我們首先需對包圍著被求面積的兩曲線的圖像有一個大致的了解。這通?？捎妹椟c法將兩曲線畫出 ，然后聯立兩曲線的極坐標方程，求出兩曲線的交點坐標，再結合兩曲線的圖像得出積分的上下限。

例1：求由圓r=a與“心臟線”r=a（1＋cosθ）所圍重疊部分的面積（a＞0）。

解：列表（表略）作簡圖。取a=1畫簡圖2。

圖2

例2：求曲線r=acosθ與r=a（cosθ＋sinθ）所圍重疊部分的面積（a＞0）。

解：列表（表略）作簡圖。取a=1畫簡圖3。

圖3

結合曲線的圖像可得兩曲線所圍公共部分面積s的積分為：

圖4

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G712

A

1672-5727（2012）05-0115-02

李穎穎（1955—）男，武漢職業技術學院副教授，研究方向為高等數學教學。