具有SM-基代數(shù)的右GROEBNER基理論

趙志琴

(中山大學(xué)新華學(xué)院經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易系，廣東廣州 510520)

具有SM-基代數(shù)的右GROEBNER基理論

趙志琴

(中山大學(xué)新華學(xué)院經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易系，廣東廣州 510520)

討論了一類具有SM－基(Skew Multiplicative K－basis)代數(shù)的Groebner基理論，進(jìn)一步探討了這類代數(shù)模的右Groebner基理論.

SM－基;右Groebner基;凝聚基;模

Groebner基方法在實(shí)踐生產(chǎn)和科學(xué)研究中有著極為廣泛的應(yīng)用.李會(huì)師教授將經(jīng)典的Groebner基理論推廣到更廣泛的具有SM－基的代數(shù)上.文中介紹了這類具有SM－基的代數(shù)，并且給出了這類代數(shù)模的右Groebner基理論.

1 具有SM基的代數(shù)

定義1設(shè)R是一個(gè)k－代數(shù)，如果R有一個(gè)k－基B滿足u，υ∈B，有u·υ=λω，或者u·υ =0，則稱B是R的一個(gè) SM－基［1］.

顯而易見，這種SM－基就是結(jié)合代數(shù)中乘積基的特殊情況.這類具有SM－基的代數(shù)不僅包括有序半群代數(shù)、自由代數(shù)、交換的多項(xiàng)式代數(shù)、路代數(shù)，而且還包括外代數(shù)、斜多項(xiàng)式代數(shù)等.

設(shè)(B，?)是代數(shù)R的一個(gè)相容體系［2］，B是R的一個(gè)SM－基，下面我們給出B中單項(xiàng)式的除法:

對于u，υ∈ B，如果有 ω，s∈ B和 λ∈ K*使得 υ =λωus，則稱u整除υ，記為u|υ.類似地，如果有ω∈B和λ∈K*，使得υ=λωu，則稱u從左邊整除υ，也記為u|υ.

命題1設(shè)(B，?)是代數(shù)R的一個(gè)相容體系，B是R的一個(gè)SM－基，B中單項(xiàng)式的除法具有傳遞性，則稱代數(shù)R具有Groebner基理論.

對于任意的0≠f∈R，我們有

LM(f)=υS表示f的首單項(xiàng)式.

若S是R的一個(gè)子集，我們用LM(S)={LM(f)|f∈S}記S中所有元素的首項(xiàng)單項(xiàng)式的集合.令NonLM(S)=B－LM(S).

命題2設(shè)I是代數(shù)R的一個(gè)非零理想，T是 ＜LM(I)＞的一個(gè)單項(xiàng)式生成元集合，則有T?＜LM(I)＞.若G?I，使得LM(G)=T.即 ＜LM(G)＞=＜T＞=＜LM(I)＞，則有I=＜G＞且G為理想I的Groebner基.

2 右Groebner基

設(shè)(B，?)是代數(shù)R的一個(gè)相容體系，B是個(gè)SM－基.令M是一個(gè)右R－模且Γ是M的一個(gè)k－基.

定義2若對每一個(gè)m∈Γ，所有的ω∈B，有mω=0或者mω =λυ，λ∈K*，υ∈B則稱Γ為一個(gè)凝聚基［3］.

定義3如果?是Γ的右相容序，則滿足下面的條件:

(1)?是一個(gè)良序;

(2)若對所有 m1，m2∈Γ，ω∈B，當(dāng)m1?m2，m1ω≠0，m2ω ≠0，則 m1ω ? m2ω;

(3)若對所有 m ∈ Γ，對所有 ω1，ω2∈ B，ω1? ω2，mω1≠0，mω2≠0，則 mω1? mω2.

若M是一個(gè)R－模，Γ是M的一個(gè)凝聚基，?是Γ的右相容序，則稱M在序?下有Groebner基理論.

如果m1，m2∈Γ，若存在ω∈B，使得m2=m1ω，則稱m1左整除m2.

設(shè)(Γ，?)是M的一個(gè)相容體系，若0≠f∈R，f∈M，則

則LM(f)=mγ.類似地，有X∈M，LM(X)={LM(f)|f∈ X}，NonLM(X)= Γ － LM(X).

令N是M的右子模，我們來研究右Groebner基理論.

定義4設(shè)非零子集G?N，在?序下，G稱為N的右Groebner基當(dāng)且僅當(dāng)對所有的 f∈ N，存在 g∈ G，使得LM(g)左整除LM(f).

定理設(shè)N是M的右子模，非零集合G在序?關(guān)系下是Groebner基，則有N=＜G＞.證明:因?yàn)镚?N，則有 ＜G ＞?N.

反過來，若f∈N，有一個(gè)有限表達(dá)式

定義5設(shè)N是M的右子模，對于f∈M，f在序?關(guān)系下的正規(guī)元，記為 N(f)，即 f=nf+N(f)，nf∈ N，N(f)∈NonLM(N).

命題3設(shè)G是N的右Groebner基，f，g∈M，在商代數(shù)可中，f+N=g+N當(dāng)且僅當(dāng)N(f)=N(g).

定義6設(shè)N是M的右子模，G是在序?關(guān)系下，N的右Groebner基，則G是約化的［4］，若滿足以下條件:

(1)LC(gi)=1，gi∈ G;

(2)LM(g1)|LM(g2)，g1，g2∈ G，且 g1=g2;

(3)若g∈G，則g－LM(g)模N是正規(guī)元.

若 g1，g2∈G，且LM(g1)|LM(g2)，有g(shù)1=g2，則稱G是LM－約化的.容易看出:一個(gè)約化的右Groebner基是LM－約化的.

命題4設(shè)(B，?)是代數(shù)R的一個(gè)相容體系，B是R的一個(gè)SM－基，M是一個(gè)R－模，Γ是M的一個(gè)凝聚模，N是M的右子模，則在序?關(guān)系下，N有唯一的約化的Groebner基.

證明:首先，證明它的存在性.

從以上集合可以得到T是唯一的且LM－約化的.令G={t－LM(t)|LM(t)∈T}，則顯然G是約化的Groebner基.

唯一性:假設(shè)H是另一個(gè)約化的Groebner基，若f∈N，存在g∈G，使得LM(g)左整除LM(f).取h∈H，存在某個(gè)g∈G，使得LM(g)左整除LM(h).因?yàn)镠是右Groebner基，則存在某一h'∈H使LM(h')左整除LM(g)，則有LM(h')左整除LM(h)，但H是LM－約化的，有

且h，g∈N，h－g∈N.所以h－g=0，即H?G.同理，有G?H.

推論:設(shè)T={LM(t)∈LM(N)|不存在 LM(t')∈LM(N)真左整除LM(t)}，若G?N，使得T=LM(G)，則在序?關(guān)系下，G是N的右Groebner基.

證明:由已知T=LM(G)，且G?N，所以T?LM(N).f∈ N 且 f≠0，則

根據(jù)右Groebner基的定義知，G是N的右Groebner基.

［1］Li H.Looking for Groebner basis theory for almost skew 2－nomial algebras［J］.Journal of Symbolic Computation，2010，(9):918－942.

［2］Kandri－Rody A，Weispfening V.Non－commutative Gr?bner bases in algebras of solvable type［J］.Journal of Symbolic Computation，1990，(1):1 －26.

［3］ Green E L.Multiplicative bases，Gr?bner bases，and right Gr?bner bases［J］.Journal of Symbolic Computation，2000，(4):601 － 623.

［4］何青.計(jì)算代數(shù)［M］.北京:北京師范大學(xué)出版社，1997.

O154.3

A

1008－4681(2012)02－0006－02

2011－12－26

趙志琴(1983－)，女，山西大同人，中山大學(xué)新華學(xué)院經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易系助教，碩士.研究方向:計(jì)算代數(shù).

(責(zé)任編校:晴川)