關于三次樣條插值的教學研究＊

張希娜，李亞紅，郭中凱

(蘭州理工大學技術工程學院，甘肅 蘭州 730050)

關于三次樣條插值的教學研究＊

張希娜，李亞紅，郭中凱

(蘭州理工大學技術工程學院，甘肅 蘭州 730050)

三次樣條函數作為最常用的插值函數是數值分析教學中的重點和難點.從簡單例子出發講解了三次樣條插值函數的定義及其第一類和第二類邊界條件的判定，并將其推廣到含n個節點的情況.旨在將抽象理論具體化，易于學生理解和接受.

三次樣條插值;邊界條件;例子

傳統本科教材中，三次樣條插值函數這部分內容一般都強調理論.而理論性過強，內容過于抽象，在教師講解過程中，學生很難理解，從而抑制了學生學習的積極性和主動性，影響了學生對三次樣條插值的掌握，不利于學生對這部分內容的應用，從而影響了學生創新意識和創新能力的培養.

1 三次樣條插值的教學改革思想

針對這種情況，為了使學生更容易接受這部分內容，激發學生學習三次樣條插值的興趣，加深他們對三次樣條知識的理解和認識，本文提出從最簡單的例子出發，講解三次樣條插值的三種邊界條件.

2 三次樣條插值教學過程實踐

講解這部分內容之前，我們著重要介紹分段線性插值和分段三次埃爾米特插值.分段線性插值是在給定了插值節點上的函數值以后，構造一個整體連續的函數.而分段三次埃爾米特插值是在給定了插值節點上的函數值和微商值以后，構造一個整體上具有一階連續微商的插值函數，它是光滑的分段插值.三次樣條插值把整體光滑度再提高，它是在只給出插值點上的函數值的情況下構造一個整體上具有二階連續微商的插值函數.首先，我們來看一下三次樣條插值函數的定義［1］:

定義:給定［a，b］上n+1個節點a=x0＜x1＜… ＜xn－1＜ xn=b以及這些點上的函數值 f(xi)=yi(i=0，1，…，n).若函數 s(x) 滿足:1)s(xi)=yi，i=0，1，…，n;2) 在每個小區間［xi，xi+1］上是一個不超過三次的多項式;3)s(x)、s'(x)、s″(x) 在［a，b］上都連續.則稱 s(x) 為函數 f(x) 關于節點x0，x1，…，xn的三次樣條插值函數.

以上定義從直觀上比較難理解，下面我們從一些實例出發，幫助學生理解什么樣的函數是三次樣條函數.

例:試判斷下列函數是否為三次樣條函數:

下面我們通過兩個簡單的實例給大家介紹一下三次樣條插值函數的兩類邊界條件，由此引出n個節點的三類邊界條件，這就是一般教材上的三次樣條插值理論［2］.

例1:求滿足 f(－1)= －1，f(0)=0，f(1)=1，f'(－1)=0，f'(1)=－1的三次樣條插值函數S(x).

解:三個節點 x= －1，0，1構成兩個區間［－1，0］和［0，1］.設f'(0)=m，三次樣條插值函數是特殊的分段三次埃爾米特插值，關鍵是構造插值基函數.

由分段三次埃爾米特插值的公式:

先求一階導數，再求二階導數:

分析:本題中有三個節點，已知三個節點處的函數值和兩個端點處的微商值，類似于這樣的已知條件，我們稱為三次樣條插值的第一類邊界條件.

例2:已知函數在節點 x=0，1，2，3 處的值均為 0，求滿足邊界條件 S″(0)=1，S″(3)=0 的三次樣條插值函數S(x).

解:已知及所設如以下表格所示:

x 0123 y 0000 m2 m3

分析:本題中有三個節點，已知三個節點處的函數值和兩個端點處的微商值，類似于這樣的已知條件，我們稱為三次樣條插值的第二類邊界條件.

由以上兩個例子，我們引出一般的三次樣條插值函數的邊界條件(含n個節點):

第一類邊界條件:已知S'(x0)=m0及S'(xn)=mn.

第二類邊界條件:已知

對于這種含n個節點的一般性三次樣條插值問題，我們的解題思路與以上兩個例題類似.我們聯系三次樣條插值的定義，又已知節點處的函數值.我們像例題中那樣，先根據分段三次埃爾米特插值設出S(x).對于第一類邊界條件來說，我們設出剩余的中間n－1個節點處得微商值，解決這些微商值，是我們解題的目標.通過設出的微商值和已知條件，我們可以設出S(x)，再依次求S'(x)、S″(x)，再根據樣條函數的二階導數的連續性，可列方程組S″(xi－0)=S″(xi+0)，i=1，2，…，n－1.由n－1個未知數n－1個方程，通過線性代數解方程組的知識，可解出最終結果.對于第二類邊界條件，我們設出所有n個節點處的微商值，我們的任務就是解出這些微商值.同樣，通過這些設出的微商值與已知的函數值，再依次求S'(x)、S″(x)，再根據樣條函數的二階導數的連續性，可列方程組 S″(xi－0)=S″(xi+0)，i=1，2，…，n －1 及已知條件 S″(x0)=S″(xn)=0.這樣n+1個未知數n+1個方程，通過解方程組的知識，可得所求結果.

一般理論中，還有第三類邊界條件:已知函數y=f(x)為周期函數，基本周期為b－a=xn－x0，y0=yn.相應要求樣條函數S(x)也是周期函數，滿足已知S'(x0)=S'(xn)和S″(x0)=S″(xn).對于此第三類邊界條件，解決思路與前兩種邊界條件相似.設出所有n個節點處的微商值，聯系已知的函數值，再依次求S'(x)、S″(x)，再根據樣條函數的二階導數的連續性，可列方程組 S″(xi－ 0)=S″(xi+0)，i=1，2，…，n － 1 及已知條件 S″(x0)=S″(xn) 和 S'(x0)=S'(xn)，這樣n+1個未知數n+1個方程，通過解方程組的知識，即可求出.

對于三次樣條插值函數來說，當插值節點逐漸加密時，不但樣條插值函數收斂于函數本身，其微商也收斂于函數的微商，提高了函數的光滑性，比之前所講的分段三次埃爾米特插值還要優越.因此，在航空、造船等很多工程技術領域有重要而又廣泛的應用.最后指出，樣條函數不一定必須是逐段三次多項式，也可以是逐段簡單函數，只要保持連接點足夠光滑［3］.因三次多項式計算簡單，且滿足一般實際問題的要求，因而應用最為廣泛.

［1］張池平.計算方法［M］.北京:科學出版社，2006.

［2］徐萃微.計算方法引論［M］.北京:高等教育出版社，1985.

［3］李慶楊，王能超，易大義.數值分析［M］.武漢:華中工學院出版社，1982.

O24

A

1008－4681(2012)02－0131－02

2012－01－12

張希娜(1983－)，女，河南商丘人，蘭州理工大學技術工程學院助教，碩士.研究方向:馬爾可夫骨架過程.

(責任編校:晴川)