高等數學教學改革思路研究與實踐
——以南京航空航天大學為例①

蔣建林，王璨璨

(南京航空航天大學理學院，江蘇南京210016)

高等數學教學改革思路研究與實踐
——以南京航空航天大學為例①

蔣建林，王璨璨

(南京航空航天大學理學院，江蘇南京210016)

高等數學課程是理工科院校基礎課程中的重中之重，其對創新型人才的培養具有重要作用。結合南京航空航天大學高等數學的教學現狀，分析高等數學教學中存在的問題，并從四個方面提出高等數學改革思路:提高學生的學習興趣;引導學生掌握數學思想;分層次安排教學;創設啟發式教學情境。實踐證明這些改革思路對于提高高等數學的教學質量是有效的。

高等數學;學習興趣;數學思想;啟發式教學環境

高等數學是理工科院校低年級學生的一門重要基礎課程，是理工科學生學好后續課程的工具課，而且高等數學在培養學生的各種能力，包括邏輯推理能力、抽象思維能力、思想方法和知識結構的形成等方面都有著其它課程無可替代的作用與優勢。然而，從筆者多年來的高等數學的教學實踐以及學生的反饋信息來看，教師和學生作為教育的2個主體普遍感覺到高等數學的教學中存在著一定的問題。所以深化高等數學教學改革，提高高等數學教學質量是當前高等數學教學活動中的一項重要任務。

一 目前高等數學教學中存在的問題

我們以南京航空航天大學為例對高等數學教學中存在的問題進行說明。一方面，從教師主體的角度來看，教師認為高等數學難教，主要表現在學生缺乏學習的興趣和主動性，學生的學習是一種被動接受的過程;另一方面，從學生主體的角度來看，很多學生認為高等數學教學內容繁雜，理論性強，對于這一課程“為什么學”和“怎么學”幾乎沒有概念。這兩方面的結果往往是高等數學教學質量不是很理想，每次期末考試成績大概會有超過10%的不及格率。細細探究其原因，筆者認為主要有以下幾個方面:

(一)學生的學習興趣和動機

學生的學習興趣不強以及動機不明確是高等數學教學中最為嚴重的問題。高等數學是一門基礎課程，內容以理論為主，配以少量的相關例題。但是這些例題往往與學生的專業或實際問題沒有直接關系。因此在學習過程中，教師經常遇到很多學生問同樣的一個問題:高等數學這門課究竟有什么用?事實上，如果我們不能很好地回答這個問題，學生對學習這門課的原因和目的就會毫無概念，這將會導致其對高等數學的學習動機和興趣降低。

(二)學生的學習方式

由于高考競爭的壓力以及高中數學知識點較少的特點，剛進入大學校園的新生依舊習慣于中學階段學校和家長對其學習情況的實時監督，教師對各個知識點的深入指導，各種家教對知識點的鞏固與提高。這些很大程度上導致了學生學習依賴性太強，缺乏自主性學習習慣。而高等數學中知識點相對于中學數學多得多，對于各個知識點教師不能面面俱到地都詳細講解，這將與他們已有的依賴性學習習慣有所不同，從而導致學生無所適從。

(三)學生的思維方式

中學數學的學習主要是題海模式，對同一個知識點進行大量的反復訓練，最后達到對求解一類問題的思維直覺。這種學習“填鴨式”的教育方式導致學生在解題的過程中思維不夠開闊，喜歡套用以往的解題思路。但是高等數學中很多知識點不是通過被動接受教出來的，而是需要學生通過開放式的思維，自己慢慢體會和領悟的，比如數列極限的定義和函數極限的定義。

(四)高等數學的教學內容

中學時學生接觸到的是相對直觀的數學概念、較少的理論以及簡單的計算;而高等數學的內容相對抽象，并且注重嚴謹的理論推導。與此同時，高等數學內容也很多，剛學過的知識學生可能還未完全理解，新的知識就又接踵而來，長此以往將會形成惡性循環，從而導致整個高等數學的學習如同一團亂麻，學生對高等數學的理解也只限于一些模糊的概念和定理，而沒有形成系統和整體的認識。

鑒于以上高等數學教學中存在的問題，深化高等數學教學改革、提高教學質量是當前高等數學教學中的重要任務。多年來，我校高等數學教研組的各位老師就高等數學的教學內容、教學方法和教學手段等方面進行了一系列探索性改革，取得了不錯的成績。結合整個教研組在高等數學教學改革中取得的成績，筆者在此討論自己的一些改革思路與體會。

二 高等數學的改革思路與探索

高等數學的改革應該是多方面的和立體式的，我們不能期望僅從某一方面努力就能全面提高高等數學的教學質量。歸納一下我校高等數學教研組的教學實踐，高等數學的教學改革可以從如下方面進行。

(一)多方面提高學生學習高等數學的興趣和動機

克萊因是20世紀美國著名數學史家和數學教育家，他將激發學生數學學習興趣作為數學課程的四大基本原理之一。他指出:“不論以何種方法激發學生學習數學的興趣，我們都必須為所教的數學提供動機和目的。”［1］因此在高等數學的學習中，如果教師只是注重數學理論的嚴謹性和數學定理之間的推導，則會給學生造成一種“為了學數學而學數學”的錯覺，使其失去學習數學的興趣和動機。如果我們能做到如下幾點，往往能夠極大地增強學生對高等數學的學習興趣。

1．通過數學建模思想提高學習興趣

數學建模作為一種數學的思考方法，主要包括如下步驟:模型假設、模型構成、模型求解、模型分析、模型檢驗、模型營養和改進［2］。因為高等數學很抽象，學生在學習過程中因為認識不到高等數學學習的意義而感到枯燥無味。但如果將其與一些與我們息息相關的經濟社會生活中的問題通過數學建模聯系起來，就能讓學生感覺到數學與實際生活是如此之近，從而極大地提高學生學習高等數學的學習興趣，把高等數學學習中常見的“要我學”變成發自內心的“我要學”。

數學建模應用于高等數學的教學中還能夠極大地提高學生的分析推理能力和解決實際問題的能力。同時，數學建模沒有標準答案，教師可以引導學生從不同的角度思考問題，通過不同的數學思路解決問題，提高學生的創新能力。

2．適當引入數學史和數學故事提高學習興趣

在很多人眼中，數學就是一堆冷冰冰的定理累加、推導而形成的一門令人望而生畏的學科。事實上，數學是人類思維活動的集中體現，其每一個概念和定理背后，往往有其特定的文化背景和生動的故事。然而，在高等數學的教學活動中，我們往往只注重羅列定理和結論，而將這些生動的背景和故事略去。但是正是這些看似不太重要的背景和故事往往能夠提高學生的學習興趣。比如，在講授洛必達法則這一節的時候，我們可以提供給學生洛必達法則來源與歸屬問題的故事［3］。當學生聽完這則故事后，必定會對洛必達法則產生濃厚興趣，并自然而然地想掌握這一求極限的重要方法。再比如，高等數學中經常提到Leibniz，如求定積分的Newton－Leibniz公式，交錯級數的Leibniz準則等。學生往往會感覺到有關Leibniz的定理多而且分散，不太會主動去理解和記憶這些定理。在授課時，筆者首先對Leibniz進行了一個簡介，然后引出Leibniz和筆者淵源的故事(筆者的博士生導師是在德國攻讀的數學博士學位，經考證Leibniz是筆者導師的師祖，同樣是筆者的師祖)，同時介紹Euler和Gauss這兩個大數學家與Leibniz的師承關系。

在課堂教學中，適當地講述一些定理背后的數學故事、數學史，并不是在浪費寶貴的授課時間。“磨刀不誤砍柴工”，這些小故事往往會起到意想不到的教學效果。

3．引導學生發現數學之美以提高學習興趣

克萊因說過:“音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科技可以改善物質生活，但數學能提供以上一切。”［4］我國著名數學家徐利治也指出:“數學教育與教學的目的之一，應當讓學生獲得對數學美的審美能力，從而既有利于激發他們對數學科學的愛好，也有助于增長他們的創造發明能力。”［5］

人們喜歡和向往美好的東西，“愛美之心，人皆有之”。如果我們在高等數學的教學活動中主動引導學生去發現和探索數學之美，讓學生在學習中體會到美感，這將極大提高學生對數學的審美能力，激發其學習興趣，提高高等數學的教學效果。比如通過極限的定義發現數學的嚴謹美和簡潔美;通過函數的泰勒級數和泰勒公式發現數學的和諧美;通過維爾斯特拉斯構造的處處連續但處處不可導的函數感受數學的奇異美;通過定積分的第一類和第二類換元法感受數學的統一美;通過多元函數求導的鏈式法則感受數學的結構美等等。

(二)引導學生掌握數學思想而不僅僅是數學方法

數學方法和數學思想是數學的兩個重要因素:數學思想是解決數學問題的精神實質和理論基礎，是數學的靈魂和精髓;而數學方法則是解決數學問題的具體方法、手段，是數學思想的外在表現形式。數學方法很重要，具體的數學問題最后都是歸結到運用某種數學方法進行求解。但數學思想往往更重要，傳統的數學教學往往只重視傳授具體的理論和方法，而忽視挖掘其中所蘊涵的數學思想。事實上，掌握數學思想才能夠使學生領悟數學的真諦，懂得數學的價值，高屋建瓴地用數學的思維去思考和解決問題。俗話說，“授之以魚不如授之以漁”，在高等數學教學活動中，我們需要引導學生不斷熟悉和掌握數學思想。

在眾多的數學思想中，除了前面談到的解決實際問題的數學建模思想，我們還可以通過劉徽的割圓術及導數積分定義讓學生掌握無限逼近的極限思想;通過連續函數零點定理及零點的求解讓學生掌握二分法思想;通過拉微積分中值定理掌握構造法思想;通過函數的高階導數以及函數冪級數展開的間接法掌握化歸思想;通過極限的和定義中任意給定的掌握辯證統一的唯物思想等等。

(三)通過分層次教學提高教學質量

隨著我國高校招生規模的不斷擴大，大學教育已經從最初的“精英教育”轉化為目前的“大眾教育”，隨之而來的是學生生源質量變得參差不齊。如果對所有專業和所有學生都按照同一要求組織高等數學的教學，必將造成“好的學生吃不飽，差的學生吃不了”的困境，導致補考、重修率大幅上升。而分層次教學則是承認了不同專業和不同學生之間的數學差別，將學生分為不同層次的教學班，有區別地確定教學目標與教學要求、組織教學內容、控制教學進度、確立評估體系。分層次教學完美地體現了“學生為本，因材施教”的教育原則。

分層次教學能夠使得各層學生學有所得，提高他們的學習興趣和積極性，促進學生的自主性學習;同時，這種教學形式對不同層次的學生有較強的針對性，有利于安排教學活動，提高學習效率。

(四)創設啟發式教學情境培養學生自主學習方式和開放式思維方式

問題是數學知識的心臟，數學的本質就是提出問題、分析問題并解決問題。因此高校教師在高等數學教學中要善于適時地創設啟發式教學情境，設置啟發式問題，鼓勵學生應用多種數學思想與方法進行探索，，并學會自己提出問題、分析問題和解決問題。當學生習慣于啟發式的教學情境，他們的思維就會更主動、更積極，就會更有利于發現并解決問題，并在思考和解決問題的過程中逐步形成自主學習的學習方式和開放式思維方式。

比如，在多元函數條件極值中，高等數學教材往往只討論等式約束的情形，此時我們可以適當引導學生思考不等式約束的極值問題。再如，等價無窮小代換要求代換項是函數因子而不是加減項，很多學生對這一要求的本質不理解。但是當泰勒公式內容講授完后，我們可以引導學生分析等價無窮小代換與泰勒公式間的關系，就會很容易找到這一要求的原因。

三 改革思路的試驗實踐與分析

為了驗證上述教學改革思路的成效性，筆者選擇了本校自動化學院2010級和2011級2個高等數學班進行了教學試驗。2個班級的學生來自于同一學院，最大程度上保證了學生基礎和學習能力的相似性;同時，兩年的高等數學試卷無論從題型、難易程度還是知識點全面性等方面都具有一定的連續性。選用這2個班級進行試驗與比較，其結果更具客觀性。對于前者筆者使用的是傳統教學方式，而在后者的教學中筆者突出了上述改革思路1，2和4(分層次教學已經被證明是行之有效的教學手段，而且因為兩個班級是分層次后得到的班級，我們沒有辦法對改革思路3進行試驗)。表1給出了2個班級高等數學II上冊的期末考試成績統計數據，括號中的數字表示班級中各種成績的人數占班級總人數的百分比。

表1 2010級和2011級學生在應用改革思路前后的成績統計表

從表1可以看出，在兩種不同的教學思路下，學生的學習成績存在顯著的差異。在新的教學改革思路下，優秀和良好的學生比例從30．58%提高到了59．73%，幾乎增長了一倍;而不及格學生的比例由12．74%下降到了7．64%。此外，學生平均分從2010級的70．81增加到2011級的78.00，學生的整體學習情況有了較大的提高。

在2011級學生的課堂教學中，筆者觀察到學生們精神飽滿，注意力集中，能夠緊扣筆者的教學思路進行學習，并且跟筆者之間形成了良好的教與學之間的互動。同時，學生對于筆者提出的啟發式問題勤于思考與解決，學生自己也逐步敢于并善于提出問題。所有這些不僅表明了學生自主學習能力的不斷提高，開放式思維的逐漸培養，同時對筆者的教學工作也是一種促進和提高，使得筆者在教學過程中不斷完善和提高自己的教學水平。

［1］Kline M．The ancients versus the moderns:a new battle of the books［J］．Mathematics Teacher，1958(51):418－427．

［2］王振友．“高等數學”教學中引入數學建模思想和方法的研究［J］．廣東工業大學學報(社會科學版)，2007 (7):146－151．

［3］Struik D J．The origin of L’Hopital’s rule［J］．Mathematics Teacher，1963(56):257－260．

［4］徐樹道．數學方法論［M］．桂林:廣西師范大學出版社，2002．

［5］徐利治．數學方法論選講［M］．武漢:華中理工大學出版社，2000．

(責任編校 晏小敏)

G642

A

1674－5884(2012)06－0092－03

2012－04－03

國家自然科學基金青年基金項目(11101211);江蘇省自然科學基金項目(BK2011719)

蔣建林(1977－)，男，江蘇東臺人，副教授，主要從事線性與非線性規劃、設施選址模型研究與應用。