高考中的數形結合思想

●

(鄞州區五鄉中學 浙江寧波 315111)

●鄭迪華

(鄞州中學 浙江寧波 315101)

高考中的數形結合思想

●夏敏

(鄞州區五鄉中學 浙江寧波 315111)

●鄭迪華

(鄞州中學 浙江寧波 315101)

數和形是數學中最基本的兩大表現形式，二者有著十分密切的聯系.高考中根據問題的背景，使數的問題借助形而產生直觀形象，形的問題依據數而深刻入微.以“形”的直觀啟迪思路，導致發現結果，以“數”的嚴謹表述來論證發現結果的正確，從而把高考復習引導到一個更高的境界.

實踐證明，如果能給數學命題以直觀圖像的描述，揭示出命題的幾何特征，就能變抽象為形象，使抽象思維和形象思維在解題過程中相互運用，從而使初看困難或繁瑣的高考題變得簡單、容易.數形結合思想的好處在于幾何圖形形象直觀，便于理解；代數方法具有一般性，解題過程程序化，可操作性強.正如華羅庚教授說過“數缺形時少直覺，形少數時難入微，二者結合萬般好，倘若分離萬事休”，可見數形結合思想的重要性.因此，數形結合思想是中學數學的重要思想方法之一，也是歷年高考的熱點和重點內容.運用數形結合思想解題在高考復習中應引起高度的重視.

1 考查要求

《浙江省普通高考考試說明》指出：數學科的命題，在考查基礎知識的基礎上，注重對數學思想和方法的考查，注重對數學能力的考查，展現數學的科學價值和人文價值；堅持多角度、多層次的考查，努力實現全面考查綜合數學素養的要求.在對數學思想方法的考查時指出：必須要與數學知識相結合，通過對數學知識的考查，反映考生對數學思想的掌握程度.在對創新意識的考查中明確指出:在考試中要有反映數、形運動變化的試題.

高考對數形結合的考查，一方面是通過解析幾何題或平面向量題的考查，即用代數方法來處理;另一方面，有些代數問題須依靠幾何圖形的構造和分析得以解決.同時，在數形結合的使用過程中，由“形”到“數”的轉化往往比較明顯，而由“數”到“形”的轉化卻需要一定的技巧.

2 考點回顧與命題走向

認真觀察歷年的數學高考試卷可以發現，以數形結合思想為背景的考題是數學高考中必有的內容.從考查內容看，數形結合思想的考查經常以集合、函數、方程與不等式、向量、數列、解析幾何、立體幾何等為載體.

在高考中巧妙運用數形結合的思想方法解決一些抽象的數學問題，可以起到事半功倍的效果.因此，在今后的高考中仍將是必考的重點思想方法.同時，由于高考是綜合性的考查，因此要注意數形結合思想與分類討論思想、方程與函數思想、轉化和變換的思想等綜合性的應用.

3 典型例題解讀

3.1 解決向量問題

向量是溝通代數、幾何、三角函數的一個十分有效的工具，有著極其豐富的現實背景，可以說向量是聯結代數與幾何的橋梁，是數形結合重要的載體與體現.

(2011年浙江省數學高考理科試題)

解法1由題意可得

即

由|α|=1,|β|≤1知

圖1

評注解法1是利用條件將平面向量α,β的夾角轉化為三角不等式，結合三角函數的圖像得到結論.解法2是直接利用圖形轉化為平行四邊形中點B的位置問題，通過圖形直接獲取答案.2種方法都是通過圖像或圖形，利用數形結合的思想得到結論，特別是解法1簡單明了.

3.2 解決函數與方程、不等式問題

通過函數圖像研究函數的性質是探究函數性質常用的方法.因為函數圖像是函數的一種主要的表達形式，從“形”的方面刻畫了函數的變化規律，顯示了函數的性質，為研究數量關系提供了直觀的形象.用圖像處理方程根的個數問題時，往往把方程根的問題看作2個函數圖像的交點問題.處理不等式時，從題目的條件與結論出發，聯系相關函數，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路，特別是處理線性規劃問題.

( )

A．-4或-2 B．-4或2

C．-2或4 D．-2或2

(2011年浙江省數學高考理科試題)

圖2

分析由f(α)=4探求α的值，有點解方程的味道.由于f(x)是分段函數，因此每段函數都可能有解.畫出草圖，直接觀察函數的圖像，將問題轉化為探求圖像與直線y=4的交點的橫坐標問題，如圖2所示.

評注本題主要考查分段函數，通過函數圖像清晰地把在各自區域內可能的解直觀地呈現，體現了數形結合的優越性.

( )

(2010年福建省數學高考理科試題)

圖3

分析由題意知，所求的|AB|最小值，即為區域Ω1中的點到直線3x-4y-9=0最小距離的2倍.畫出已知不等式表示的平面區域(如圖3)，觀察知點(1，1)到直線3x-4y-9=0的距離最小，故|AB|的最小值為

故選B.

評注線性規劃問題是運用數形結合思想解決不等式問題最直接的體現.對線性規劃的考查通常以距離、面積、斜率、正整數解等問題出現，通過“形”來探求“數”.

3.3 解決解析幾何問題

用數形結合解決解析幾何問題，可以說是數形結合思想的完美體現.要善于將數形結合思想運用到對點、線、曲線的性質及其相互關系的研究中，從而解決問題.

( )

冠心病具有較高的發病率,隨著冠心病病情的發展,患者的心功能會受到影響,進而引發心力衰竭,有可能直接導致患者失去生命,臨床上應當加以重視,積極找出冠心病合并心力衰竭的治療方法,提高這類疾病患者的生存質量[1-2]。本次從2015年的6月到2017年的12月這個時間段中取材并開展研究,分別使用硝普鈉靜脈滴注以及酚妥拉明靜脈滴注兩種方法治療患者,結果如下。

(2011年浙江省數學高考理科試題)

b2x2+(b2+5)y2=b2(b2+5),

聯立直線與橢圓方程消去y得

評注本題主要考查直線與橢圓、圓的位置關系，解題時要注意利用條件和圖形，將3等分轉化為弦長與長軸之間的關系.另外在解析幾何中，曲線和方程是同一軌跡的2種表示形式，在不同形式下各有所長，充分利用圖形和平面直角坐標系將“形”的表現用“數”來演示，充分發揮數形結合的優勢,從而使問題解決簡單化.

3.4 解決立體幾何問題

立體幾何中用坐標的方法研究幾何中點、線、面的性質及其相互關系，將抽象的幾何問題轉化為純粹的代數計算，用空間向量來解決就是最有力的佐證.在處理立體幾何問題時，經常通過翻折或割補來構建新的立體或平面圖形，進而轉化成新的相對簡單的幾何問題.通過空間想象，利用數形結合思想處理可達到意想不到的效果.

例5如圖4所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點M是對角線A1B上的動點，則AM+MD1的最小值為________.

圖4

評注翻折與割補通過“形”的變化，來掌控“數”的變化，對空間想象能力的要求較高，在探究過程中一直體現數形結合思想.

3.5 利用數形結合思想，解決其他問題

3.5.1 解決集合問題

在集合運算中常常借助數軸、韋恩圖來處理集合的交、并、補運算，從而使問題得以簡化，使運算快捷明了.

例6已知A,B均為集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3},(CUB)∩A={9},則A=

( )

A.{1,2} B.{3，7，9}

C.{3，5，9} D.{3,9}

(2010年遼寧省數學高考理科試題)

分析可借助韋恩圖求解，結論直觀形象地呈現.

例7集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|x<1},則A∩(CRB)=

( )

A.{x|x>1} B.{x|x≥1}

C.{x|1

(2010年陜西省數學高考理科試題)

分析由題CRB={x|x≥1}，利用數軸公共部分可以清晰呈現，故選D.

評注解決集合問題首先要分清元素是什么，然后通過分析條件與結論的特點，利用數軸或韋恩圖將其轉化為圖形語言，數形結合直觀地呈現.

3.5.2 解決數列問題

數列是一種特殊的函數，數列的通項公式以及前n項和公式都可以看作關于正整數n的函數.如等差數列可以看成關于正整數n的“一次函數”，前n項和可以看成關于正整數n的缺少常數項的“二次函數”;等比數列可以看成關于正整數n的指數函數.用數形結合的思想解決數列問題是借助函數的圖像進行直觀地分析，從而將數列問題轉化為與函數相關的問題.

例8在等差數列{an}中，d<0，若|a3|=|a9|，則數列{an}的前n項和取最大值時n的值是________.

分析由已知條件和等差數列性質得

a1+a11=a3+a9=0，

從而

S11=0.

根據二次函數圖像的性質知，當n=5或n=6時，Sn取得最大值.

評注本題將數列問題轉化為函數問題，利用函數的性質等知識，結合函數的圖像來解決問題.

3.5.3 解決一類最值問題

例9求函數

的最小值.

分析此類問題直接用代數的方法求解難度較大，聯想到兩點間的距離公式，將上式變形為

評注利用數形結合思想將問題轉化為探求距離的最值問題，大大簡化了計算.數形結合是處理此類函數最值問題最有效的方法.

4 幾點建議

靈活地運用數形結合的思想方法，可以有效地提升思維品質和數學技能，因此復習時要以熟練技能、方法為目標，特別是要掌握各種函數圖像的特點，理解各種幾何圖形的性質.用“數”的準確來揭示“形”的模糊，用“形”的直觀來啟迪“數”的計算，加強這方面的訓練，使問題解決簡單化，從而提高解題能力和解題速度.

運用數形結合思想分析、解決問題時，要遵循3條原則：

(1)等價性原則.

要注意圖像不能精確刻畫數量關系所帶來的負面效應.

(2)雙方性原則.

既要進行幾何直觀分析，又要進行相應的代數抽象探求，僅對代數問題進行幾何分析容易出錯.

(3)簡單性原則.

不要為了“數形結合”而數形結合.具體運用時，一要考慮是否可行和是否有利；二是要選擇好突破口，恰當設參、用參、建立關系，做好轉化；三是要挖掘隱含條件，準確界定參變量的取值范圍，特別是運用函數圖像時應設法選擇直線與二次曲線.

5 精題集萃

4.已知定義在R上的奇函數f(x)，滿足f(x-4)=-f(x)，且在區間[0,2]上是增函數.若方程f(x)=m(m>0)在區間[-8,8]上有4個不同的根x1,x2,x3,x4,則x1+x2+x3+x4=________.

5.已知函數y=f(x)的周期為2，當x∈[-1,1]時，f(x)=x2，那么函數y=f(x)的圖像與函數y=|lgx|的圖像的交點共有________個.

6.已知實數x,y同時滿足下列條件：

2x+y-2≥0，x-2y+4≥0,3x-y-3≤0,

則x2+y2的最大值與最小值的和是________.

10.若過定點M(-1，0)且斜率為k的直線與圓x2+4x+y2-5=0在第一象限內有交點，則k的取值范圍是________.

12.已知點P是拋物線y2=4x上的點，設點P到拋物線準線的距離為d1，到圓(x+3)2+(y-3)2=1上一動點Q的距離為d2，則d1+d2的最小值是________.

13.設圓C位于拋物線y2=2x與直線x=3所圍成的封閉區域(包含邊界)內，則圓半徑能取到的最大值為________.

參考答案