換元引參與整體思想在高考中的應用

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(湖州中學 浙江湖州 313000)

換元引參與整體思想在高考中的應用

●蔣際明

(湖州中學 浙江湖州 313000)

換元引參與整體思想內涵豐富，它滲透到數學的各個領域，是體現學生觀察能力、直覺思維能力和整體意識的主要思想方法，同時也能體現學生思維結構中從大處著眼的宏觀調控能力.換元引參是整體思想的集中體現，在整體思想中扮演著不可或缺的角色.通過換元引參可以將陌生的、不能處理的問題轉化為熟悉的、可以解決的問題，也體現了轉化與化歸的思想.

解決數學問題的過程中，有時為了將陌生、抽象、復雜的問題轉化為熟悉、具體、簡單的問題，促使未知向已知轉化，常將某個式子看作一個整體，引入一個新的變量，用一個字母來代替它，實行變量代換，從而使問題得到解決，這種解決問題的方法叫做換元引參.

利用換元引參解題的關鍵在于選擇適當的輔助未知數，要注意2個方面：一是字母之間、式子之間的轉化；二是變量代換時范圍的取舍.一定要注意新變量的取值范圍、換元所受的限制條件，特別是要挖掘隱含的限制條件，還要注意根據題設條件來驗證結果.

將需要解決的問題看作一個整體，通過研究問題的整體形式和整體結構，并通過對整體結構的調節和轉化使問題獲解，這種從整體觀點出發研究問題的思維活動過程稱為整體思想.整體思想具體可分為整體觀察、整體代入、整體構造、設而不求等，在解題時，要從問題的條件出發，抓住整體結構，使問題轉化為熟悉的數學模型，從而解決問題.

換元引參和整體思想是數學轉化能力的一種體現，它滲透于數學的方方面面，在歷年高考試題中都有考查.

1 典型例題

1.1 局部換元

例1已知集合A={x|4x-2x+1+a=0,x∈R}，若集合A中有且只有1個元素,求實數a的取值范圍.

分析令t=2x，則t>0，方程4x-2x+1+a=0可化為

t2-2t+a=0.

點評通過換元，把超越方程轉化成了熟悉的二次方程來求解，簡化了問題.這里要特別注意的是原方程有一個根并不與所轉化的二次方程有一個根等價，由于輔助元取值為正數，因此等價于二次方程有一個正根.

1.2 整體換元

例2設x,y為實數，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是________.

(2011年浙江省數學高考理科試題)

解設2x+y=t，則

y=t-2x,

代入4x2+y2+xy=1中得

6x2-3tx+t2-1=0,

將它看作一個關于x的二次方程，則由判別式大于等于0，可得

Δ=(3t)2-4·6·(t2-1)≥0,

解得

點評將2x+y視為一個整體并引入參數t，進而通過消元把問題轉化為二次方程有實數根的問題，此類方法在歷年高考題中時有出現.

1.3 三角換元

從而

1.4 均值換元

例4已知正數x,y滿足x+y=1,求證：

原不等式得證.

點評若已知2個變量的算術平均值，可采用均值換元法，使原來的2個變量轉化為只含有1個變量的問題，從而達到減少變量的目的，且使變量間的關系更加明顯.

1.5 設點引參

(1)當直線l過右焦點F2時，求直線l的方程.

(2)設直線l與橢圓C交于點A,B，△AF1F2，△BF1F2的重心分別為G,H.若原點O在以線段GH為直徑的圓內，求實數m的取值范圍.

(2010年浙江省數學高考理科試題)

(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),由

從而

化簡得

x1x2+y1y2<0,

點評本題雖有多種解法，但都離不開點A，B的坐標參與，故引參時必須考慮設點A，B的坐標(設而不求).在具體消參運算時，將x1x2，y1y2，x1+x2，y1+y2作為一個變量(整體)考慮，這給消參帶來了便利.

1.6 整體觀察

分析(1)先將結論因式分解，然后將a0+a1+a2+a3+a4和a0-a1+a2-a3+a4都看作整體進行運算，分別令x=1，x=-1，易得結果為1.

1.7 整體構造

于是f(n)是定義域上的單調遞增函數，從而

解得

點評在這里構造函數是為了求f(n)的最小值，對于恒成立的問題,函數最值解法是一種非常有效的方法.要注意總結一些解題的小結論，例如要使f(n)≥g(a)恒成立，只須[f(n)]min≥g(a)即可等等.

圖1

1.8 整體代入

(1)求曲線C的方程；

(2008年浙江省高考數學理科試題)

分析(1)容易得到曲線C的方程為

在Rt△QMA中，因為

所以

于是

得

換元引參與整體思想是最基本、最常用的數學思想.它是通過研究問題的整體形式、整體結構，并對其進行調節和轉化使問題獲解的一種方法．簡單地說就是從整體去觀察、認識問題,從而解決問題的思想.它是數學解題中一個重要而有效的策略，是提高解題速度的有效途徑.

2 精題集萃

( )

2.長方體的全面積為11，12條棱長度之和為24，則長方體的對角線長為

( )

A．6 B．5 C．4 D．3

( )

4.已知sin3θ+cos3θ=1，則sinθ+cosθ的值為

( )

5.若(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，則a0+a1+a3+a5=

( )

A.122 B.123 C.243 D.244

6.已知等差數列{an}的前n項的和為100，前4項的和為16，后4項的和為64，則n=________.

9.當n>m>1,(n,m∈Z)時，證明：(mnn)m>(nmm)n.

參考答案

1.C 2．B 3．A 4．D 5．B 6.n=10 7.8

8.解顯然直線x=0不滿足題設條件，可設l的方程為y=kx+2.設A(x1,x2),B(x2,y2)，聯立

從而

Δ=(16k)2-4·(1+4k2)·12=64(4k2-3)>0，

得

由∠AOB為銳角，得

而y1y2= (kx1+2)(kx2+2)=

k2x1x2+2k(x1+x2)+4，

從而

x1x2+y1y2= (1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=

解得

-2

9.證明要證(mnn)m>(nmm)n，即證

mlnm+nmlnn>nlnn+nmlnm，

即

從而g(x)在(1,+∞)上是增函數，而g(1)=0，可知

g(x)=x-1-lnx>0,

于是

φ′(x)>0,

即y=φ(x)是增函數.又n>m>1，得

φ(n)>φ(m),

從而

(mnn)m>(nmm)n.