等與不等相互轉(zhuǎn)化中不等的構(gòu)建

●

(麗水中學(xué) 浙江麗水 323000)

等與不等相互轉(zhuǎn)化中不等的構(gòu)建

●應(yīng)之寧紀(jì)斐

(麗水中學(xué) 浙江麗水 323000)

等與不等關(guān)系在數(shù)學(xué)中是既對(duì)立統(tǒng)一又相互聯(lián)系的，它們是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本的辯證關(guān)系之一.等的關(guān)系體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美和統(tǒng)一美，不等關(guān)系則呈現(xiàn)出了數(shù)學(xué)的奇異美.在解題中兩者的相互轉(zhuǎn)換，特別是構(gòu)建不等關(guān)系促成相等關(guān)系，經(jīng)常讓人感覺(jué)雖構(gòu)思巧妙，但技巧性太強(qiáng)，因此在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)將著力點(diǎn)置于“如何讓學(xué)生的思路自然地接受解法”.筆者認(rèn)為：難點(diǎn)在于如何構(gòu)建不等，如果能引導(dǎo)學(xué)生在構(gòu)建不等的過(guò)程中充分利用各種數(shù)學(xué)思想方法，那么學(xué)生在解題時(shí)便能克服思維障礙、優(yōu)化解題思路.

1 模型思想從相等中構(gòu)建不等

例1設(shè)a1，d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，滿足S5S6+15=0，則d的取值范圍是________．

(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

方法2由S5S6+15=0,得

得

評(píng)注方法2如何想到構(gòu)造不等式？再次審視題目，題中條件是等式，要求的是范圍，從等到不等，而等與不等相互轉(zhuǎn)化溝通中最常用的數(shù)學(xué)模型就是基本不等式.這樣,解題思路就自然而又流暢.

2 整體代換思想形成不等促等

分析由題意得

評(píng)注本題如何由條件中的等導(dǎo)出不等？自然會(huì)想到要構(gòu)建不等，利用整體代換的思想構(gòu)建基本不等式，利用“一正、二定、三相等”求出最小值，解法靈活.這種類型的題目是高中數(shù)學(xué)的經(jīng)典類型.

3 分類討論思想構(gòu)造不等促等

即

cosαsinα-sinβsinα=sinβsinα-cosβsinβ

得

解得

k>-1，

又

故

-1

可得

即

從而

cos2α+(1-k2)2sin2α=(k+1)2,

得

(k4-2k2)sin2α=k2+2k.

(1)當(dāng)k=0時(shí),上式成立，則

即

從而 cos(α+β)= cosαcosβ-sinαsinβ=

sinβcosβ-cosβsinβ=0.

(2)當(dāng)k2-2=0時(shí),k(k2-2)sin2α=k+2不成立.

(3)當(dāng)k≠0且k2-2≠0時(shí),

解得

k>2或k<-2,

這與-1

從而

即

同理可得

同理可得

因此

評(píng)注分類討論解題的實(shí)質(zhì)，是將整體問(wèn)題化為部分問(wèn)題來(lái)解決,以增加題設(shè)條件.分類討論要注意綜合討論的結(jié)果，以使解題步驟完整.本題的2種證法均利用分類討論思想排除不等的可能，從而促成相等.

4 數(shù)形結(jié)合思想構(gòu)造不等促等

例4已知函數(shù)f(x)=x3-(k2-k+1)x2+5x-2,g(x)=k2x2+kx+1，其中k∈R．

(1)設(shè)函數(shù)p(x)=f(x)+g(x)．若p(x)在區(qū)間(0,3)上不單調(diào)，求k的取值范圍.

(2009年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解(1)略.

(2)當(dāng)x<0時(shí)，

q′(x)=f′(x)=3x2-2(k2-k+1)x+5，

當(dāng)x>0時(shí)，

q′(x)=g′(x)=2k2x+k，

因?yàn)楫?dāng)k=0時(shí)不合題意，因此，下面討論k≠0的情形:

①當(dāng)x1>0時(shí)，q′(x)在(0，+∞)上遞增，要使q′(x2)=q′(x1)成立,則只能x2<0，從而k≥5(如圖1).

圖1 圖2

②當(dāng)x1<0時(shí)，q′(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞減，要使q′(x2)=q′(x1)成立，則只能x2>0，從而k≤5(如圖2).

綜合①②可得，k=5.

圖3

檢驗(yàn):如圖3，對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)x1，存在唯一的非零實(shí)數(shù)x2，使得q′(x2)=q′(x1)成立.

評(píng)注在本題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅容易直觀地發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程.利用“形”具有形象、直觀的優(yōu)點(diǎn)，可以把“數(shù)”的對(duì)應(yīng)用“形”找出來(lái)，利用圖形來(lái)解決問(wèn)題.數(shù)形結(jié)合在實(shí)現(xiàn)由不等向相等、由變量向常量、由運(yùn)動(dòng)變化狀態(tài)向靜止?fàn)顟B(tài)的轉(zhuǎn)化中起著重要作用，這也是在不等中尋找相等、運(yùn)動(dòng)中尋找靜止的重要途徑.

5 函數(shù)與方程思想構(gòu)造不等促等

例5求出所有這樣的正整數(shù)a，使得二次方程2ax2+2(4a-1)x+4(2a-3)=0至少有1個(gè)整數(shù)根.

解將原方程轉(zhuǎn)化為

因?yàn)閍為正整數(shù)，所以

即

x2+3x-2≤0，

解得

因?yàn)閤是整數(shù)，所以x=-3,-1,0.從而滿足條件的a=3,5.

評(píng)注本題首先利用參數(shù)分離法，利用題目中的參數(shù)范圍構(gòu)建不等，從而得到x的取值范圍，根據(jù)題設(shè)得出結(jié)論.這是函數(shù)與方程思想在構(gòu)建不等策略中的一個(gè)巧妙的運(yùn)用.

6 逼近思想構(gòu)建不等促等

從而

解得

評(píng)注本題使用了正弦函數(shù)的有界性和基本不等式，分別構(gòu)建了2個(gè)不等式，從2邊逼近“夾”出相等，要注意的是基本不等式應(yīng)用前提的創(chuàng)設(shè)也是解題中的一個(gè)基礎(chǔ).

總之，在各地的數(shù)學(xué)高考試題中，利用不等促等的問(wèn)題猶如沙灘上的珍珠般，雖稀少但不時(shí)地閃現(xiàn).因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)充分滲透數(shù)學(xué)思想方法在解題中的應(yīng)用，在利用不等促等的這種解題策略時(shí)，讓突兀變成自然，才能充分地培養(yǎng)和提升學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

6 精題集萃

1.f(x)=ax3-3x+1對(duì)于x∈[-1,1]總有f(x)≥0成立，則a=________.

(2008年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題)

參考答案

1.a=4

即

故

(a2+b2)(2-a2-b2)=1，

解得

a2+b2=1．

b2+c2=2bcsinA≤2bc.

又b2+c2≥2bc,得

b2+c2=2bc，

(1)當(dāng)a>0時(shí)，

②若00,得a>-3，則0

(2)當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,則a=0.

(3)當(dāng)a<0時(shí),f(x)min=f(1)>0,得a>-3,則-3

綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a>-3.

a>[-(x2+2x)]max=-3,

因此實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-3,+∞).