數學模型的化歸與構造

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(魯迅中學 浙江紹興 312000)

●陳柏良

(紹興市高級中學 浙江紹興 312000)

數學模型的化歸與構造

●董紅平

(魯迅中學 浙江紹興 312000)

●陳柏良

(紹興市高級中學 浙江紹興 312000)

在解數學問題時，往往要根據題目的條件與特征，將數學問題化歸為熟悉的數學模型或構造合適的數學模型.通過對數學模型的研究來解決實際問題，便是構造數學模型解題，其目的是利用轉化和化歸的思想，化繁為簡，化難為易，化陌生為熟悉，使問題的解決更加簡潔、合理、快捷、易懂．運用模型化歸與構造求解問題，關鍵是明確化歸的方向，即構造模型的目的是什么．

1 考點分析與命題走向

1.1 考點分析

《浙江省普通高考考試說明》中關于數學學科考試提到：要按照“考查基礎知識的同時，注重考查能力”的原則，確立以能力立意命題的指導思想，將知識、能力和素質融為一體，全面檢測考生的數學素養．在能力要求方面，明確提到：能綜合應用所學數學知識、思想和方法解決問題，包括解決在相關學科、生產、生活中簡單的數學問題；能依據現實的生活背景，提煉相關的數量關系，將現實問題轉化為數學問題，構造數學模型，并加以解決；能選擇有效的方法和手段分析信息，進行獨立思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創造性地解決問題．縱觀近幾年浙江省數學高考試題，不乏運用“模型化歸與構造”思想求解的題目，且達到了一定的深度．常用的數學模型有函數模型、數列模型、不等式模型、三角模型、概率模型、幾何模型等．

1.2 命題走向

重視對模型化歸與構造的考查，是數學高考命題多年來所堅持的方向．構造數學模型是一種重要、靈活的思維方式，由于它常常“隱藏”在各種題型中，因此需要考生具有敏銳的洞察、豐富的聯想和靈活的構思能力．此類試題能有效地檢測考生個體理性思維的廣度和深度以及進一步學習的潛能，因而，常常被高考命題者所青睞．

2 典型例題解讀

2.1 構造函數模型

函數模型是高考的熱點和重點，題型既有小題又有大題，解題中常需針對所要解決的問題,構造相應的基本初等函數模型，通過它們的性質(單調性、極值和最值等)來尋求解題的思路．

2.1.1 構造一次函數模型

例1某地區居民生活用電分為高峰和低谷2個時間段進行分時計價．該地區的電網銷售電價如表1所示：

表1 高峰和低谷時間段用電價格表 (單位：元/千瓦時)

若某家庭5月份的高峰時間段用電量為200千瓦時，低谷時間段用電量為100千瓦時，按這種計費方式該家庭本月應付的電費為________元.

(2009年浙江省數學高考理科試題)

分析本題求解的關鍵是題意的正確理解和函數模型的構造以及快速的運算能力．

解設高峰用電x千瓦時，低谷用電y千瓦時，則當50

f(x,y)= 50×0.568+(x-50)×0.598+50×

0.288+(y-50)×0.318=

0.598x+0.318y-3=

148.4(元)

評注應用性問題考查的方法很多，根據浙江省自主命題的特點，考查主要以客觀題形式出現，且以函數模型的應用為主.

2.1.2 構造二次函數模型

(2010年天津市數學高考理科試題)

分析本題主要考查不等式恒成立和二次函數的最值問題，考查轉化思想．

解由題意知

解得

評注求解恒成立問題常采用分離參數后化歸為求函數的最值的方法，如m≥f(x)恒成立等價于m≥fmax(x),m≤f(x)恒成立等價于m≤fmin(x)等.二次函數是高考考查的重點內容，備考時應重視對這方面知識的復習．

2.1.3 構造二次分式型函數模型

例3設x,y為實數，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是________．

(2011年浙江省數學高考理科試題)

分析本題主要考查基本不等式的應用,求解時要注意1的代換．

解令S=2x+y,則

因為xy≠0，所以

評注本題也可直接應用基本不等式或構造直線與二次曲線有公共點的模型，求解時要結合配湊的技巧.最后的結果要注意開方，避免出錯．

2.1.4 利用公式構造函數模型

例4f(x)是定義在(0,+∞)上的可導函數，且滿足f(x)>0，xf′(x)-f(x)<0.對任意的正數a，b,若a>b，則必有

( )

A.af(b)

C.af(a)

分析本題考查商函數的求導、單調性和導數的關系，解題時要認真審題，注意導數的合理運用.

即bf(a)

評注商函數的求導是求解本題的關鍵，根據選項信息構造函數，結合單調性來處理．

2.1.5 構造其他函數模型

例5已知不等式

對于一切大于1的自然數n都成立，求實數a的取值范圍．

分析本題的難點在于不等式左邊的式子很難求和，注意到左式與n有關，而右式與n無關.從函數的觀點看，左式是關于n的函數，要使原不等式成立，即求這個函數的最小值大于右式，即轉化為求函數最值的模型．

因此f(n)是關于n的遞增函數，即

評注本題主要考查函數思想在解決不等式、數列等問題中的應用，需要學生有較強的綜合分析能力和解決問題能力.

2.2 構造數列模型

2011年浙江省數學高考理科試題以解答題的形式對數列知識進行考查，體現了命題者對數列考試要求的轉變．數列作為特殊的函數，與方程、不等式、三角函數、解析幾何等聯系緊密.解答數列綜合題和應用性問題既要有堅實的基礎知識,又要有良好的思維能力和分析、解決問題的能力．

(2011年四川省數學高考理科試題)

解設數列{an}的前n項和Sn，且

從而

a1=S1=1，

當2≤k≤100時，

ak=Sk-Sk-1=

評注本題運用數列的方法解決函數問題，運用“差值比較法”比較大小.解答此類問題時，應充分運用觀察、歸納、猜想等手段，建立有關等差(比)數列、遞推數列的模型，再綜合其他相關知識來解決．

2.3 構造不等式模型

2.3.1 構造基本不等式模型

(2008年江蘇省數學高考理科試題)

分析已知條件是x,y,z的代數和，而要求的是乘積xz，易聯想到基本不等式模型.

解將x-2y+3z=0移項平方得

4y2=x2+6xz+9z2≥

評注本題主要考查二元基本不等式，運用消元的思想進行求解，這是高考考查的重點內容之一．

2.3.2 構造柯西不等式模型

(2012年浙江省數學高考調測試題)

分析本題考查利用三維柯西不等式和三元均值不等式求最小值，求解的關鍵是添項．

解由柯西不等式得

(1)

又由均值不等式知

a2+b2+c2≥ab+bc+ca,

評注應用柯西不等式和均值不等式證明一些簡單的不等式、解決最大(小)值問題是自選模塊《數學史與不等式選講》中的常規問題.解題的難點是配湊相應的項，使用時應重點掌握不等式(包括變形)的結構特征．

2.4 構造計數模型

例9若數列{an}共有11項，a1=0，a11=4,且|ak+1-ak|=1(k=1,2,…,10),則滿足條件的不同數列的個數為

( )

A．100 B．120 C．140 D．160

(2011年同濟大學等9校自主招生數學試題)

分析原問題等價于“從數軸上原點出發，每次向左(或右)走一個單位長度，走10步，到達4所對應的點，求不同的走法有幾種”.

評注本題的立意是要求學生真正理解、領悟知識的本質，思維要求較高，值得關注．

2.5 構造幾何模型

2.5.1 構造圓模型

例10已知平面向量α,β,(α≠0,α≠β)滿足|β|=1，且與β-α的夾角為120°，則|α|的取值范圍是________．

(2010年浙江省數學高考理科試題)

分析本題考查平面向量的四則運算及其幾何應用，突出考查問題的轉化能力和運用數形結合方法解題的能力．

評注在近幾年的浙江省數學高考試題中，平面向量試題的命制往往兼顧向量的代數性質和幾何背景,而構造適當的平面圖形，借助平面幾何的性質解題已成為一道獨特的“風景”．

2.5.2 構造圓柱模型

例11如圖1所示，AB是平面α的斜線段，A為斜足.若點P在平面α內運動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是

( )

A．圓 B．橢圓

C．1條直線 D.2條平行直線

(2008年浙江省數學高考理科試題)

圖1 圖2

分析如圖2所示，因為△ABP的面積為定值，AB是定線段，所以動點P到定線段AB的距離為常數(不妨設為d)，則P在以直線AB為軸，半徑為d的圓柱側面上，于是可結合圓柱模型作答.

解由于動點P的軌跡為圓柱側面被平面α所截的圖形，而軸AB是平面α的斜線段，于是圓柱側面與平面α斜交，因此動點P的軌跡為橢圓.故選B.

評注本題是立體幾何中的軌跡問題，解題的關鍵是理解圓錐曲線的“由來”，這提示我們應充分重視課本知識和數學概念，理解其本質含義．

2.5.3 構造正方體模型

( )

圖3

分析若利用正四面體外接球的性質，構造直角三角形去求解，過程冗長，容易出錯.把正四面體補形成正方體，則迎刃而解.

評注補形是解立體幾何題的一種重要方法.幾何體的補形要圍繞已知條件來進行，通常策略是把棱錐補成棱柱，把臺體補成錐體，把不規則幾何體補成規則幾何體等．

3 精題集萃

( )

3．已知直線l1:4x-3y+6=0和直線l2:x=0，拋物線y2=4x上一動點P到直線l1，l2的距離之和的最小值是________．

5．設實數x,y滿足3x2+2y2≤6，求2x+y的最大值．

6．圓x2+(y-1)2=1上任意點P(x,y)中的x,y對不等式x+y+m≥0恒成立，求m的取值范圍．

參考答案