數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的“真”、“善”、“美”

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(義烏中學(xué) 浙江義烏 322000)

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的“真”、“善”、“美”

●朱恒元

(義烏中學(xué) 浙江義烏 322000)

如果說概念課強(qiáng)調(diào)的是基礎(chǔ)和全面，那么習(xí)題課側(cè)重的是重點(diǎn)和提高.后者教學(xué)的通常做法是羅列一些知識(shí)點(diǎn)和“七方八法”，讓解題“對(duì)號(hào)入座”，這就容易出現(xiàn)“炒冷飯”、“走過場(chǎng)”的教學(xué)現(xiàn)象.其原因何在？原來是我們的課堂教學(xué)過于飽和求“真”，而沒有充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)問題和教學(xué)的“善”與“美”.其實(shí)，缺了“善”，學(xué)生的思維密度低，提不起精神，過早出現(xiàn)“高原反應(yīng)”；少了“美”，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣弱，感到學(xué)習(xí)就是做題，容易產(chǎn)生“視覺疲勞”.數(shù)學(xué)的理性思維活靈活現(xiàn)，數(shù)學(xué)的以美啟真熠熠生輝，關(guān)鍵是我們?cè)鯓尤c(diǎn)擊，怎樣去碰撞.

筆者曾在義烏市高中數(shù)學(xué)教研活動(dòng)中上過一堂“直線與圓錐曲線相切問題”的公開課.試想從這節(jié)課的教學(xué)展開，簡(jiǎn)談數(shù)學(xué)課堂教學(xué)如何追求“真”、“善”、“美”的實(shí)踐和認(rèn)識(shí).

圖1

1 一堂課的教學(xué)實(shí)錄

師：請(qǐng)同學(xué)們談一談解題思路.

生2：設(shè)切點(diǎn)為P(x0,y0)，則切線的斜率

從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo).

師：生1給出的是一般性、通用性的方法；生2給出的是技巧性、靈活性的方法.

學(xué)生演算，教師巡視，一會(huì)兒請(qǐng)3位學(xué)生代表進(jìn)行板演(把演算結(jié)果的主干部分抄錄在黑板上).

生3：用方程組的通法解(這里略).

得x0=4，故P(4,-4).

師：生4、生5都利用了導(dǎo)數(shù)求解，但結(jié)果不同，誰(shuí)是誰(shuí)非呢？

生6：生5是正確的，結(jié)果也與生3一致.生4解錯(cuò)了，因?yàn)槲覀冋f的導(dǎo)數(shù)是“函數(shù)的導(dǎo)數(shù)”，所應(yīng)用的求導(dǎo)公式是“y對(duì)x的求導(dǎo)”，因此，必須先求得y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.

師：這位同學(xué)的分析鞭辟入里，很好.雖然生5的解法是正確的，但格式的規(guī)范還可以改進(jìn).根據(jù)生6的看法，可利用導(dǎo)數(shù)求解這類問題，一般有“選段”、“改寫”、“求導(dǎo)”三步曲.其中的選段，就是在曲線上選取一段，使之能成為某個(gè)函數(shù)的圖像；改寫，就是寫出選取圖像所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式(y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式)，它是曲線方程的改變形式；求導(dǎo)，就是應(yīng)用所學(xué)的求導(dǎo)公式進(jìn)行“y對(duì)x的求導(dǎo)”.

圖2

(1)求橢圓方程；

學(xué)生迅速完成第(1)小題的解答：

師：對(duì)于第(2)小題，不失一般性，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限.同學(xué)們自己試解一下.

片刻，選2位學(xué)生代表進(jìn)行板演(把演算結(jié)果的主干部分抄錄在黑板上).

生7：設(shè)過點(diǎn)P的切線方程為

y=y0+k(x-x0)，

(1)

由條件可得此方程有2個(gè)相等的實(shí)根，故

Δ=1+4k2-(y0-kx0)2=0.

生7解題受阻.

從而

又由條件，得

于是

故

圖3

生9：不失一般性，不妨選取橢圓在第一象限的部分(如圖3)，則圖像所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為

設(shè)切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0)，則

從而

于是

即

因此

師：在這里，生9的解法就有明顯的優(yōu)勢(shì).看來，思路、方法和技巧構(gòu)成了數(shù)學(xué)解題的一個(gè)系統(tǒng)工程，有必要加以關(guān)注.

4）數(shù)字化資源則指的是各種慕課平臺(tái)提供的資源和高校開發(fā)、建設(shè)的大量網(wǎng)絡(luò)課程、微課、慕課等，主要為學(xué)生在課下自主學(xué)習(xí)和課程交流協(xié)作學(xué)習(xí)提供學(xué)習(xí)資源。

(1)求橢圓方程；

圖4

讓學(xué)生們?cè)嚱猓侔焉?0和生11的演算結(jié)果用投影儀展示出來.

解法1(1)過點(diǎn)A，B的直線方程為

Δ=a2b2(a2+4b2-4)=0(ab≠0)，

故

a2+4b2-4=0.

a2=4b2.

從而

解法2(1)選取橢圓在第一象限的部分，則圖像所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為

設(shè)切點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x0,y0)，則

得

從而

代入直線方程得

因此

教學(xué)片斷4

生12：取線段AF2的中點(diǎn)為M，可得

|AT|2=|AF1|·|AM|.

師：很好！請(qǐng)同學(xué)們由此觀察，你發(fā)現(xiàn)圖形有哪些特點(diǎn)，得出什么結(jié)論？

學(xué)生的興致很濃，你一言我一語(yǔ)，最后發(fā)現(xiàn)：△ATM與△AF1T相似(因?yàn)閷?duì)應(yīng)邊成比例且夾角相等)，得出結(jié)果：∠ATM=∠AF1T.于是問題3的變化題也就“應(yīng)運(yùn)而生”了.

圖5

(1)求橢圓方程；

(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為線段AF2的中點(diǎn)，求證：∠ATM=∠AF1T.

師：剛才，我們編擬出了一道變化題，并給出了一種解答，但總覺得平面幾何的味道太濃.請(qǐng)大家再思考一下，拿出一個(gè)最優(yōu)解法來.

所以

∠ATM=∠AF1T.

師：這位同學(xué)運(yùn)用傾斜角、斜率和三角函數(shù)的正切公式等知識(shí)解決了問題，思路非常清晰！

2 課堂教學(xué)的“三維目標(biāo)”

2.1 真——知識(shí)在變式訓(xùn)練和辨析糾錯(cuò)中鞏固

對(duì)于直線與二次函數(shù)型拋物線相切的問題1，學(xué)生平時(shí)訓(xùn)練有素，通法技法運(yùn)用自如.但我們想“大海掀起波瀾”、“樂章開始變奏”，在教學(xué)片斷1變式練習(xí)中“引蛇出洞”，著重糾正對(duì)“函數(shù)的導(dǎo)數(shù)”概念的錯(cuò)誤理解.通過辨析“方程的曲線”和“函數(shù)的圖像”的聯(lián)系與區(qū)別，使技法的“生命”得到延續(xù)，讓技法的操作更程式化.我們利用導(dǎo)數(shù)求解這類問題，一般有“選段”、“改述”、“求導(dǎo)”三步曲.解題過程中讓學(xué)生口述三步曲的3個(gè)關(guān)鍵詞：“選段”、“改述”、“求導(dǎo)”，以給學(xué)生耳目一新的視覺沖擊.

2.2 善——方法在深刻理解和理性選擇中優(yōu)化

教學(xué)片斷3中的問題3是2006年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題，在解答第(1)小題時(shí)，用求導(dǎo)的方法并不見得好些.通過這個(gè)良好的教學(xué)載體，無非是要表明“通性通法屬首選，技法巧法也要會(huì)”的教學(xué)主張.我們?cè)诮虒W(xué)中還進(jìn)一步強(qiáng)化了格式的規(guī)范性和步驟的嚴(yán)謹(jǐn)性.

2.3 美——能力在返璞歸真和直覺頓悟中提升

對(duì)教學(xué)片斷4中問題3第(2)小題結(jié)果的再審視，它是本節(jié)課教學(xué)的重頭戲.通過對(duì)結(jié)果的“求美”，我們有了一系列的教學(xué)發(fā)現(xiàn)，編擬出了問題3的變化題(這是2006年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)，讓學(xué)生享受到了成功的喜悅.在順?biāo)浦壑校闷矫鎺缀沃R(shí)解決了此題.但此時(shí)教師及時(shí)給學(xué)生“潑了盆冷水”(總覺得平面幾何的味道太濃)，引導(dǎo)學(xué)生尋求運(yùn)用傾斜角、斜率和三角函數(shù)的正切公式等知識(shí)加以解決.這可不是簡(jiǎn)單的“一題多解”，而是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“返璞歸真”，讓學(xué)生始終把握住解析幾何的本質(zhì)——用代數(shù)的方法研究幾何的性質(zhì)！

朱恒元，1962年生，浙江義烏人，中學(xué)高級(jí)教師.1980年參加教育工作.曾任浙江省教育廳教研室高中數(shù)學(xué)教研員，現(xiàn)為金華市數(shù)學(xué)會(huì)副會(huì)長(zhǎng)兼學(xué)術(shù)委員會(huì)主任.先后在《數(shù)學(xué)通報(bào)》等報(bào)刊上發(fā)表教研文章100余篇，其中被中國(guó)人民大學(xué)書報(bào)資料中心《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》全文轉(zhuǎn)載10篇.先后被評(píng)為(獲得)金華市拔尖人才、浙江省名師首批培養(yǎng)人選、教育部中小學(xué)骨干教師國(guó)家級(jí)培訓(xùn)對(duì)象、浙江省特級(jí)教師、全國(guó)“蘇步青數(shù)學(xué)教育獎(jiǎng)”.