接天蓮葉無窮碧 映日荷花別樣紅
——2012年浙江省數學高考創新題評析

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(龍泉市第一中學 浙江龍泉 323700)

接天蓮葉無窮碧映日荷花別樣紅
——2012年浙江省數學高考創新題評析

●林懷傳

(龍泉市第一中學 浙江龍泉 323700)

自從2004年浙江省高考數學考試說明首次將創新意識作為高考數學考查的七大能力之一走進高考試卷以來，伴隨課程改革的腳步，浙江卷中的創新題如縷縷清風，拂面而來.它們題意明確、構思精巧、內涵深刻、解法靈活，構成了浙江卷中一道靚麗的風景．近8年的命題實踐，浙江卷對創新意識的考查定位為：對創新意識的考查是對高層次理性思維的考查，要創設新穎的問題情景，構造有一定深度和廣度的數學問題，注重問題的多樣化，體現思維的發散性，精心設計考查數學主體內容、體現數學素質的試題；反映數、形運動變化的試題及研究型、探索型、開放型的試題．2012年浙江卷中的創新題更是讓人耳目一新，它們或自然清新、簡潔明快，或意境高遠、耐人咀嚼．可謂接天蓮葉無窮碧，映日荷花別樣紅．本文從關注學科本質，支持高中課改，彰顯理性精神和人文價值等視角，對2012年浙江省數學高考試卷中的創新題加以評析．

1 常中見新，展示高考創新題對數學學科本質的關注

對支撐高中數學學科的主干內容，堅持重點考查，并做到常考常新，是高考浙江卷的命題宗旨之一．新意從何而來？分析近年來的浙江省高考試題，不難發現浙江卷特別強調用統一的數學觀點組織材料，通過巧妙設問、精心設置問題，突出創新意識的考查．精巧的構思一方面是為考生從不同角度、運用不同思維方法求解問題預設了多種解題途徑，提供充分展示能力的空間,另一方面也凝聚命題專家對數學內涵的揭示，以及數學思維的感悟、數學思想方法的體驗，也就是對數學本質的關注．

例1設Sn是公差為d(d≠0)的無窮等差數列{an}的前n項和，則下列命題錯誤的是 ( )

A.若d<0，則數列{Sn}有最大項

B.若數列{Sn}有最大項，則d<0

C.若數{Sn}是遞增數列，則對任意n∈N*，均有Sn>0

D.若對任意n∈N*，均有Sn>0，則數列{Sn}是遞增數列

(2012年浙江省數學高考理科試題)

點評數列是高中數學的重要內容．本題抓住數列是特殊的函數這一本質屬性，站在函數的角度(單調性和最值)構思4個選項，樸實中含新意．人教A版《數學》必修4中特別強調用函數的圖像進行等差數列與等比數列相關性質的研究，說明考查的導向與教材的變化相吻合．

教學啟示數列是中學數學的主干內容之一．新教材把數列作為反映自然規律的基本模型來認識，在內容編排上有下列3個特點：(1)增加了數列的實際應用背景；(2)突出了某些重要的數學思想方法的運用，如類比思想、歸納思想、數形結合思想、算法思想、方程思想以及特殊到一般的思想方法；(3)強調了基本量思想，但對涉及5個基本量之間的繁難的技能訓練題目，要求明顯降低．在教學中，教師要在認真分析教材的基礎上，按要求組織教學，用自己的教學行為踐行教材的變化．

例2設a∈R,若x>0時，均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,則a=______．

(2012年浙江省數學高考理科試題)

點評試題立足于中學數學中主干內容——函數和不等式．以學生最為常見的含參數不等式為載體，考查學生理解能力、推理能力和數形結合的思想方法．

圖1

教學啟示數形結合是中學數學的重要思想方法，如何幫助學生領會數形結合的本質并能在新的問題情景中靈活運用？首先是要提高學生恒等變形的能力，恒等變形是只變其形不變其質的數學推理，目的是為了從“好”的形式中看出數學關系式的本質．其次是要提高學生的轉化能力，也就是一方面數量關系和幾何圖形(像)的相互轉化，另一方面是定性結果和定量結果的相互轉化.再次是用統一觀點聯系對象的能力，特別注意函數觀點是把不同對象聯系起來的好觀點．

2 淡中見雅，體現高考創新題對深化新課改理念的支持

情境的新穎性是創新型試題的一個顯著特點．考生應對情境新穎的試題，一般需要具有自主學習的能力，即會搜集、提煉、加工信息，對閱讀內容進行概括和理解，看清問題的本質，然后通過分析、演算、歸納、猜想、類比或論證等方法解決問題．這種設計問題的思路和新課程強調的改變學生的學習方式,提倡自主學習不謀而合．2012年浙江卷的情景設置淡中見雅．“淡”是指保持問題情境的數學味，自然清新，不刻意堆砌，不隨意裝飾．“雅”是指試題呈現簡潔明快，試題內涵意境高遠．

例3設a>0,b>0. ( )

A.若2a+2a=2b+3b,則a>b

B.若2a+2a=2b+3b,則a

C.若2a-2a=2b-3b,則a>b

D.若2a-2a=2b-3b,則a

(2012年浙江省數學高考試題)

點評本題情境新穎，結構簡單但內涵豐富．審題時需要考生搜集、提煉、加工試題信息，并在概括中理解．解題思路寬、方法多，從不同角度測試學生的數學能力．本題最讓人稱道之處是簡潔明快，意境高遠．

圖2

分析方法1運用函數圖像

設f(x)=2x+2x和g(x)=2x+3x，畫出其圖像(如圖2)，觀察圖像可知選A.

方法2反證法

設a≤b，則2a≤2b且2a≤3b，從而2a+2a≤2b+3b得出矛盾，從而選A．

教學啟示新課程要求在課堂教學中創設問題情景，激發學生的思維活動．本題為我們日常教學中的情景創設提供了范例．面對本題，許多考生都有“心欲求而未得，口欲言而不能”的感受，這說明了好的問題和好的情景真正達到了情景交融的境界．

A.存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直

B.存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直

C.存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直

D.對任意位置，3對直線“AC與BD”、“AB與CD”、“AD與BC”均不垂直

(2012年浙江省數學高考理科試題)

點評本題借助圖形運動考查考生對立體幾何中的直線和直線的位置關系的掌握程度，選取角度獨特，不落窠臼，設問方式有創新，是整份試卷中唯一一個確定結論是否存在的存在型問題．

分析如圖3，△ABD在翻折過程中，點A在平面ABCD內的射影的軌跡是線段AA′，當點A在平面ABCD內射影A0在AA′和CD的交點處時，AD的射影和BC垂直，因此AB與CD垂直．

圖3

教學啟示本題的解題過程就是“直觀感知—操作確認—思辨論證”.新課程對立體幾何教學設計的要求是遵循“直觀感知—操作確認—思辨論證”的認知過程，讓學生通過自主探索、合作交流，進一步認識和掌握空間圖形的性質,積累數學活動的經驗、發展合情推理能力、發展空間觀念．其中“直觀感知—操作確認—思辨論證”是過程也是目的，更是積累數學活動經驗、感悟理性思維的好策略．新課改理念為高考創新題的命制提供了更加肥沃的土壤．

3 俊中見秀，彰顯高考創新題內蘊的科學和人文價值

背景新穎、內涵深刻是高考創新題的靈魂．2012年浙江卷中的創新題從學科的整體知識結構和思想體系的高度設計試題，載體簡單，題干簡潔，往往從一個小的視角出發進行深層次的挖掘，呈現出一個大的問題，展示出一個大的觀點，構造出一個大意境，也就是在俊美的外表下蘊含科學和人文價值的秀氣．

例5已知a>0，b∈R,f(x)=4ax3-2bx-a+b,

(1) 證明：當0≤x≤1時,

①函數f(x)的最大值為|2a-b|+a;

②f(x)+|2a-b|+a≥0.

(2)若-1≤f(x)≤1,對x∈[0,1]恒成立，求a+b的取值范圍．

(2012年浙江省數學高考理科試題)

點評該題語言簡潔、準確，模型具體、簡明，融思想、能力與素質于一體．對雙參數的三次函數f(x)=4ax3-2bx-a+b，粗看意料之外，細想情理之中．用最簡單的函數設計最深刻的問題正是為了突出對數學思想方法和人文價值的考查.

分析第(1)小題，學生只需注意a>0和0≤x≤1這2個條件，運用開口向上的二次函數在閉區間上的最大值只能在端點處取到，就有如下解法

f(x)= 4ax3-2bx-a+b≤

4ax2-2bx-a+b≤

max{f(0),f(1)}=2|2a-b|+a.

第(2)小題除了用標準答案中的線性規劃解決外，還可以這樣思考：

注意到f(0)=b-a,f(1)=3a-b,從而

a+b=2f(0)+f(1)≤2+1=3.

同時注意到

2a=f(0)+f(1)>0,

a+b= 2f(0)+f(1)=f(1)+f(0)+f(0)>

f(0)>-1,

因此

-1

教學啟示對函數導數問題，浙江卷堅持在高中數學所學的知識體系中命題，放棄把高等數學中的定理適當弱化后植入高考試卷的做法，而是在具體、簡明的函數模型中設計問題，考查學生的創新意識．從本題的解決過程中，不難發現要提高學生的創新意識，首先要提高學生的下列能力：(1)站在學科的整體高度從宏觀上審視問題的能力；(2)站在數學思想方法的高度對問題本質認識和把握的能力；(3)對問題提供的信息進行分揀、加工、組合并尋找合適的解決方法的能力；(4)善于知識遷移和運用知識塊、思維塊簡約思維的能力．

縱觀以上評析，筆者認為教師只有在鉆研教學內容和教學方法上下功夫，才能培養學生的創新意識和創新精神．特別是加強對知識建構過程的研究，真正讓學習過程成為學生的探究過程，拓展思維的視角，體驗創新活動.同時，深化對學生思維方式的研究，讓學生在數學的理解中，提升逆向思維能力和發散思維能力．總之，回歸數學課堂教學本源意義，在知識的形成、發展過程中提升學生的數學素養和創新意識．

[1] 浙江省教育考試院.2012年浙江省普通高考考試說明[M].杭州:浙江攝影出版社，2012.

[2] 浙江省高考命題咨詢委員會.2011年浙江省高考命題解析(理科數學)[M].杭州:浙江攝影出版社，2011.