對2012年江西省數學高考理科第20題的研究

●

(彭陽縣第三中學 寧夏彭陽 756500)

對2012年江西省數學高考理科第20題的研究

●王伯龍

(彭陽縣第三中學 寧夏彭陽 756500)

例1已知3個點O(0，0)，A(-2，1)，B(2，1)，曲線C上任意一點M(x,y)滿足

(1)求曲線C的方程.

(2)動點Q(x0,y0)(-2

(2012年江西省數學高考理科試題)

本題綜合的考查了圓錐曲線上的動點、切線及其三角形面積等相關知識.當筆者看到該題后的第一感覺是第(2)小題在設置上立意新穎，獨具匠心，凝聚了命題專家的靈感與智慧，值得繼續學習與研究.

易得曲線C的方程為：x2=4y.對于第(2)小題，探究的結果是存在定點P(0,-1)，使得△QAB與△PDE的面積之比是常數2.仔細分析題中的條件和得出的結論，不難發現：點P(0,-1)恰是拋物線C的準線y=-1與對稱軸的交點，已知點A與點B的連線過拋物線的焦點(0,1)，容易驗證PA，PB恰是拋物線的2條切線，因而第(2)小題得到的結論是特殊的情形，一般化可得：

圖1

又DE:2pty=p(x+2pt2)，即

DE:2ty=x+2pt2.

(1)

(2)

(3)

(4)

將式(1)，式(2)代入式(4)化簡得

(5)

y2-2ny-p2=0，

由根與系數的關系得

y1+y2=2n,y1y2=-p2.

因此

(2pt-y1)(2pt-y2)=4p2t2-2pt(y1+y2)+y1y2=4p2t2-4ptn-p2，

將其代入式(5)化簡得

(6)

由式(3)和式(6)得

將結論1中“過準線l上任意一點”推廣為“過定直線l:x=-m(m>0)上任意一點”，結論是否成立？經過嘗試，便有如下的結論.

證明如圖1，設動點Q(2pt2,2pt)，P(-m,n)，A(x1,y1)，B(x2,y2),則切點弦

PA：y1y=p(x+x1)，PB:y2y=p(x+x2),AB:ny=p(x-m).

又DE:2pty=p(x+2pt2)，即

DE:2ty=x+2pt2.

(7)

將式(1)，式(2)代入式(7)化簡得

(8)

y2-2ny-2pm=0,

又由根與系數的關系得

y1+y2=2n,y1y2=-2pm.

因此

(2pt-y1)(2pt-y2)=4p2t2-2pt(y1+y2)+y1y2=4p2t2-4ptn-2pm,

將其代入式(8)化簡得

(9)

由式(3)和式(9)得

將結論中的“過定直線l:x=-m(m>0)上任意一點”，換成“過拋物線外的任意一點P(s,q)”，結論是否成立？

圖2

結論3的證明,可仿結論2的證法，有興趣的讀者可自行證明.筆者經過演算，上述結論是拋物線特有的性質，對于橢圓、雙曲線不成立.

上述結論體現了拋物線切點三角形的面積和外切三角形面積之間的一個定比關系，如果從斜率的角度出發去研究也會得到有趣的結論.關于這方面的研究文獻[1]已給出相應的結論.

定理[1]過拋物線C:y2=2px(p>0)外任意一點P作拋物線的2條切線PA,PB,切點分別為A,B,動點Q為拋物線C上在A,B之間部分上的任意一點，拋物線C在點Q處的切線分別交PA,PB于點D,E(如圖2).用kAB,kBQ,kQA分別表示直線AB,BQ,QA的斜率，用kA,kB,kQ分別表示拋物線上切于點A,B,Q處的切線的斜率，則

[1] 苗相軍，孫勝田.圓錐曲線外切三角形和切點三角形邊的斜之關系[J].數學通訊，2012(5)：48-49.