一道浙江省數學高考試題的解法賞析

●

(蒙自高級中學 云南蒙自 661100)

一道浙江省數學高考試題的解法賞析

●蘇保明

(蒙自高級中學 云南蒙自 661100)

在解題中常會遇到一類帶條件的最值問題，此類問題的解決難度不大，只要認真審題仔細推敲，便會找到許多解法，這也充分體現了高考試題考查學生掌握數學思想方法的功能.

例1若正數x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是 ( )

(2012年浙江省數學高考文科試題)

該題是一道很具靈活性與挑戰性的高考試題，它蘊含著多種解題方法.本文介紹8種方法，僅供參考.

解法1常數代換法

因為x+3y=5xy，且x>0,y>0，所以

3x+4y≥5,

故3x+4y的最小值是5.

解法2三角法

因為x+3y=5xy,且x>0,y>0，所以

3x+4y≥5，

故3x+4y的最小值是5.

點評根據已知條件適當引入三角變量，再利用三角恒等變換和三角函數的性質進行求解.

因為x+3y=5xy，且x>0，y>0,所以

即

3x+4y≥5，

故3x+4y的最小值是5.

解法4向量法

因為x+3y=5xy，且x>0,y>0，所以

從而

3x+4y≥5，

故3x+4y的最小值是5.

點評通過構造向量，利用向量數量積不等式|m·n|≤|m|·|n|解不等式最值問題，能使運算過程簡潔明了.

解法5柯西不等式法

因為x+3y=5xy，且x>0,y>0，所以

由柯西不等式，得

即

3x+4y≥5，

故3x+4y的最小值是5.

點評根據試題本身的結構特征，通過柯西不等式，可使解決過程簡便，解答通俗易懂，值得推廣和應用.

解法6導數法

因為x+3y=5xy，且x>0,y>0，所以

即

又因為

所以

令f′(x)=0，則

解得

故3x+4y的最小值是5.

點評構造一元函數，將原問題轉化為函數的最值問題，再通過求導和利用函數的單調性，使問題得到圓滿解決，體現了導數法的解題功能.

解法7巧用數學期望EX2≥(EX)2

因為x+3y=5xy，且x>0,y>0，所以

構造離散型隨機變量X的分布列(見表1)：

表1 X的分布列

3x+4y，

由EX2≥(EX)2得

3x+4y≥5，

故3x+4y的最小值是5.

點評構造離散型隨機變量X的分布列，再根據方差的性質EX2≥(EX)2，使問題順利解決，利用方差的性質解題的關鍵是能正確構造離散型隨機變量X的分布列.

解法8極坐標法

因為x+3y=5xy，且x>0,y>0，所以

把X=ρcosθ,Y=ρsinθ(0≤θ<2π)代入X+Y=5,得