由一道“變態”高考題的幾組解法引起的教學反思

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(安豐中學 江蘇東臺 224221)

由一道“變態”高考題的幾組解法引起的教學反思

●崔志榮

(安豐中學 江蘇東臺 224221)

1 一道“變態”的高考題

圖1

(1)求橢圓的方程.

(2)設點A,B是橢圓上位于x軸上方的點，且AF1∥BF2，點P為AF2與BF1的交點.

②求證：PF1+PF2是定值.

(2012年江蘇省數學高考試題)

筆者對這道高考題的解法作了一些研究，得到了一些有關解析幾何復習的教學體會，和讀者交流.

2 幾組解法的評析

第Ⅰ組 ①解設直線AF1的方程為

x=my-1，

聯立

消去x整理得

(m2+2)y2-2my-1=0，

解得

同理

因此

解得

m2=2,

②證明由AF1∥BF2，知

△PAF1∽△PF2B，

從而

即

同理

因此

由第①小題知

故

點評第①小題通過聯立直線與橢圓的方程，求出點A,B的縱坐標，再用兩點間的距離公式求長度，也可以設直線的點斜式方程，求點A,B的橫坐標(可由AF1>BF2，利用xA>-1，xB>1來舍根).這種方法是容易想到的，但很多學生未付諸于行動，擔心難于運算，這也與平時教學有關，很多教師不重視這種方法.第②小題充分利用了轉化思想，抓住相似三角形，把PF1+PF2轉化為AF1與BF2表示，在第①小題的基礎上才能完成.

y=k(x+1)，

聯立

消去y整理得

(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,

從而

(因AF1∥BF2且AF1>BF2，易知x2<-1

解得

即

設P(x,y)，則

式(1)-式(2)得

解得

代入式(2)，得

化簡得

因此點P的軌跡為橢圓，焦點正好為F1與F2，故

點評第①小題巧用對稱性，只需要考慮直線AF1與橢圓聯立來研究點A與點B′的橫坐標關系，使運算量大大減少.第②小題的解答與第①小題沒有必然的關聯，如何思考使用軌跡的方法呢？結論要證明PF1+PF2為定值，而F1,F2為定點，那么動點P的軌跡應是橢圓，故設點P(x,y)，再利用相似把它轉移到點A,B的坐標后代入橢圓方程，最后消去參數λ，求出點P的軌跡方程.

第Ⅲ組 ①解設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則

由焦半徑公式,得

從而

因為AF1∥BF2，所以

從而

即

化簡得

2x1x2+3(x2-x1)-4=0.

解得

從而

即

②證明設△APF1與△F2PB的相似比為λ，則

若x1=-1,則x2=1,λ=1,結論成立.若x1>1，則x2>1(若x1<1，則x2<1)，因為

(k為直線AF1的斜率),所以

3 幾點教學反思

解析幾何作為一種重要的數學思想方法，一直都是高考的重點和熱點之一，這部分內容也格外受到教師和學生的重視.但一個不容否認的事實是：教師感到這部分內容的教學效果不如人意，學生似懂非懂，解題出錯率非常高.結合以上3組解答，筆者對解析幾何的教學提幾點建議：

(1)重基本思路，重基礎運算

比較第①小題的3種方法可以發現，第Ⅰ組為基本方法，學生容易理解，教學中不可輕視這種基本思路的講解，但它的運算量偏大，學生不敢動筆，說明基礎運算是教學中的一個大問題.在平時教學中，教師若走捷徑，走技巧運算，則會造成學生眼高手低，基礎不牢，使學生在考場上總想容易的方法，容易導致失敗.據此，筆者認為在解析幾何教學中，要重視基本方法的剖析，淡化技巧方法的講解，淡化特技運算，重視基礎運算.

(2)代數方法為主，幾何方法為輔

解析幾何的本質是用代數的方法解決幾何問題，解題結構為：幾何問題→代數問題→代數研究→幾何結果，幾何法不應是解析幾何的教學重點.

從3組解法中可以看出，第Ⅱ組的第①小題用到了幾何對稱性，第②小題由于AF1∥BF2都用到了三角形相似的知識，但這些幾何知識在解答過程不起主導作用，也是基礎知識，是必要的輔助.有些經驗豐富的教師，了解不少解析幾何題的幾何背景，課堂上能把問題一步剖析到最簡潔的幾何方法，但實際上是效果不大，原因是很少有學生了解高考題的背景，還是要腳踏實地用好代數方法.

(3)重分析，重比較

在解析幾何中，很多題是有多種方法的，它們的思路不相同，實際計算效果也不一樣.因此，教學中要做到2點：一是重思路的分析,如本文中的第②小題，第Ⅰ組解答建立在第①小題的基礎上，將PF1+PF2轉化為AF1和BF2,第Ⅱ組則是由結論分析到軌跡思路,第Ⅲ組是借助焦半徑后運用轉化，都是合理的分析;二是重視方法的比較是必要的，如第①小題的3種方法，第Ⅱ組方法靈活，運算簡便,第Ⅰ、Ⅲ組是基本方法，運算量都大.只有通過比較，才能使不同層次的學生有他們自己的選擇，才能使他們更準確的認識問題的本質，才能使他們在解題時游刃有余.

(4)重過程的步驟，重針對性的訓練