導(dǎo)數(shù)與解析幾何完美的交匯
——2012年浙江省數(shù)學(xué)高考文、理科解析幾何題評(píng)析

(溫州市第十五中學(xué) 浙江溫州 523011)

導(dǎo)數(shù)與解析幾何完美的交匯
——2012年浙江省數(shù)學(xué)高考文、理科解析幾何題評(píng)析

●黃高涌

(溫州市第十五中學(xué) 浙江溫州 523011)

1 教學(xué)要求與考查要求

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容，其核心是用代數(shù)的方法研究解決幾何問(wèn)題，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法，此類試題主要考查運(yùn)算求解能力和推理思維能力．2012年浙江省數(shù)學(xué)高考文、理科試卷的解析幾何題都是3個(gè)，其中理科共計(jì)24分,文科共計(jì)23分．

2 命題特點(diǎn)和知識(shí)類型

2012年浙江省數(shù)學(xué)高考解析幾何題有3個(gè)明顯的特點(diǎn)：

(1)選擇題以考查基本知識(shí)和基本技能為主，覆蓋橢圓、雙曲線、拋物線等基本內(nèi)容.文科第8題是橢圓與雙曲線有共同焦點(diǎn)的問(wèn)題，理科第8題是直線與雙曲線漸近線交點(diǎn)問(wèn)題，要求學(xué)生掌握?qǐng)A錐曲線的基本幾何性質(zhì)．

(2)填空題考查點(diǎn)、直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，文科第17題、理科第16題都是直線與拋物線的最小距離問(wèn)題，體現(xiàn)了要求學(xué)生掌握直線與圓錐曲線的基本位置關(guān)系的一些簡(jiǎn)單應(yīng)用．

(3)解答題文科第22題、理科第21題是直線與圓錐曲線位置關(guān)系中的面積最值問(wèn)題，題目清晰簡(jiǎn)潔，學(xué)生容易理解題意，解題方法常規(guī).然而設(shè)置求最值的目標(biāo)函數(shù)卻很復(fù)雜，不能用一般方法求，必須轉(zhuǎn)化為高次函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值.要求學(xué)生掌握利用導(dǎo)數(shù)解決最值問(wèn)題的一般方法，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)在解決最值問(wèn)題中的重要性．

3 解析幾何題的主要內(nèi)容

圖1

(1)求橢圓C的方程；

(2)求△ABP面積取得最大時(shí)直線l的方程.

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

(2)第1階段：

設(shè)直線l:y=kx+m,代入橢圓方程C得

3x2+4(kx+m)2=12,

即 (3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.

(1)

設(shè)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則

從而

3x2-3mx+m2-3=0,

第2階段：

設(shè)f(m) =(m-4)2(12-m2)=

-m4+8m3-4m2-96m+192,

求導(dǎo)得

f′(m)= -4m3+24m2-8m-96=

-4(m-4)(m2-2m-6)=

圖2

(1)求p,t的值；

(2)求△ABP面積的最大值.

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題)

(2)第1階段：

設(shè)直線l:y=kx+m,代入拋物線方程C:y2=x,得

y=ky2+m,

即

ky2-y+m=0.

設(shè)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則

由線段AB被直線OM：y=x平分，得

從而

第2階段：

設(shè)f(x) =(x+1)2(1-x)=-x3-x2+x+1,求導(dǎo)得

f′(x)=-3x2-2x+1=-(3x-1)(x+1),

分析(1)例1的第(2)小題和例2的第(2)小題，都是在直線與圓錐曲線位置關(guān)系中求面積最值問(wèn)題，解決方法都屬于圓錐曲線的通性通法，題意容易理解，便于入手．

(2)在第1階段的解答中，2個(gè)問(wèn)題都出現(xiàn)較復(fù)雜的目標(biāo)函數(shù):

(3)2012年浙江省數(shù)學(xué)高考文、理卷的解析幾何題對(duì)利用導(dǎo)數(shù)求最值中出現(xiàn)較復(fù)雜函數(shù)提出了一定的要求，這對(duì)提升學(xué)生用導(dǎo)數(shù)解決應(yīng)用問(wèn)題的能力有良好的導(dǎo)向作用，需要教師在教學(xué)中注重提升學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．

4 教學(xué)建議

(1)重視直線、圓錐曲線的基本知識(shí)、基本方法、基本技能.如直線方程的選取、點(diǎn)到直線的距離、直線與圓錐曲線相交弦長(zhǎng)公式及直線與圓錐曲線相交的存在時(shí)的取值范圍．

(2)重視對(duì)解析幾何最值問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)造.如何把復(fù)雜的目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為或換元為一般函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求出最值，學(xué)生往往重視不夠，有必要在教學(xué)中加以強(qiáng)化.

(3)重視含參數(shù)的函數(shù)最值問(wèn)題,比較熟練掌握導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)問(wèn)題中的一般方法.

(4)解析幾何在培養(yǎng)學(xué)生的思維能力固然重要，但是如何在繁雜的演算中，理清思路，轉(zhuǎn)化為一般問(wèn)題，從而解決實(shí)際問(wèn)題，是學(xué)好解析幾何的基礎(chǔ)，也是今后在實(shí)際問(wèn)題解決中必須具備的能力.