例談2012年浙江省數學高考中的數形結合

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(海鹽縣教研室 浙江海鹽 314300)

例談2012年浙江省數學高考中的數形結合

●沈順良

(海鹽縣教研室 浙江海鹽 314300)

數形結合思想的實質是將抽象的數學語言和直觀圖形相結合，使抽象思維和形象思維結合起來.運用數形結合，能給抽象的數量關系以形象的幾何直觀，也能把幾何圖形問題轉化為數量關系.2012年浙江省數學高考重視對考生進行運用數形結合思想簡化解題的考查.

1 根據向量幾何意義簡化解題

例1設a,b是2個非零向量. ( )

A.若|a+b|=|a|-|b|，則a⊥b

B.若a⊥b，則|a+b|=|a|-|b|

C.若|a+b|=|a|-|b|，則存在實數λ，使得b=λa

D.若存在實數λ，使得b=λa，則|a+b|=|a|-|b|

(2012年浙江省數學高考試題)

分析題中各選項的條件和結論都有明顯的幾何意義，如|a+b|=|a|-|b|對應的是2個向量的方向相反且a的模不小于b的模，a⊥b,b=λa對應的是2個向量的垂直和共線.由此，直接可得答案為C.

(2012年浙江省數學高考試題)

解法1根據向量乘法

9-25=-16.

圖1

解法2如圖1，以M為原點、以MC所在直線為x軸建立直角坐標系.由條件，知C(5，0)，B(-5，0).令A(a，b),滿足a2+b2=9，則

2 利用數式來確定圖形特征

例3把函數y=cos2x+1的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，然后向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到的圖像是 ( )

A. B.

C. D.

(2012年浙江省數學高考試題)

3 構造函數圖像解決數值大小

例4設a>0，b>0. ( )

A.若2a+2a=2b+3b，則a>b

B.若2a+2a=2b+3b，則a>b

C.若2a-2a=2b-3b，則a>b

D.若2a-2a=2b-3b，則a

(2012年浙江省數學高考理科試題)

解法1y=2x+2x是增函數，對于任意實數b，“2a+2a>2b+2b”和“a>b”等價.由條件2a+2a=2b+3b>2b+2b，知a>b.故選A.

圖2

解法2構造2個函數y=2x+2x,y=2x+3x，根據它們都是增函數，且2x+3x>2x+2x，可以得到草圖(如圖2所示).當它們的函數值相等時，觀察圖像易得a>b.

分析本題需選擇合適的函數，利用增減性來解題.解法1是將等式2邊分別看成y=2x+2x(或y=2x+3x)當x=a(或b)對應的函數值，解法2根據左右兩邊看成是y=2x+2x,y=2x+3x這2個函數的對應函數值.通過圖像直觀反映出縱坐標相等時的橫坐標關系，解法更簡潔直觀.在本題的解決中包含著特殊到一般的思想、函數思想和數形結合思想.

4 運用平面幾何基本性質輔助解題

例5曲線C上的點到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離.已知曲線C1：y=x2+a到直線l:y=x的距離等于曲線C2：x2+(y+4)2=2到直線l:y=x的距離，則實數a=________.

(2012年浙江省數學高考試題)

消去y得

x2-x+a-2=0，

5 通過數的運算確定立體圖形

(1)證明：MN∥平面ABCD；

(2)過點A作AQ⊥PC，垂足為點Q，求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值.

(2012年浙江省數學高考理科試題)

圖3 圖4

分析本題的第(2)小題可用2種方法：

(1)聯結AC交BD于點O，以O為原點，OC，OD所在直線為x，y軸，建立空間直角坐標系，然后借助底面菱形可以算出菱形各個頂點的坐標，然后利用空間向量運算來求二面角；

(2)過點A作AD的垂線交BC于E，以A為原點，AE，AD，AP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系,通過作垂線求出底面菱形各點坐標，在Rt△PAC中通過長度計算得到點Q的坐標,從而運算求解(如圖4所示).

在用幾何方法解決本題時，也可以建立平面直角坐標系，通過數的運算來簡化解題.

圖5 圖6

如圖5，聯結AC，BD交于點O，聯結PO交MN于點R，由條件可得∠QRA即為所求二面角的平面角.將所求二面角對應平面角的關鍵點(R，A，Q)和題中的已知條件集中到平面△PAC中,以AO，AP所在直線為x，y軸建立平面直角坐標系，從而通過平面向量的工具將所求角轉化為2個平面向量的夾角.對于其中相對難求的垂足點Q的坐標，通過平面直角坐標系，求2條基本直線的交點即可得到，從而使整體的認識和運算得到了明顯簡化.

6 借助函數圖像簡化解題

例7設a∈R，若x>0時均有[(a-1)x-1]·(x2-ax-1)≥0, 則a=______.

(2012年浙江省數學高考理科試題)

另外理科第22題的第(1)小題的轉化解決中也涉及到三次函數的最值，第(2)小題中的線性規劃也需要借助圖像的直觀幫助解題.