與有窮等差數列的中間項有關的競賽題

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(吉安師范學校 江西吉安 343000 )

與有窮等差數列的中間項有關的競賽題

●楊文光

(吉安師范學校 江西吉安 343000 )

若等差數列{an}共有2k-1項，則中間一項為ak；若等差數列{an}共有2k項，則中間2項分別為ak，ak+1．利用有窮等差數列的中間一項或中間2項解題，簡捷明快．下面舉例說明．

( )

A.2 B.3 C.4 D.5

(2007年湖北省數學高考試題)

(1)

同理可得

B2n-1=(2n-1)bn,

評注an和bn分別為等差數列{an}和{bn}的前2n-1項的中間一項．

例2某等差數列共2n+1項，其中奇數項的和為95，偶數項的和為90，則第n+1項的值等于

( )

A.7 B.5 C.4 D.2

(第十屆“希望杯”競賽試題)

解由a1+a3+a5+…+a2n+1=95，得

即

亦即

(n+1)an+1=95．

同理，由a2+a4+a6+…+a2n=90，可得nan+1=90,從而

an+1=(n+1)an+1-nan+1=95-90=5．

故選B．

評注第n+1項為該等差數列的中間一項．

例3等差數列{an}共有2m+1(m∈N*)項，其中所有奇數項之和為310，所有偶數項之和為300，則m的值為

( )

A.30 B.31 C.60 D.61

(2007年陜西省數學競賽預賽試題)

解由例2知

(m+1)am+1=310，mam+1=300,

從而

得m=30．故選A．

解易知

a1+a3+a5+…+a2 007=1 004a1 004,

a2+a4+a6+…+a2 008=1 004a1 005，

所以

由式(1)，知

S2 007=2 007a1 004,S2 009=2 009a1 005，

從而

評注a1 004，a1 005為等差數列{an}的前2 008項的中間2項．

例5等差數列{an}中，a5<0，a6>0，且a6>|a5|，Sn是前n項之和，則下列選項正確的是

( )

A．S1，S2，S3均小于0，而S4，S5，…均大于0

B．S1，S2，…，S5均小于0，而S6，S7，…均大于0

C．S1，S2，…，S9均小于0，而S10，S11，…均大于0

D．S1，S2，…，S10均小于0，而S11，S12，…均大于0

(2006年復旦大學自主招生試題)

解由式(1)知

由a5<0,a6>|a5|，知公差d>0，a6>-a5，即a5+a6>0．于是S9<0，S10>0．故選C．

評注a5為等差數列{an}前9項的中間一項，a5，a6為等差數列{an}的前10項的中間2項．另由a1S2>…S5,S5

例6設等差數列{an}滿足3a8=5a13，且a1>0，Sn為其前n項之和，則Sn(n∈N*)中最大的是

( )

A.S10B.S11C.S20D.S21

(1995年全國高中數學聯賽試題)

解由3(a1+7d)=5(a1+12d)，知

2a1+39d=0.

因為a1>0，所以公差d<0，且(a1+19d)+(a1+20d)=0，即

a20+a21=0,

從而

圖1

由二次函數的圖像性質(如圖1)，知Sn的最大值為S20．故選C．

評注a20,a21，為等差數列{an}的前40項的中間2項，且a20+a21=0．

練習

( )

(第15屆“希望杯”全國數學競賽試題)

(2009年全國高中數學聯賽湖北省預賽試題)

3．若{an}是等差數列，首項a1>0，a2 003+a2 004>0，a2 003·a2 004<0，則使前n項和Sn>0成立的最大自然數n是

( )

A.4 005 B.4 006 C.4 007 D.4 008

(2004年重慶市數學高考試題)

參考答案