多目標進化算法和代理模型技術在氣動穩健優化設計中的應用

李焦贊，高正紅

（西北工業大學 翼型葉柵空氣動力學國家級科技重點實驗室，陜西 西安710072）

0 引 言

傳統的優化設計模型中，設計變量、目標函數和約束函數均為確定性的，不能夠反映工程設計和產品制造過程中以及服役環境等客觀存在的大量不確定性因素對設計方案的影響，使得傳統優化設計的最優解可能對于這些不確定性因素非常敏感。穩健優化設計是穩健設計和優化設計兩種方法的結合，就是通過調整設計變量的名義值和控制其偏差來保證設計最優解的穩健性。與傳統的確定性優化問題相比，穩健優化的一個顯著特點是在優化過程中需要不斷地進行不確定性分析，應用優化的手段不斷減小設計目標對不確定性因數的依賴程度，使設計結果對不確定性因數變得不敏感，即當使用環境或產品本身的參數在一定的范圍內變化時，產品的性能變化很?。?－2，4，9］。

根據穩健設計各種不同應用目的，可派生出兩種類型的優化設計問題［3］，第一種為通過調整設計變量的選擇減小由于設計參數的變差引起系統輸出的方差；另一種為通過設計變量的選擇減小設計變量變差引起系統輸出的方差。應用到飛行器外形氣動穩健設計中，不確定性因素也就分為以下兩類考慮：一類為飛行狀態（設計點）的不確定性，通常考察馬赫數、迎角等的波動對氣動性能的影響；另一類為幾何參數的不確定性。作者于其他文獻中對幾何參數不確定性進行了詳細研究，本文重點研究考慮飛行參數存在不確定性變化時的氣動優化問題。

1 穩健優化設計模型

穩健優化一般分為三部分：（1）分析確認設計輸入的不確定性因素并由此得到它們的概率分布狀況；（2）指認不確定性分析方法用以考察不確定性在系統中的傳播，從而得到穩健設計所需的目標函數和約束等，通常用均值和方差表示；（3）優化搜索穩健設計目標函數，并使其滿足約束條件。這里我們考察飛行環境參數如馬赫數、迎角存在不確定性波動時的情況，假定輸入變量的分布已知為均勻分布，于是（2）和（3）分析如下。

1.1 不確定性分析

在穩健設計中通常用均值μ來表示產品所期望的性能指標，用標準差σ來描述其穩健性。已知設計問題的輸入參數并通過計算分析，求解產品性能隨機特征的過程稱為不確定性分析過程。穩健優化問題要進行不確定分析，即在穩健優化問題中要計算輸出性能的均值μ和標準差σ。目前已提出多種簡化求解方法，如蒙特卡羅取樣法、基于泰勒級數展開、試驗設計方法等。本文選取蒙特卡羅取樣法做不確定性均值和方差分析。取樣法的特點是要進行大量的隨機取樣，以得到目標的概率均值和方差。對于翼型穩健設計，由于求解翼型氣動系數的計算量較大，它們的均值和方差更是難以求解，于是應用代理模型技術代替流場求解，然后基于代理模型進行不確定性分析。各不確定性指標如升阻力力矩等的均值和標準差，可離散求解分析如下：

其中，CLi（x）、CDi（x）是關于x的函數，表示在x的波動范圍內抽取n組隨機輸入分別對應的升阻力系數；x是不確定性向量（幾何參數或其他不確定性參數），在設計點附近波動并服從某一分布。

1.2 多目標穩健優化模型

針對二維翼型設計，本文根據穩健設計的多目標特性，提出包含四個優化目標的穩健設計模型。選取RAE2822作為初始翼型，飛行環境參數的不確定性因素主要關注馬赫數（M＝0.73±0.05）和迎角（a＝2°±0.5°）在一定范圍內變化，考察優化目標分別為最小化阻力的均值和最大化升力的均值，以求得到更好的氣動性能；同時最小化阻力和升力的標準差，以使翼型保持優異的穩健性。從數學的角度描述穩健模型為：

并滿足以下約束條件：

設定優化問題需滿足以下約束：翼型厚度不低于原始厚度即保持在12%弦長以上，對比升力阻力力矩的均值和標準差，優化結果的氣動特性不低于原始RAE2822翼型的性能。優化過程中，對約束條件進行罰函數處理。

2 翼型穩健優化設計流程

把上文建立的穩健優化模型應用到具體翼型優化設計中，于是建立基于代理模型的穩健優化設計流程如圖1所示。將穩健優化應用于氣動設計的一個障礙是所需的不確定性分析計算量太大，因此采用代理模型技術［6］來進行不確定分析。下文詳細表述了翼型多目標穩健優化設計框架中主要的相關技術：翼型參數化方法，流場求解技術，代理模型技術及多目標優化算法等。

圖1 基于代理模型的多目標穩健優化設計流程圖Fig.1 Flow chart of multi－objective robust optimization design based on surrogate model

2.1 翼型幾何參數化方法

常用的翼型參數化方法有：B樣條法，Hicks－Henne型函數疊加法，PARSEC方法和CST方法等。針對本文的研究，我們選擇PARSEC方法這種以直觀描述翼型幾何參數為設計變量并且其個數較少的參數化方法作為翼型優化的幾何外形生成方法。PARSEC方法最早由H.Sobieczky提出，研究表明PARSEC方法對氣動優化問題能以較小的設計變量個數得到更好的設計結果，也有研究顯示PARSEC方法對已有外形的精確擬合有時會失敗。本文在優化過程中，所有翼型的后緣厚度取為0，后緣點固定，最終設計變量共9個，如圖2所示，各參數的定義為前緣半徑rLE、上表面最大厚度位置（xup，zup）、上表面最大厚度處的曲率zxxup、下表面最大厚度位置（xlw，zlw）、下表面最大厚度處的曲率zxxlw、后緣方向角αTE、后緣夾角βTE等。

圖2 PARSEC翼型參數化Fig.2 Airfoil parameterization using PARSEC

2.2 CFD流場求解器

流場求解選擇課題組開發的求解守恒形式雷諾平均NS方程［6］，自動生成繞翼型的C型網格，如圖3所示。采用中心差分格式進行空間離散，五步龍格庫塔法進行時間推進，選取B－L湍流模型，翼型上下表面作全湍流計算處理。

圖3 流場求解中的翼型網格圖Fig.3 Airfoil mesh used in flow computing

2.3 RBF神經網絡代理模型

代理模型技術的應用為大規模優化設計的響應求解提供了可能，特別是CFD流場求解方面。本文選擇RBF神經網絡模型［7］作為優化設計中使用的代理模型，訓練代理模型時所用樣本點的試驗設計抽樣方法采用拉丁超立方方法。

徑向函數是一類以待測點與中心點之間的歐氏距離為自變量的函數，以徑向函數為基函數，通過線性疊加構造出來的模型即為徑向基函數模型。RBF神經網絡模型在函數逼近方面有其特有的優良性質，其基本形式如下：

其中x為輸入向量，φ（·）為徑向基函數，ci為第i個隱層節點徑向基函數的中心，σi為該徑向基函數的寬度，λi為該節點與輸出節點的權值，Nh為隱層節點的數量，λ0為偏置值，‖x－ci‖為x到中心ci的徑向距離，這里范數通常取歐幾里德二次范數：

本文選典型的高斯函數作為徑向基函數：φ（r）＝，σ表示徑向基函數的寬度。

由于RBF神經網絡中基函數的個數并不等于樣本的個數，中心也并不一定選擇在輸入樣本點上并且增加了偏置量，這使得神經網絡不嚴格通過每個樣本，從而有效地抑制了數值噪聲帶來的影響，提高了代理模型對設計空間非樣本點做出準確預測的泛化能力。訓練代理模型的具體步驟如下：

（1）在設計空間內應用拉丁超立方方法選取樣本，樣本盡可能最大限度地反映整個設計空間的信息；

（2）采用原始NS模型對樣本進行氣動特性計算，獲得樣本的目標特性數據；

（3）訓練RBF神經網絡代理模型，通過樣本的帶入學習可以確定模型的權值系數等參數從而得到神經網絡模型輸入輸出之間的映射關系。

2.4 多目標優化搜索方法

穩健優化設計是個典型的多目標優化問題，目前解決這一類問題最典型的方法是基于Pareto最優解集的多目標遺傳進化算法，本文選擇NCGA多目標遺傳算法［8］，也稱為鄰域培植遺傳算法。NCGA有效地繼承了前人的成果，交叉和變異方法與標準GA方法相同，但是引入了“近鄰交叉”的概念。近鄰交叉是指交叉不是在具有完全不同的遺傳因子信息的個體間進行，而是在具有一定程度的類似性的個體之間進行，這樣的操作使得子代個體與父代個體比較接近，有利于提高GA的全局探索能力。NCGA能夠生成具有多樣性的解，因為在目標空間里沒有重復的個體，比起多目標進化算法中較為典型的NSGA－II和SPEA2有更加容易生成更多樣性解的傾向，“近鄰交叉”也被確認為在多峰值問題上可以得到好的結果。

找到Pareto前緣后，下一步工作就是從中選擇最優的設計點。當Pareto前緣中非劣解不很多時，設計者能容易地對比不同結果之間的差別并從中選出滿足設計要求的最優解；但當設計目標較多且前緣解較多時，非劣解集就會比較復雜，設計者就需要一定的準則來指導其選出滿足設計要求的最優解，多準則決策方法就是一個很好的指導準則，本文用柱狀圖法表示了一部分非劣解與初始解的性能對比情況，從中可以比較直觀地挑選出滿足設計要求的結果，達到篩選非劣解的目的。

3 算例結果與分析

根據上文建立的翼型穩健設計模型，選擇RAE2822為初始翼型進行穩健優化設計實例，考察飛行狀態參數馬赫數和迎角存在不確定性波動時的翼型綜合性能最優設計。設計狀態為：馬赫數0.73，雷諾數6500000，迎角2°，設計升力系數0.69。設定多目標遺傳算法參數為種群數60個和進化代數30代，應用拉丁超立方方法產生500個樣本訓練RBF神經網絡代理模型，利用圖1的優化框架進行穩健優化設計。本文優化問題定義四個目標函數，于是最終結果不是單一的而是一組Pareto解，每一個設計結果對應著四個目標函數，其優化結果的Pareto前緣如圖4所示，圖4（a）表示升力均值對應阻力均值，圖4（b）表示升力標準差對應阻力標準差，他們共同體現了Pareto前緣的組成情況。圖中用數字標出選擇的設計結果在Pareto前緣中的位置，也同時標出了初始翼型RAE2822均值和標準差對應的位置，可以看出優化進行成功：我們得到了比初始翼型阻力更?。▓D4（a）縱坐標減小方向）并且升阻力標準差也顯著減小（圖4（b）的縱橫坐標減小方向）的設計結果，即優化結果保持很好的穩健性。從圖4（a）中也可以看出，一些結果的升力均值比初始翼型有些許的惡化，可能與約束罰函數處理的偏差有關。

圖4 Pareto前緣與初始翼型升阻力均值與方差對比Fig.4 Pareto frontier of mean and Std deviation and also the value of the airfoil RAE2822

為了直觀地表示Pareto解，采用柱狀圖的形式表示了設計結果與初始解的目標性能，如圖5所示。其中每個設計結果由4個柱狀圖組成，每個柱狀圖代表結果的一個目標值，柱狀圖的高低代表了目標值的大小，每類目標柱狀圖分別用初始翼型RAE2822的對應目標值做了歸一化處理以便進行數值對比。對比柱狀圖的高低體現了Pareto解集的收斂情況，可以看出與2822相比，設計結果升阻力標準差有明顯的減小，體現了設計的穩健性；阻力均值也有很大的減小，體現減阻設計的性能要求；而升力的均值保持不減小或些許增大，也體現了設計升力不減小的要求，于是可以認為優化設計是成功的。

圖5 翼型性能及穩健性的柱狀圖對比Fig.5 Histogram of the airfoils＇performance and robustness comparison

表格1所示為圖5設計結果所對應的具體數值，對基于代理模型的設計結果同時進行了精確NS方程求解驗算，對比了他們與初始翼型RAE2822的性能區別。不論是用代理模型優化的結果還是用NS方程校驗的結果都比初始翼型的性能優異，特別是阻力系數，均值減小的同時方差也有明顯的下降，而升力系數在保持均值不減小的情況下方差有一些減小。圖6所示為其中一個設計結果與翼型RAE2822的外形對比，可以看出優化結果的最大厚度位置后移，有效減弱了激波強度從而減小波阻?？傊€健優化算法找到了比初始翼型性能更優并且更穩健的設計解。

表1 設計翼型與初始翼型的性能及穩健性對比Table 1 Performance and robustness comparison between original airfoil RAE2822and designs

圖6 設計翼型與初始翼型幾何外形對比Fig.6 Geometry profile comparison between design airfoils and the original airfoil RAE2822

4 結 論

本文建立了考慮飛行環境參數存在不確定性變化因素時的翼型穩健設計優化模型，為了權衡性能和穩健性之間的沖突，選擇基于Pareto非劣解概念的NCGA多目標遺傳算法做氣動外形優化設計，并應用RBF神經網絡代理模型技術解決優化過程中大量CFD流場求解的效率問題。最后通過優化算例對比了優化結果與初始翼型RAE2822之間不同的性能特征。可以看出，多目標穩健設計很好地均衡了性能優化和穩健性要求，在改善氣動性能均值的基礎上又保持了性能的穩健性，克服了非設計狀態翼型性能惡化的問題，更符合飛行器實際飛行中環境參數存在波動特性對飛行性能的要求，達到了翼型穩健設計的目標。

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