局部擾動對平板邊界層流動穩定性影響的研究

陸昌根，趙玲慧，沈露予

（南京信息工程大學 大氣科學學院，江蘇 南京210044）

0 引 言

平板邊界層穩定性問題對飛行器、船舶等動力特性有著重要的影響，人們已經對平板邊界層流動穩定性及轉捩問題作了大量的理論工作，但局部擾動對平板邊界層流動穩定性影響和控制的研究較少；目前，仍有許多問題需要我們去認識和解決［1－2］。Herbert等人對平板邊界層流中穩定性問題進行了深入的研究［3］，其某些結論已被實驗證實。影響平板邊界層流動穩定性的因素很多，包括溫度、對流、壓力梯度、壁面條件等等，且壁面局部擾動是普遍存在的，它對流動中的流體運動必然會產生影響。該局部擾動必將影響到邊界層流動的改變，這必將改變擾動波在平板邊界層運動中的演化規律，誘導出 展向速度以及產生更復雜的運動，最終將導致橫流不穩定等［4－6］。實驗表明，改變局部粗糙的分布及幾何形狀，可改變低速流動的層流分離點。Floryan利用連續分布的抽吸結構來模擬壁面粗糙的特征，并對Poiseuille流、Couette流及Blasius邊界層流中的擾動波的穩定特性進行了數值研究，獲得了一些有意義的成果［7］。本文將在考慮前人研究的基礎上，在平板上設計不同形式的局部擾動結構，數值研究該結構產生的擾動對平板邊界層流動穩定性影響和控制機理的問題。對該問題的進一步數值研究，將會讓我們能做到有效地抑制平板邊界層轉捩過程中湍流發生的物理機制。

1 理論方程和數值方法

采用的理論方程為不可壓、無量綱的N－S方程和連續方程：

其中▽為梯度算子，▽2為拉普拉斯算子，Re為雷諾數。u、p分別為速度和壓力。

對理論方程（1）進行直接數值模擬，其時間導數為三階混合顯－隱分裂格式，空間導數在x和y向分別采用非等間距網格的緊致有限差分離散和z向空間導數用Fourier譜展開相雜交的方法逼近，具體數值方法詳見文獻［8］。其中無量綱特征長度和特征速度分別為進口邊界層厚度δ和無窮遠來流速度U∞。雷諾數為：Re＝U∞·δ／υ＝3250，υ為運動粘性系數。

在x、y、z方向上的計算區域和網格點數分別為120×120×14.6和250×250×32。

基本流為Blasius解。入口速度邊界條件，x＝0：u＝a0［（y）］ei（αx＋βz－ωt）＋c.c；其中c.c為共扼復數；初始幅值：a0＝0.006；流向波數：α＝（0.374696，0.001682）；展向波數：β＝0.43；

頻率：ω＝0.13；［（y）］＝｛u（y），v（y），w（y）｝是由Orr－Sommerfeld方程特征值問題獲得的特征速度，其歸一化條件 max｜u（y）｜＝1；?p／?x＝0；

出口邊界條件：x＝120，速度為無反射出流邊界條件，?p／?x＝0；

邊界層外緣邊界條件為：y＝6，?u／?y＝?v／?y＝?w／?y＝0，p＝0；

壁面邊界條件為：y＝0，無滑移條件，?p／?y＝0。

光滑壁面（1）：無滑移條件；

局部抽吸（2）：v1＝0.004（網格x＝1～1.8，z＝－1.37～1.37），其余網格：無滑移條件；

局部噴出（3）：v1＝－0.004（網格x＝1～1.8，z＝－1.37～1.37），其余網格：無滑移條件；

局部噴出和局部抽吸組合（4）：v1＝－0.004（網格x＝1～1.8，z＝－1.37～1.37），v1＝0.004（網格x＝3.4～4.2，z＝－1.37～1.37），其余網格：無滑移條件；

局部抽吸和局部噴出組合（5）：v1＝0.004（網格x＝1～1.8，z＝－1.37～1.37），v1＝－0.004（網格x＝3.4～4.2，z＝－1.371.37），其余網格：無滑移條件；

局部抽吸（6）：v1＝0.004（網格x＝1～1.8，z＝－7.3～7.3），其余網格：無滑移條件；

局部噴出（7）：v1＝－0.004（網格x＝1～1.8，z＝－7.3～7.3），其余網格：無滑移條件；

在展向上設計兩個局部抽吸組合（8）：v＝0.004（網格x＝1～1.8，z＝－4.10～－1.37），v＝0.004（網格x＝1～1.8，z＝1.37～4.10），其余網格：無滑移條件。

2 數值結果

圖1給出了在不同局部擾動結構情況下，三維擾動波的幅值隨雷諾數的變化。幅值定義為：

其中｛u，v，w｝T表示擾動速度，且1、2、3、4、5、6、7、8分別與上述壁面結構情況相對應，其在對應上述結構邊界層流中三維擾動波的幅值隨雷諾數演化的規律。

圖1 幅值的隨雷諾數的演化曲線Fig.1 Amplitudes with Reynolds number

與光滑壁面相比較，2、3、4、5和8壁面的局部抽吸、局部噴出以及其它組合結構均能促使擾動波幅值的增大，其原因是上述壁面產生的擾動使原二維基本流變成三維基本流，并且不同的類形、強度及結構分布各自對三維擾動波幅值演化的作用能力是不同的。展向構建的兩個局部抽吸的壁面8促使三維擾動波的幅值增長最快，其次是流向局部噴出和局部抽吸組合的壁面4和流向局部抽吸和噴出組合的壁面5對擾動波的幅值貢獻率大于單個局部抽吸的壁面2。但是局部噴出的壁面3也能使擾動波幅值增長，其激勵能力相對弱一些。局部抽吸的壁面6在局部抽吸附近對幅值貢獻率較小，隨著擾動波向下游的演化，擾動幅值的增長迅速增強，其原因是該壁面產生的擾動使二維基本流比原基本流瘦小或虧損；在局部噴出的壁面7中，三維擾動波的幅值增長小于光滑壁面的三維擾動波幅值增長的演化，它對流動的演化有較好的穩定和控制作用，其原因是該壁面產生的擾動使二維基本流更加飽滿。

由于局部抽吸、局部噴出以及其它組合結構誘導出的擾動速度改變了原邊界層的二維基本流特性，從這些壁面結構類型可知，除壁面6、7外（這兩種壁面設計的是二維局部擾動，未改變原基本流的二維特性），二維基本流特性巳發生改變，即基本流已具有三維特性，這可能是使得沿空間演化的三維擾動波增長率得以增長的一個重要原因。對于不同局部類型、強度大小及分布結構特征的不同所呈現的增長機制不同而言。圖2所示，壁面2、3、4、5、8及壁面6的平板邊界層流中，三維擾動波幅值增長率均大于光滑壁面，壁面7的邊界層流中擾動波幅值增長率小于光滑壁面；壁面8的三維擾動波幅值增長率貢獻最大；其次是壁面4和壁面5，壁面3邊界層中的增長率雖然大于光滑壁1，但貢獻率較小。不管是什么性質的局部壁面，只要該結構能誘導產生三維擾動，總時加速流動的失穩，且在局部擾動區域附近，幅值增長率加速增長；隨著局部擾動向下游傳播時，其局部擾動產生的三維擾動逐漸減弱，這時幅值增長率的增長趨于平緩，這是由于擾動波向下游發展過程中展向速度的減少導致的。壁面局部擾動（7）能控制流動的失穩。總之，除局部擾動壁面（7）外，上述局部擾動與光滑壁面比較，對流動失穩都起激勵作用，并促使轉捩的快速發生，其轉捩發生的速度與貢獻率的大小有關，貢獻率大的，失穩越易發生；貢獻率小的，失穩越難發生。

圖2 不同局部粗糙壁面情況下幅值增長率隨雷諾數的變化Fig.2 Amplitudes'growth－rates with Reynolds numbers in boundary layers of the various localized roughness

壁面2、4、8誘導產生的擾動速度使原來二維基本流發生改變，即具有三維性（展向速度的存在），其速度剖面存有拐點，詳見圖3給出的壁面2、4、8中絕對值最大處的展向速度分布，其三維性強度遠遠大于其它壁面的強度。由于展向速度的存在，并很快形成復雜的流向渦、法向渦和展向渦，使得三維擾動波快速增長，產生橫流不穩定，并加速轉捩，加劇流動的失穩，有利于湍流的發生［9－10］。從圖1中也可知，壁面2、3、4、5、8的局部分布的區域（Re＝3500～3750），原因是該局部范圍內基本速度場的三維性較強，且流動易于失穩，在離局部位置較遠處，三維特性逐漸減弱，流動的不穩定性影響較弱。該結果與Croke等人的結果是一致的。

圖3 壁面2、4、8誘導出展向速度的分布曲線Fig.3 Spanwise velocity distribution in boundary layers induced by the 2、4、8wall

以三維擾動波的演化為例（a0＝0.006），利用線性理論分析Re＝4300，z＝0.91處的光滑壁面、壁面4的邊界層以及非線性作用后平均流得以修正后的中性曲線，分別如圖（4）a、b、c所示，由于壁面特性的不同使得中性曲線向低頻方向移動，而擾動后的平均流得以修正后進一步使得中性曲線的下移，而且不穩定區域也逐漸減小，這說明在基本流得以修正后，外界噪聲更容易促進低頻不穩定的形成，使得流動更易趨于失穩，這與周恒、曹偉等人的研究成果一致［11］。

圖4 中性曲線Fig.4 Neutral curves

圖5中的曲線分別表示光滑壁面和壁面4中的流向擾動速度的空間演化（y＝0.1，z＝－1.83）。任意選取曲線4的流向擾動速度的傳播波形毗鄰正峰值位置x分別為19.4、36.6；與此對應的曲線1流向擾動速度的傳播波形的毗鄰正峰值位置x分別為20.7、37.2，由于局部噴出和局部抽吸組合結構誘導出三維擾動速度的影響，使上游三維擾動波的傳播產生了滯后。考慮到擾動波的平均流向波數計算公式：＝2·π／（x2－x1），其數值結果分別為0.382和0.365，再定義三維擾動波與基本流動主流的夾角計算公式為：θ＝tan－1（β／），其數值結果分別為48.38°和49.67°。計算結果顯示，由于局部噴出和局部抽吸組合結構誘導出三維擾動速度的影響，使三維擾動波的傳播方向發生了改變。而在邊界層的其他位置，擾動波的傳播方向也受到不同程度的變化，這可能是局部噴出和局部抽吸組合結構誘導出三維擾動速度加速了邊界層流中流向渦、法向渦的形成及分布結構等因素對三維擾動波傳播方向的影響相關，該結論與Jean－Francois Pinton等結果基本吻合［12］。但壁面6、7誘導產生的擾動流場是二維的，即三維擾動波在向下游演化時，傳播方向變化不明顯，這里不再一一表述。

圖5 流向擾動速度的空間演化Fig.5 Spatial evolution of stream wise disturbance velocity

3 結 論

本文采用直接數值模擬研究三維擾動波在光滑壁面和局部壁面特性改變的邊界層流中的非線性演化規律，分析了不同局部壁面特性改變對擾動波失穩機制的影響。在局部壁面2、3、4、5、8特性改變的邊界層流中，三維擾動波幅值增長和幅值增長率均大于光滑壁面，這說明原二維基本流特性已改變，即具有三維性，且展向速度的存在改變原光滑壁面邊界層流中穩定性的特征，使流動更容易失穩，加速了湍流的形成和發展。另外，局部壁面6同樣也促使三維擾動波速度幅值增長，可是其增長率變化與光滑壁面相比較變化很小，這說明原二維基本流特性沒改變，基本保持光滑壁面邊界層流中穩定性的特征。但局部壁面7對三維擾動波的增長起抑制作用，有易于流動得到控制和穩定。數值結果顯示，局部壁面特性變化誘導產生的展向速度而形成橫流不穩定特性是改變擾動波失穩的另一重要因素。局部壁面特性的改變使三維擾動波向下游演化時的傳播方向的發生偏移現象。總之，局部壁面的類型、分布結構（如壁面2、3、4、5、6、8）對擾動波增長都起到一定的激勵作用，激勵速率的快慢取決于局部壁面的類型、分布結構及強度大小等因素；壁面7對擾動波的演化起抑制作用，有易于流動得到控制或對流動起到穩定作用的目的。

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