旋波近似下的量子Zeno效應時間

李興敏，宋立軍

(1.長春理工大學 理學院，長春 130022;2.長春大學 理學院，長春 130022)

旋波近似下的量子Zeno效應時間

李興敏1，宋立軍2

(1.長春理工大學 理學院，長春 130022;2.長春大學 理學院，長春 130022)

頻繁對系統進行量子測量會產生阻抑不穩定量子態衰減的量子Zeno效應。通過對哈密頓量以及不穩定量子態進行中島變換，在薛定諤繪景下直接計算出量子Zeno效應時間，得出弱耦合情況下發生量子Zeno效應所需的最基本條件，給出量子Zeno效應時間與測量光場頻率、耦合強度及不穩定量子態自身能級間隔之間的關系。

量子Zeno效應;中島變換;旋波近似

0 引言

古希臘哲學家Zeno曾提出著名的“Zeno佯謬”——“阿基里斯追不上烏龜”，這是一個有趣的哲學問題。Zeno論證到，當飛毛腿阿基里斯從后面追趕烏龜的時候總是要到達他起步時烏龜所在的位置，當他到達烏龜所在位置時，烏龜又前進了一段距離，如此下去，阿基里斯是追不上烏龜的。Misra和Sudarshan根據Zeno佯謬提出頻繁測量不穩定量子態會阻抑其衰減速率，也就是量子尺度下的Zeno效應——量子Zeno效應(Quantum Zeno Effect，簡稱QZE)［1］，這一效應為量子光學和量子信息的發展產生了極大影響，同時也促進了量子測量理論的發展。

量子Zeno效應的提出，使人們在研究不穩定量子態衰減時有了重要理論依據。在研究量子態保持［2］以及保護糾纏態［3］等方面，運用量子Zeno效應理論取得了一系列重要成果。2001年，人們在研究失諧冷原子囚禁［4］時，發現冷原子衰減速率出現明顯異常，首次觀察到量子Zeno效應出現，但是這觀測到的量子Zeno效應還不能夠實現人為操控。

人為控制量子態衰減能否在實驗上取得成功，很大程度上依賴于量子Zeno效應時間，所以有關量子Zeno效應時間研究越來越引起人們廣泛關注。在二能級系統中，理論研究已經給出了相互作用繪景中氫原子在旋波近似和非旋波近似(弱耦合情況)下的量子Zeno效應時間［5，6］，然而這兩種量子Zeno效應時間的計算方法都需要進行繪景變換，并不是十分方便與直接。本文通過對哈密頓量和量子態進行幺正變換［7］，取得有效哈密頓量和有效量子態，進而給出在薛定諤繪景中旋波近似條件下量子Zeno效應時間計算的方法，并給出了量子Zeno效應時間與各個參量之間的離散數值關系，該方法具有一定普適性，豐富了量子Zeno效應時間計算方法，對于指導弱耦合情況實現人為控制量子態衰減速率具有重要意義。

1 二能級系統

在量子光學二能級系統中，如果原子與輻射場之間耦合強度很小，通常考慮旋波近似，采用Jaynes－Cummings(J－C)模型［8］來描述原子與輻射場之間的相互作用。在本文中，我們考慮弱耦合情況，并且采用JC模型來描述哈密頓量(h=1)。

經過時間t后，直接計算量子態仍處于原狀態的概率需要進行繪景轉換，比直接在薛定諤繪景中計算繁瑣了很多。此處，我們對哈密頓量進行一次幺正變換e－s——中島變換，得到有效哈密頓量，從而簡化計算。這里，我們取

經過幺正變換后的有效哈密頓量為Heff=e－SHeS，展開為

計算發現在式(6)中有

考慮到對哈密頓量進行了幺正變換(中島變換)，那么對所選擇的初態|e，{0})也要進行相應的演化，

(8)式和(9)式分別為經過幺正變換后的有效哈密頓量和有效初態，從有效哈密頓量方程(8)中，可以發現當有效哈密頓量作用在量子態上，無需通過繪景變化可直接得出其所對應的能量表達式，即可直接在薛定諤繪景中直接計算。在(9)式中，同前面哈密頓量的幺正變換一樣，也只對其取到二階量。

2 量子Zeno效應時間

如果對一個量子態進行短時測量，那么在測量間隔t時間內不衰減的概率可以用表達式［5］

來表示。如果在同t時間內進行n倍次測量，即測量間隔變成t，此時量子態不衰減的概率為n

當n→∞時，

從式(12.b)可以看出，測量頻率跟量子態的存在概率成指數關系。當對量子態進行頻繁測量時，量子態的衰減概率大大降低，如果進行連續性測量(即n→∞)，量子態處于不衰減狀態，量子Zeno效應發生。在本文中，稱 τz為量子 Zeno 效應時間［5］。

將經過幺正變換后的有效初態|ψ0〉=e－S|e，{0}〉和有效哈密頓量H=Heff，分別帶入方程(11)，略去高階小量，可以得到

通過(13)－(16)式計算，得到了哈密頓量差值的平方(ΔH)，也就是量子Zeno效應時間τz的負二次方，對(ΔH)2取倒數并且開平方，能夠得到薛定諤繪景中的量子Zeno效應時間為

從(17)式可以看出，量子Zeno效應時間τz跟原子自身能級間隔Ω、測量光場頻率ωk以及耦合強度gk是緊密相關的。因此，要想實驗上實現觀察弱耦合情況可控量子Zeno效應，必須考慮到上述三個參量，并且遵循方程(17)。

3 總結

本文研究了弱耦合情況下，在J－C模型中利用對哈密頓量和不穩定量子態進行幺正變換(中島變換)，實現了薛定諤繪景中直接計算量子Zeno效應時間的計算方法，發現量子Zeno效應時間跟原子自身能級間隔Ω、測量光場頻率ωk以及耦合強度gk之間的密切關系，計算結果對將來實驗上弱耦合情況實現量子態保持以及保護糾纏態等具有重要意義。

［1］ B Misra，E C G Sudarshan.The Zeno＇s paradox in quantum theory［J］.J.Math.Phys，1977(18):756.

［2］ D Dhar，L K Grover，S M Roy.Preserving Quantum States using Inverting Pulses:A Super－Zeno Effect［J］.Phys.Rev.Lett，2006(96):100405.

［3］ Sabrina Maniscalco，Francesco Francica，Rosa L.Zaffino，Nicola Lo Gullo，Francesco Plastina，Protecting Entanglement via the Quantum Zeno Effect［J］.Phys.Rev.Lett，2008(100):090503.

［4］ M C Fischer，B Gutiérrez－Medina，M G Raizen.Observation of the Quantum Zeno and Anti－Zeno Effects in an Unstable System［J］.Phys.Rev.Lett，2001(87):040402.

［5］ P Facchi，S Pascazio.Temporal behavior and quantum Zeno time of an excited state of the hydrogen atom［J］.Phys.Lett.A，1998(241):139－144.

［6］ H Zheng，S Y Zhu，M S Zubairy.Quantum Zeno and Anti－Zeno Effects:Without the Rotating－Wave Approximation［J］.Phys.Rev.Lett，2008(101):200404.

［7］ David Zueco，Georg M Reuther，Sigmund Kohler，Peter H?nggi.Qubit－oscillator dynamics in the dispersive regime:Analytical theory beyond the rotating－wave approximation［J］.Phys.Rew.A，2009(80):033846.

［8］ E T Jaynes，F W Cummings.Comparison of quantum and semiclassical radiation theories with application to the beam maser［J］.Proc.IEEE，1963(51):89.

Study on Quantum Zeno Effect Time with Rotating-wave Approximation

LI Xing－min1，SONG Li－jun2

(1.School of Science，Changchun University of Science and Technology，Changchun 130022，China;2.College of Science，Changchun University，Changchun 130022，China)

The unstable quantum states can be prevented from decay when measurements are frequently applied to the system，which is called quantum Zeno effect.Through Nakajima transformation on Hamiltonian and unstable quantum states，this article presents a method to compute the quantum Zeno effect time in Schrodinger picture，gets the basic condition of quantum Zeno effect in weak coupling and gives the relations between quantum Zeno effect time and the frequency of measuring optical field，the coupling strength and the energy－level spacing.

quantum Zeno effect;Nakajima transformation;rotating－wave approximation

O431.2

A

1009－3907(2012)08－0960－03

2012－05－30

教育部科學技術研究重點項目(211040);吉林省自然科學基金項目(20101514);吉林省青年基金項目(201201140);吉林省教育廳科學技術研究基金項目(2012245)

李興敏(1986－)，男，山東青島人，碩士研究生，主要從事理論物理研究;宋立軍(1971－)，男，吉林東豐人，教授，博士，主要從事量子信息、量子光學和凝聚態物理的研究。

責任編輯:程艷艷