Cole方程單邊界層的漸近解探討

盧西莊 (亳州師范高等專科學校理化系，安徽 亳州 236800)

Cole方程單邊界層的漸近解探討

盧西莊 (亳州師范高等專科學校理化系，安徽 亳州 236800)

利用邊界層函數法構造了Cole方程單邊界層的漸近解。證明了解的存在唯一性,同時給出了關于小參數ε的n-階的余項估計。

Cole方程; 奇攝動; 漸近解; 邊界層函數法

Cole方程在不同條件下產生多種奇攝動現象,引起一些學者的興趣。文獻[1-3]對其中的某些情況做出一些研究,采用了不同的方法。下面，筆者利用邊界層函數法對單邊界層情況進行探討。

對于Cole方程：

假設Agt;B-1,Bgt;1。式 (1)可變為：

1 構造形式漸近解

設問題(3)的形式漸近解為：

(5)

(6)

Πx(τ)=Π0x(τ)+εΠ1x(τ)+ε2Π2x(τ)+…

(7)

其中x=(y,z)T,τ=t/ε。為敘述方便,令：

將式(5)～(7)代入式(3), 按2種尺度t、τ分開,并展成ε的冪級數,比較ε的同次冪系數,可得：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

筆者解決問題的方法是將邊值問題(3)轉化為初值問題加以解決。設：

x(0,ε)=x0+εx1+ε2x2+…xi(i=0,1,2,…)

(16)

1.1形式漸近解的零次近似

1.2形式漸近解的一次及n次近似

由式(9)和式(11)得：

與一次項的求法完全類似,利用式(9)、式(11)、式(13)、式(15)及相關定解條件,可逐步求出2次、3次直到n次的漸近解各項及xi(i=2,3,…,n)。所解方程都是一次方程,其中邊界項都隨τ→+∞指數式地趨于0。

2 主要結論

筆者研究的問題滿足以下條件:

令：

根據文獻[4]定理4.1 可得：

定理1存在常數ε0,δgt;0和cgt;0使得當0lt;ε≤ε0時,在曲線L0=L01∪L02的δ鄰域中,存在問題(2～4)的唯一解x(t,ε),且對0≤t≤1滿足不等式：

‖x(t,ε(-xn(t,ε)‖≤cεn+1

[1]Nayfeh A H. Introduction to Perturbed Techniques[M]. New York: John Wiley amp; Sons,1981.

[2]Robert L,Michel G. Nonstandard analysis: a practical guide with applications[M]. New York:Springer,1981.

[3]王愛峰.用微分不等式解Cole問題[J].淮陰師范學院學報(自然科學版),2006,5(1):1-3.

[4]瓦西里耶娃 A B,布圖索夫 В Ф.奇異攝動方程解的漸近展開[M].北京:高等教育出版社,2008.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.04.002

O175.14

A

1673-1409(2012)04-N004-03

2012-01-26

安徽省教育廳自然科學研究項目(KJ2010B124);亳州師專數學教育省級特色專業建設點資助項目。

盧西莊(1966-)，男，1989年大學畢業， 碩士,講師,現主要從事微分方程的奇攝動理論方面的教學與研究工作。