Wigner-Ville分布在電力系統低頻振蕩中的應用

胡 思

（電子科技大學自動化工程學院，四川成都 611731）

0 引言

電力系統運行機組間有時會出現功率振蕩的問題，振蕩頻率的范圍在0.2～3 Hz，因此稱為低頻振蕩。隨著電力系統規模的不斷擴大、互聯以及大型機組快速勵磁系統的采用，低頻振蕩問題日益突出，嚴重地威脅著電力系統的安全穩定運行。

在高維非線性動態電力系統中，其時間響應信號往往表現為一種典型的非平穩過程，即信號的統計特性(包括時域統計特性和頻域統計特性)隨時間的變化特性[2-4]。其原因是低頻振蕩的暫態過程中往往共存著多個不同的非線性模式，各振蕩模式間存在或強或弱的相互作用，從而衍生出新的振蕩模式[5-6]，從系統非線性變化特性的角度來看，低頻振蕩過程一定具有時變特性[6-7]。

目前對于電力系統低頻振蕩信號分析的問題已有過大量的研究，也提出了很多算法。分析方法有傅里葉算法、Prony算法[8]、小波算法等。傅里葉算法是一種全局的變換，無法反映振蕩的阻尼特性及瞬時頻率問題，而這是非平穩信號最根本、最關鍵的性質。傳統Prony算法的擬和結果對噪聲很敏感，且階數難以確定。針對以上問題，某些學者提出了一些解決辦法并做了有益的改進[9-11]。但是在非平穩信號的處理上，Prony算法仍不能提供信號的頻率時變特性和局部特征的時變特性[12]。小波算法能將時域和頻域結合起來描述觀察信號的時頻聯合特征，構成信號的時頻譜，可以反映振蕩的時變特性。但小波變換的分析分辨率仍存在一定的極限。

作為一種優良的時頻分析方法，Wigner-Ville 分布能夠精確地估計出電力系統低頻振蕩信號的幅值和頻率參數[13-16]，相對于其它的聯合時頻分析方法，具有簡潔、有效，分辨率高，能量集中性和跟蹤瞬時頻率的能力強等優點，可以清晰地表征信號在時頻域內的變化。

本文提出應用WVD對電力系統低頻振蕩信號進行分析的方法，該方法能夠精確地估計出電力系統低頻振蕩信號的幅值和頻率參數。

1 Wigner-Ville分布

WVD分布是Cohen類雙線性時頻分布一種，它以自相關函數相對時間位移為積分變量對信號自相關函數作傅里葉變換，從而得到的關于時間和頻率二維線性函數其定義為：

其中x(t)是實際信號s(t)的復頻率信號，借助Hilbert變換（HT）將原信號移相90°組成解析信號[14]：

采用解析信號能保證頻譜為正，避免采樣序列復頻率譜線帶來畸變。

式（3）和（4）分別表示為WVD的時間邊緣特性和頻率邊緣特性。其中|s(t)|2表示每單位時間的能量強度，|s(f)|2為每單位頻率的能量強度。

WVDx(t,f)所表示的能量等于實際信號的能量，可視為一種時間和頻率的能量強度函數。

2 離散WVD分布及低頻振蕩信號分析原理

低頻振蕩信號是一種非平穩信號，對于非平穩信號，需描述頻譜含量與時間變化的關系。信號的時-頻分布彌補了時間和頻率描述的缺點，不僅提供了信號時間與頻率的信息，還可以清楚地表示頻率與時間的線性變化關系。

低頻振蕩的暫態過程中往往共存著不同的非線性模式，各振蕩模式間存在相互作用，從而產生了更多的振蕩模式。而WVD方法的一個重要特征是它能將復雜成分進行識別、分離并加以描述。

離散Wigner-Ville分布的定義為：

式（5）中：m=1,2,…,N；N為采樣點數；Δt為采樣時間間距；nΔt為自相關函數的時間延遲。設電網信號采樣序列：

式中：n為采樣點數；Δt為采樣時間間距；Ah為信號幅值；φh為諧波初時相位，共有H個信號模式。對h模式信號分量，Wigner-Ville分布的信號項為：

根據(4)所述的頻率邊緣特性可得：

則h模式信號分量的幅值為：

對時域仿真或實測振蕩信號x(t)進行希爾伯特變化得到解析信號。解析信號經過WVD計算，得到原信號WVDx(t,f)的值，在時間-頻率平面(t-f平面)上形成二維的信號能量時頻分布圖。當信號沒有振蕩時，信號的能量理論上是沒有變化的。因此我們可以根據信號在時域和頻域上能量的變化得知該信號的振蕩特性。信號能量時頻分布圖較為精確地描述了信號的能量隨頻率和時間的分布情況，它對各振蕩模式間的非線性相互作用刻畫得非常細膩。

由式（7）可以準確計算該信號各模式的振蕩幅值，由譜峰檢測方法可以得到各模式的振蕩頻率?；跁r頻分布（TFD）的譜峰檢測方法，采用時間和頻率的聯合函數來描述信號的頻譜(或能量譜)特征。時頻分布法具有良好的時頻局部聚集性，WVD具有最理想的時頻聚集性，這種譜峰檢測方法的精確度高，具有良好的抗噪聲能力。利用數學算法，對時-頻分布圖中的譜峰位置進行搜索，對應的即為信號的瞬時頻率。同樣由譜峰檢測法可以得到各模式振蕩信號的主導時間。

3 WVD算法仿真實例驗證

3.1 算例1

構造一個由3個時間段組成的測試信號，將結果與已知值比較，從而考核WVD算法的準確性，其各段振蕩波形具有不同的頻率、阻尼和振幅(見表1)。

表1 測試信號組成

根據式（2）將該測試信號進行希爾伯特變化得到解析信號。采樣頻率為10 Hz，取256個采樣點。

采用本文方法，計算得到256×256 Wigner-Ville分布矩陣。其頻率分辨率為0.04 Hz。最高能分辨由式（3）對分布矩陣進行處理，得到的信號能量譜線圖如圖1所示。

圖1 測試信號能量-頻率分布

信號譜圖頻率段1～1.5 Hz有明顯的能量變化，有3個能量波峰，說明該頻率段有振蕩存在。由譜峰檢測法計算圖中 3 個能量尖峰分別出現在 1.152，1.250，1.328頻率處，說明該振蕩信號的主導頻率為1.152 Hz，1.250 Hz，1.328 Hz。結果與測試信號主導頻率值非常相近。

圖2為時間-頻率平面（t-f平面）上形成的二維的信號能量時頻分布圖。由該圖可以清晰地觀察得到信號隨時間和頻率的能量變化。利用式(9)可以計算各模式信號的幅值，而根據譜峰檢測法可以計算各模式的主導時間。計算結果如表2所示。

圖2 測試信號能量-時間-頻率分布

表2 WVD分析結果

由表2結果可以得知，WVD時頻分析方法較為精確的測得3個模式下信號的振蕩頻率，振蕩幅值，各模式振蕩信號的主導時間等信息。

3.2 算例2

用WVD方法從廣域測量系統中提取電力系統動態特性的步驟是：

1) 將擾動后系統軌跡分群。

2) 對該信號進行希爾伯特變化得到解析信號。

3) 進行WVD分析。

4) 分析時間頻率能量譜圖。

5) 求取模式參數。

以實際電網中主要遠距離交流聯絡線為分析對象，某時刻有功率時變信號x(t)如圖3所示。

圖3 x(t)信號時間-幅值分布

由圖3可得知該信號為一個幅度衰減的低頻振蕩信號。信號的采樣頻率為100 Hz/s，時間選取5 s，將該信號進行WVD分析，如圖4、圖5所示。

由于時頻分布的邊緣效應(在信號的起始和結束段不能獲得高度聚集的時頻分布)，如圖4、圖5所示。故在邊緣處的IF(瞬時頻率)估計偏差較大，在假設整個觀測時間內信號的IF都存在的基礎上，以信號中間部分的IF估計值外推出信號起始段和結束段的少量IF值，這樣不但可以提高估計精度，還可以縮短運行時間。由圖中可以看出，在頻率段0～5 Hz，有一個明顯的能量波峰，隨著頻率的變大，信號能量趨于穩定。

同樣由式（5）可計算得該信號振蕩幅值為3.085×102。利用譜峰檢測方法可得主導頻率為1.38 Hz。

圖4 x(t)信號能量-頻率分布

圖5 x(t)信號能量-時間-頻率分布

為比較和說明WVD算法的有效性，用Prony算法進行信號分析，結果如圖6所示。

圖6 x(t) Prony分析結果

圖中橫軸為頻率，縱軸為歸一化幅值。計算得主導頻率為 1.287 Hz，幅值 3.075×102，阻尼系數為 -0.56。

綜合比較WVD和Prony方法在該實際系統算例中的分析結果，發現前者可以反映信號的頻率瞬變特性和局部特征中的時變特性。

值得注意的是，由于WVD是雙線性形式的變換，因此疊加信號和的分布將存在交叉項。WVD自項和交叉項會有多種組合形式，同時交叉項可能出現在自項的位置，使得自項分布受到干擾。觀察圖2可以發現，圖中存在交叉項的干擾。在基于時-頻分布的瞬時頻率估計中，交叉項的存在會影響對頻峰正確位置的檢測。

4 結論

本文研究了WVD方法在電力系統低頻振蕩問題分析中的應用。實例分析表明，該分析方法相對傳統分析方法，能夠很好地表現信號的局部特性及其變化規律、突出信號的瞬時頻率變化，可實現系統動態振蕩特性以及故障暫態信息的準確提取，為振蕩機理研究奠定基礎。

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