齊次微分方程的解的存在性

黃曉芬，楊立兵

(1.海南師范大學數學與統計學院，海南海口571158 2.海南師范大學附屬中學，海南海口571126)

0 引言

如果一階微分方程

u(x，y)=c(c是任意常數).

定義如果二元可微函數 μ=μ(x，y)，使得 μ(x，y)M(x，y)dx+μ(x，y)N(x，y)dy=0 是一個全微分方程，則稱 μ =μ(x，y)是方程 M(x，y)dx+N(x，y)dy=0 的一個積分因子.

對于一階的常微分方程，如果它是全微分方程，可以用湊微分法，線積分法［1］等方法來求解出u=u(x，y)，從而得到通解.若它不是全微分方程，我們可以試圖通過尋找積分因子［4，5］，使得這個方程是一個全微分方程，從而求出通解，比如，一階的線性方程［2］，變量分離方程［1］，伯努利方程［3］均可通過積分因子求解.

1 相關引理和結論

則有

由于M(x，y)和N(x，y)是齊次的，不妨設它們是m次的齊次的多項式，

則有

由上面的兩個式子可推出

2 應用舉例

致謝作者感謝海南省自然科學基金111006和海南省自然科學基金610221的支持!

［1］王高雄，周之銘，朱恩銘，王壽松.常微分方程(第三版)［M］.北京.高等教育出版社，2006.

［2］陳偉.解一階線性常微分方程的積分因子法［J］.高等數學研究，2008，11(3):27－28.

［3］胡勁松，鄭克龍.用“積分因子”法求解Berloulli方程［J］.四川理工學院學報，2005，18(3):86－87.

［4］姚紅梅.新復合型積分因子的存在定理及應用［J］.科學技術與工程，2010，10(15):3673－3674.

［5］屈芝蓮.新積分因子的存在定理及應用［J］.科學技術與工程，2011，11(2):302－303.