Mathematica 8.0.1中文版在量子力學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

單傳家, 陳入云,劉繼兵,陳 濤,劉堂昆,黃燕霞

(1.湖北師范學(xué)院 物理與電子科學(xué)學(xué)院，湖北 黃石 435002;2.湖北師范學(xué)院 外國(guó)語(yǔ)學(xué)院，湖北 黃石 435002)

0 引言

Mathematica[1]是美國(guó)Wolfrmn公司研制開(kāi)發(fā)的著名數(shù)學(xué)計(jì)算軟件系統(tǒng)，很好地結(jié)合了數(shù)值和符號(hào)計(jì)算引擎、圖形系統(tǒng)、編程語(yǔ)言、文本系統(tǒng)、和與其他應(yīng)用程序的高級(jí)連接。自1987年發(fā)布系統(tǒng)的1.0版本開(kāi)始便迅速?gòu)V為流傳，后經(jīng)不斷改進(jìn)和完善，1991年與1997年又先后推出2.0版和3.0版，1999年推出4.0版本，后來(lái)推出了5.0(2003)，6.0(2007)，7.0(2008)，直到2011年推出了8.0中文漢化版本。該版本增加了500多個(gè)新函數(shù)，功能涵蓋更多應(yīng)用領(lǐng)域，并擁有更友好更高質(zhì)量的中文用戶(hù)界面、中文參考資料中心及數(shù)以萬(wàn)計(jì)的中文互動(dòng)實(shí)例，使中國(guó)用戶(hù)學(xué)習(xí)和使用 Mathematica 更加方便快捷。自從20世紀(jì)60年代以來(lái)，在數(shù)值、代數(shù)、圖形、和其它方面應(yīng)用廣泛。Mathematica是世界上通用計(jì)算系統(tǒng)中最強(qiáng)大的系統(tǒng)，現(xiàn)在，它已經(jīng)被應(yīng)用于科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域——物理、生物、社會(huì)學(xué)、和其它[2～5]。

量子力學(xué)[6～7]是研究微觀粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的物理學(xué)分支學(xué)科，它主要研究原子、分子、凝聚態(tài)物質(zhì)，以及原子核和基本粒子的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)的基礎(chǔ)理論，它與相對(duì)論一起構(gòu)成了現(xiàn)代物理學(xué)的理論基礎(chǔ)。量子力學(xué)的基本原理包括量子態(tài)的概念，運(yùn)動(dòng)方程、理論概念和觀測(cè)物理量之間的對(duì)應(yīng)規(guī)則和物理原理。量子力學(xué)的理論框架是由下列五個(gè)假設(shè)構(gòu)成的：1)微觀體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由相應(yīng)的歸一化波函數(shù)描述。2)微觀體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)波函數(shù)隨時(shí)間變化的規(guī)律遵從薛定諤方程。3)力學(xué)量由相應(yīng)的線性算符表示。4)力學(xué)量算符之間有想確定的對(duì)易關(guān)系，稱(chēng)為量子條件；坐標(biāo)算符的三個(gè)直角坐標(biāo)系分量與動(dòng)量算符的三個(gè)直角坐標(biāo)系分量之間的對(duì)易關(guān)系稱(chēng)為基本量子條件；力學(xué)量算符由其相應(yīng)的量子條件確定。5)全同的多粒子體系的波函數(shù)對(duì)于任意一對(duì)粒子交換而言具有對(duì)稱(chēng)性：玻色子系的波函數(shù)是對(duì)稱(chēng)的，費(fèi)米子系的波函數(shù)是反對(duì)稱(chēng)的。

本文我們首先通過(guò)一些例子簡(jiǎn)單的介紹了Mathematica系統(tǒng)簡(jiǎn)單操作與功能，然后重點(diǎn)介紹了Mathematica 8.0.1中文版在量子力學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，包括包括如何用久期方程求解本證值和本證波函數(shù)，如何根據(jù)薛定諤方程求解波函數(shù)態(tài)矢量的演化。通過(guò)舉例可以清晰的看到利用Mathematica 8可以很容易的求解上述的量子力學(xué)問(wèn)題。

1 Mathematica系統(tǒng)簡(jiǎn)單操作與功能介紹

1.1 進(jìn)入系統(tǒng)與退出系統(tǒng)

在“開(kāi)始”菜單的“程序”中單擊Mathematica 8.0選項(xiàng)進(jìn)入系統(tǒng)，在屏幕上顯示一個(gè)工作窗口，并將這個(gè)窗口暫命名為Untitled-1.退出Mathematica系統(tǒng)時(shí)，只須單擊工作窗口右上方的關(guān)閉按鈕，或者選擇菜單“file/ Exit”，或者按“Alt+F4”鍵。

1.2 工作窗口操作

工作窗口是用戶(hù)輸入、輸出、顯示各種信息，以及運(yùn)行各種程序的場(chǎng)地，用戶(hù)的全部操作都將在這里進(jìn)行，人們將這種類(lèi)型的窗口稱(chēng)之為Notebook。下面舉例說(shuō)明在工作窗口中怎樣進(jìn)行操作。

例1-1已知a=2，b=3.7，試求c=a+b的值。

在Untitled-1工作窗口中直接鍵入：a=2;b= 3.7;c=a+b，然后按執(zhí)行鍵(執(zhí)行鍵：Shift+Enter，或右Shift)，執(zhí)行后，顯示結(jié)果如下：Out[1]: 5.7

例1-2已知函數(shù)y=sinx，試求其一階導(dǎo)函數(shù)y'.

在工作窗口中鍵入：y' = D[Sin[x],x] 執(zhí)行結(jié)果為：Cos[x]

例1-3畫(huà)出函數(shù)y=sinx在區(qū)間[- 3，3]上的圖形。

在工作窗口中鍵入：Plot[Sin[x], {x, -3, 3}]，出現(xiàn)結(jié)果如圖1：

圖1 工作窗口顯示圖

注意：在Mathematica中函數(shù)名或者命令的第一個(gè)字母均必須大寫(xiě)，其具體內(nèi)容將在后面的“函數(shù)名的書(shū)寫(xiě)規(guī)則”中作嚴(yán)格的規(guī)定。

1.3 建立文件與保存文件

在工作窗口做好的某些內(nèi)容，如果想要保留，以供今后多次使用，通常是建立一個(gè)新文件，將做好的內(nèi)容保存在文件中。保存文件的方法是：選擇菜單“File/Save”或“File/Save As”，然后在對(duì)話(huà)框中操作。如此保存的Mathematica文件的擴(kuò)展名為.nb，其中保存有Notebook中所有輸入文字與輸出的文字和圖形。調(diào)出文件，選擇菜單“File/Open”，在對(duì)話(huà)框中操作，選擇文件名后單擊“打開(kāi)”按鈕即可，在屏幕上便可看到重新調(diào)出的文件中的文字與圖形了。

1.4 Mathematica功能介紹

開(kāi)始使用Mathematica時(shí)，不必?fù)?dān)心是否能夠?qū)W會(huì)，其實(shí)它就像使用電子計(jì)算器一樣簡(jiǎn)單。而要做的主要事情就是如何用Mathematica的語(yǔ)言來(lái)描述所要作的計(jì)算。 在很多情況下，會(huì)發(fā)現(xiàn)這種語(yǔ)言和在數(shù)學(xué)中、在一般的計(jì)算機(jī)語(yǔ)言中的習(xí)慣很接近。幾乎人人用過(guò)計(jì)算器，它能進(jìn)行+、-、*、/四則運(yùn)算和簡(jiǎn)單的函數(shù)運(yùn)算。Mathematica作為一個(gè)功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件包，在處理數(shù)值運(yùn)算方面具有非常強(qiáng)大的功能。 使用Mathematica作數(shù)值計(jì)算就像使用電子計(jì)算器一樣簡(jiǎn)單。一切命令都可以在幫助中找到，其中包括Mathematica 基本運(yùn)算，常用數(shù)學(xué)函數(shù)，數(shù)值設(shè)定，常用處理代數(shù)的指令，多項(xiàng)式/分式轉(zhuǎn)換的函數(shù)，解方程式的根，函數(shù)的定義、查詢(xún)，積分微分，求極限，基本的繪圖命令等等。例如：

1.4.1 微積分

Integrate[x∧2 Sin[x]∧2, x] D[%, x] Simplify[%]

ln[2]=Integrate[x∧2Sin[x]∧2,x]

D[%,x]

Simplify[%]

Out[4]=x2Sin[x]2

1.4.2 代數(shù)式運(yùn)算

Mathematica還可以作代數(shù)式的各種運(yùn)算：9 (2 + x) (x + y)+(x + y)∧2

將上式展開(kāi)：Expand[%∧3]

In[1]=9(2+x)(x+y)+(x+y)∧2

Expand[%∧3]

Out[2]=5832x3+9720x4+5400x5+1000x6+17496x2y+30132x3y+17280x4y+3300x5y+17497xy2+32076x2y2+19494x3y2+3930x4y2+5832y3+12636xy3+

8802x2y3+1991x3y3+972y4+1242xy4+393x2y4+54y5+33xy5+y6

1.4.3 解方程或方程組

In： Solve[x∧2+y∧2==1&&x+y==a,{x,y}]

1.4.4 矩陣

m = Table[i/(i+j+1),{i, 3}, {j, 3}],MatrixForm[%] Transpose[m] Inverse[m]

Eigenvalues[N[m]]

In[14]=m=Table[i/(i+j+1),(i,3),(j,3)]

MatrixForm[%]

Transpose[m]

Inverse[m]

Eigenvalues[N[m]]

Out[17]={{300,-450,210},{-900,1440,-700},{630,-1050,525}}

Out[18]={1,1301,0.0313529,0.000447984}

2 Mathematica在量子力學(xué)課程中的應(yīng)用

其中ω和b為實(shí)常數(shù)，問(wèn)

1)H和B是否是厄密矩陣；

2)H和B是否對(duì)易；

Mathematica 代碼如下：

H=h× ω×(_{ {-1, 0, 0},{0, 1, 0},{0, 0, 1} }_);

B=b×(_{{2, 0, 0},{0, 0, 1},{0, 1, 0}}_);

HermitianMatrixQ[H]

HermitianMatrixQ[B]

H.B-B.H

Eigenvalues[B]

Eigenvectors[B]

運(yùn)行結(jié)果如下：

HermitianMatrix0[H]

HermitianMatrix0[B]

H.B-B.H

Eigenvalues[B]

Eigenvectors[B]

Out[17]=False

Out[18]=False

Out[19]={{0,0,0},{0,0,0},{0,0,0}}

Out[20]={-b,b,2b}

Out[21]={{0,-1,1},{0,1,1},{1,0,0}}

從上面的結(jié)果我們可以看出，H和B都不是厄米矩陣，H和B是對(duì)易的，直接可以求出B的本征值和本征態(tài)。

假設(shè)Ψ(0)=|↑↓〉，時(shí)間t演化為Ψ(t)=C1↑↑〉+C2|↑↓〉+C3|↓↑〉+C4|↓↓〉

H=J×KroneckerProduct[σ1,σ2].a//MatrixForn

c1[0]==0,c2[0]==1,c3[0]==0,c4[0]==0},{c1[t],c2[t],c3[t],c4[t]},t]

從上面的程序就可以看出態(tài)演化的結(jié)果。

3 結(jié)論

Mathematica在量子力學(xué)中的應(yīng)用是很廣泛的, 通過(guò)Mathematica 8.01數(shù)值軟件對(duì)量子力學(xué)中的兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子進(jìn)行了研究，結(jié)果表明，Mathematica 8.01在量子力學(xué)問(wèn)題處理中發(fā)揮著很重要的作用，需要大量手工推導(dǎo)的解析計(jì)算, 都可以借助Mathematica來(lái)完成, 從而大幅度地提高工作效率和工作質(zhì)量。Mathematica 8.01在其他學(xué)科中的作用我們將做進(jìn)一步的研究和探討。

參考文獻(xiàn):

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