一類微分代數(shù)捕食-食餌系統(tǒng)的離散化及其定性分析

吳雪瑩,陳伯山,宣天賜,王桂臻

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖北 黃石 435002)

0 引言

在生態(tài)動力系統(tǒng)中，捕食-食餌系統(tǒng)受到了數(shù)學(xué)工作者們的廣泛的深入的研究。其中Lotka-Volterra捕食-食餌模型在捕撈業(yè)以及生態(tài)管理中廣泛應(yīng)用，具有重要的生態(tài)意義。

1 模型的建立

本文基于一個Lotka-Volterra捕食-食餌系統(tǒng)和1954年Gordon提出的捕撈經(jīng)濟(jì)理論[14]，考慮了捕撈捕食者種群的捕撈行為對模型的影響，建立了如下由微分代數(shù)方程描述的捕食-食餌模型：

(1)

其中x(t)和y(t)分別表示食餌種群和捕食者種群在時刻t的數(shù)量，k是食餌種群的容納量，r是食餌種群的固有增長速度，bx是捕食者的功能性反應(yīng)，c是食餌向捕食者轉(zhuǎn)化的速率，d是捕食者種群的死亡率，e是捕撈的捕食者種群數(shù)量，p是被捕撈的單位重量捕食者的售價，q是單位重量捕食者的捕撈成本，m是單位捕撈成果帶來的的經(jīng)濟(jì)利益。

首先我們進(jìn)行無量綱變換，將系統(tǒng) (1)簡化為：

(2)

然后我們利用龐克萊方法對系統(tǒng)(2) 進(jìn)行離散化，得到了下面的離散奇異系統(tǒng)：

(3)

簡記為下列形式：

(4)

本文將對離散奇異系統(tǒng) (4)進(jìn)行定性研究。首先通過運用微分代數(shù)系統(tǒng)理論與分支理論討論模型的平衡點的局部穩(wěn)定性和分支問題，證明Neimark-Sacker分支的存在性；接著選取捕撈行為的經(jīng)濟(jì)利益m作為分支參數(shù)，研究Neimark-Sacker分支及其方向；最后通過matlab數(shù)值模擬驗證結(jié)果的正確性和合理性。

2 平衡點的穩(wěn)定性分析

可得一個關(guān)于e的一元二次方程

e2+(d+cq-c)e+cm=0

(5)

方程(5)的判別式為△=(c-d-cq)2-4cmh2-4cm，其中h=c-d-cq.

為保證系統(tǒng)(4)具有實際意義，在本文中我們只考慮系統(tǒng)參數(shù)在

范圍內(nèi)變化。

然后我們來研究正平衡點的局部穩(wěn)定性。先求出系統(tǒng)(4) 在平衡點E(x,y,e) 處的雅可比矩陣為

那么J(E) 的相應(yīng)的特征方程為

λ2+Pλ+Q=0

(6)

對于特征方程(6)，令F(λ)=λ2+Pλ+Q，則

經(jīng)過分析，我們得到離散奇異系統(tǒng) (4)的平衡點的局部穩(wěn)定性定理如下。

定理2 當(dāng)△=0時，系統(tǒng)(4)有唯一非雙曲的正平衡點E1.當(dāng)△>0時，系統(tǒng)(4) 有兩個正平衡點E2和E3，其中E2為鞍點，E3為

1) 匯當(dāng)且僅當(dāng)Q3<1；

2) 源當(dāng)且僅當(dāng)Q3>1；

的適當(dāng)?shù)膮?shù)值c，d，q，便可以求出該一元三次方程的根，進(jìn)而找到相應(yīng)的m值，記為m0.

從上面的分析我們可以得到：

當(dāng)m在m=m0的小鄰域內(nèi)變化并且 (c,d,q,m)∈H∩M時，系統(tǒng) (4)在正平衡點E3處會出現(xiàn)Neimark-Sacker分支，其中

M={(c,d,q,m):P2-4Q=g(c,d,q,m)<0,m=m0}

3 正平衡點E3處的Neimark-Sacker分支分析

選取系統(tǒng)參數(shù) (c,d,q,m0)∈H∩M，系統(tǒng) (4)即為

(7)

且E3(x3,y3,e3)是系統(tǒng)(7) 的一個正平衡點。 選取m*作為一個分支參數(shù)，系統(tǒng)(7) 在微小擾動下變?yōu)?/p>

(8)

其中|m*|?1 ，為一個很小的擾動參數(shù)。

通過運用中心流形定理和微分代數(shù)系統(tǒng)理論，系統(tǒng) (8)可簡化為

(9)

其中

a1=1-x3,a2=-x3,a11=x3-2,a12=x3-1,a22=x3

a111=3-x3,a112=2-x3,a122=1-x3,a222=-x3

系統(tǒng) (9)在Z(z1,z2)=(0,0)處的線性化系統(tǒng)的特征方程為

λ2+P(m*)λ+Q(m*)=0

且x3,y3，e3的表達(dá)式中的m都替換為m0+m*.因此

通過分析計算可得系統(tǒng)(9) 在m*=0 處的范式為

(10)

系統(tǒng)(10) 中的F(u,v) 和G(u,v) 為

其中

由F(u,v)和G(u,v)可計算其在(0,0) 處的二階、三階導(dǎo)數(shù)為

為了使系統(tǒng)(10) 存在Neimark-Sacker分支，要求下面的判定值不為零：

(11)

由以上分析和Neimark-Sacker分支理論，我們有以下結(jié)論：

1) 當(dāng)β<0 時，若m>m0， 則E3是不穩(wěn)定的平衡點且有一個漸進(jìn)穩(wěn)定的周期軌道；若m

2) 當(dāng)β>0 時，若m>m0，則E3是不穩(wěn)定的平衡點且無周期軌道；若m

4 例子驗證

例 我們令c=1，d=0.1，q=0.1，根據(jù)上述分析可求得分支值m0=0.01，并滿足(c,d,q,m0)=(1,0.1,0.1,0.01)∈H∩M，此時系統(tǒng)(4) 有兩個正平衡點E2和E3，且當(dāng)參數(shù)m在m0=0.01的小鄰域內(nèi)變化時，系統(tǒng)(4) 在正平衡點E3(x3,y3,e3)處存在Neimark-Sacker分支。此時計算得特征值為λ±=0.9508±i0.3098，|λ±| =1，β=-0.4266<0.因此若m>m0，E3是不穩(wěn)定的平衡點且有一個漸進(jìn)穩(wěn)定的周期軌道；若m

圖1 當(dāng)c=1,d=0.1,q=0.1,m=0.01-0.008時的N-S分支圖

在圖1中，m=0.01-0.008，正平衡點(0.1025,0.8975,0.0025) 是穩(wěn)定的。

圖2 當(dāng)c=1,d=0.1,q=0.1,m=0.01+0.008時的N-S分支圖

在圖2中，m=0.01+0.008 ，正平衡點(0.1025,0.8975,0.0025) 是不穩(wěn)定的。

圖3 當(dāng)c=1,d=0.1,q=0.1,m=0.01+0.0001時的N-S分支圖

在圖3中，m=0.01+0.0001在m=0.01的小鄰域內(nèi)，在平衡點(0.1025,0.8975,0.0025)處產(chǎn)生一個漸進(jìn)穩(wěn)定的周期軌道。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳伯山, 劉永清.非線性微分代數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性[J].控制理論與應(yīng)用,2000, 17(1), 40～44.

[2]陳伯山, 廖曉昕.微分代數(shù)系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)型和分支[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報, 2000, 23(3), 429～443.

[3]He Zhimin, Lai Xin.Bifurcation and chaotic behavior of a discrete-time predator-prey system[J].Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2011, 12: 403～417.

[4]Jing Zhujun, Yang Jianping.Bifurcation and chaos in discrete-time predator-prey system[J].Chaos, Solitons and Fractals, 2006, 27:259～277.

[5]Liu Xiaoli, Xiao Dongmei.Complex dynamic behaviors of a discrete-time predator-prey system[J].Chaos, Solitons and Fractals, 2007, 32:80～94.

[6]Fazly Mostafa.Hesaaraki Mahmoud.Periodic solutions for a discrete time predator-prey system with monotone functional responses[J].C R Acad Sci Paris, Ser I, 2007, 345:199～202.

[7]Yang Wensheng, Li Xuepeng.Permanence for a delayed discrete ratio-dependent predator-prey model with monotonic functional responses[J].Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2009,10:1068～1072.

[8]Hu Zengyun, Teng Zhidong, Zhang Long.Stability and bifurcation analysis of a discrete predator-prey model with nonmonotonic functional response.Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2011, 12:2356～2377.

[9]Xia Yonghui, Cao Jinde, Lin Muren.Discrete-time analogues of predator-prey models with monotonic or nonmonotonic functional responses.Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2007, 8:1079～1095.

[10]Liu Chao, Zhang Qingling, Wang Jixin.Dynamics and control in a differential-algebraic prey-predator model[C].Chinese Control and Decision Conference, 2009,2: 3052～3057.

[11]Zhang Guodong, Zhu Lulu, Chen Boshan.Hopf bifurcation and stability for a differential-algebraic biological economic system[J].Applied Mathematics and Computation, 2010,217:330～338.

[12]Chakraborty Kunal, Chakraborty Milon, Kar T K.Bifurcation and control of a bioeconomic model of a prey-predator system with a time delay[J].Nonlinear Analysis: Hybrid Systems, 2011, 5: 613～625.

[13]Liu Chao, Zhang Qingling, Zhang Xue, et al.Dynamical behavior in a stage-structured differential-algebraic prey-predator model with discrete time delay and harvesting[J].Journal of Computational and Applied Mathematics, 2009, 231:612～625.

[14]鄒德新, 劉 超.具有階段結(jié)構(gòu)的廣義食餌-捕食者系統(tǒng)的分岔及控制[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報, 2009, 24(4):711～720.

[15]Bru Rafael, Coll Carmen, Sánchez Elena.Structural properties of positive linear time-invariant difference-algebraic equations[J].Linear Algebra and its Applications, 2002, 349:1～10.